- 2021-06-23 发布 |
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文档介绍
【新教材】2020-2021学年高中人教A版数学必修第二册习题:6-2-4 向量的数量积
6.2.4 向量的数量积 课后篇巩固提升 基础达标练 1.若p与q是相反向量,且|p|=3,则p·q等于( ) A.9 B.0 C.-3 D.-9 解析由已知得p·q=3×3×cos 180°=-9. 答案D 2.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61,则|a+b|=( ) A. B. C.13 D.21 解析由(2a-3b)·(2a+b)=61, 得4|a|2-4a·b-3|b|2=61. 将|a|=4,|b|=3代入上式,求得a·b=-6. |a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=13, 所以|a+b|=. 答案A 3.在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若,则AB的长为( ) A. B.1 C. D.2 解析设AB的长为a,因为, 所以·()=||2+=1+1··cos 120°=,解得a=2. 答案D 4.(2019全国Ⅰ高考)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为( ) A. B. C. D. 解析因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-b2=0, 所以a·b=b2.设a与b的夹角为θ, 则cos θ=, 所以a与b的夹角为,故选B. 答案B 5.(多选题)已知a,b,c是三个非零向量,则下列命题中是真命题的有( ) A.|a·b|=|a||b|⇔a∥b B.a,b反向⇔a·b=-|a||b| C.a⊥b⇔|a+b|=|a-b| D.|a|=|b|⇔|a·c|=|b·c| 解析A.∵a·b=|a||b|cos θ(θ为a与b的夹角), ∴由|a·b|=|a||b|及a,b为非零向量可得|cos θ|=1, ∴θ=0或π,∴a∥b且以上各步均可逆.故命题A是真命题. B.若a,b反向,则a,b的夹角为π,∴a·b=|a|·|b|cos π=-|a||b|且以上各步均可逆.故命题B是真命题. C.当a⊥b时,将向量a,b的起点移至同一点,则以向量a,b为邻边作平行四边形,则该平行四边形必为矩形,于是它的两对角线长相等,即有|a+b|=|a-b|.反过来,若|a+b|=|a-b|,则以a,b为邻边的四边形为矩形,所以有a⊥b.故命题C是真命题. D.当|a|=|b|但a与c的夹角和b与c的夹角不等时,就有|a·c|≠|b·c|,反过来由|a·c|=|b·c|也推不出|a|=|b|.故命题D是假命题. 答案ABC 6.已知a,b为共线的两个向量,且|a|=1,|b|=2,则|2a-b|= . 解析|2a-b|=. 又a,b为共线的两个向量,设a,b的夹角为θ, 则θ=0°或180°,当θ=0°时,a·b=2; 当θ=180°时,a·b=-2.故|2a-b|=0或4. 答案0或4 7.如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=1,则的值是 . 解析(方法一)=||||cos(180°-∠B)=-||||cos∠B=-|||=-||2=-1. (方法二)||=1,即为单位向量,=-=-||||cos∠ABC, 而||cos∠ABC=||, 所以=-||2=-1. 答案-1 8.已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们相互之间的夹角均为120°.求证:(a-b)⊥c. 证明(a-b)·c=a·c-b·c =|a||c|cos 120°-|b||c|cos 120° =1×1×-1×1×=0, 故(a-b)⊥c. 9.已知向量a,b满足|a|=,|b|=1. (1)若a,b的夹角θ为,求|a+b|; (2)若(a-b)⊥b,求a与b的夹角θ. 解(1)由已知,得a·b=|a||b|cos×1×=1,所以|a+b|2=(a+b)2=|a|2+|b|2+2a·b=2+1+2=5,所以|a+b|=. (2)因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=0. 所以a·b-b2=0,即a·b=b2=1, 所以cos θ=. 又θ∈[0,π],所以θ=,即a与b的夹角为. 能力提升练 1.已知平面向量a,b,|a|=2,|b|=1,则|a-b|的最大值为( ) A.1 B.2 C.3 D.5 解析∵|a|=2,|b|=1,∴|a-b|=, 又a·b∈[-2,2],∴|a-b|∈[1,3], ∴|a-b|的最大值为3. 答案C 2.(多选题)设a,b,c是任意的非零向量,且它们相互不共线,给出下列四个选项,其中正确的有( ) A.a·c-b·c=(a-b)·c B.(b·c)·a-(c·a)·b不与c垂直 C.|a|-|b|<|a-b| D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2 解析根据向量数量积的分配律知,A正确; 因为[(b·c)·a-(c·a)·b]·c =(b·c)·(a·c)-(c·a)·(b·c)=0, 所以(b·c)·a-(c·a)·b与c垂直,B错误; 因为a,b不共线,所以|a|,|b|,|a-b|组成三角形三边,所以|a|-|b|<|a-b|成立,C正确; 根据向量数量积的分配律以及性质知,D正确. 答案ACD 3.已知|a|=|b|=2,a,b的夹角为60°,则使向量a+λb与λa+b的夹角为锐角的λ的取值范围是 . 解析由a+λb与λa+b的夹角为锐角,得(a+λb)·(λa+b)>0,即λa2+(λ2+1)a·b+λb2>0, 从而λ2+4λ+1>0,解得λ<-2-或λ>-2+. 当λ=1时,a+λb与λa+b同向,故λ的取值范围是(-∞,-2-)∪(-2+,1)∪(1,+∞). 答案(-∞,-2-)∪(-2+,1)∪(1,+∞) 4.如图,在四边形ABCD中,=a,=b,=c,=d,且a·b=b·c=c·d=d·a,且a·c=b·d,则四边形ABCD是什么形状? 解∵a+b+c+d=0, ∴a+b=-(c+d), ∴(a+b)2=(c+d)2, 即a2+2a·b+b2=c2+2c·d+d2. 又a·b=c·d,∴a2+b2=c2+d2, 即|a|2+|b|2=|c|2+|d|2.① 同理可得|a|2+|d|2=|b|2+|c|2.② ①-②,得|b|2=|d|2, ①变形为|a|2-|d|2=|c|2-|b|2,再加②式得|a|2=|c|2, 即|b|=|d|,|a|=|c|. 同理可得|a|=|b|,|c|=|d|,故四边形ABCD是菱形. ∵,∴a=-c. 又a·b=b·c,∴b·(a-c)=0, 即b·(2a)=0.∴a·b=0, ∴.故四边形ABCD为正方形. 5.如图,在平面内将两块直角三角板接在一起,已知∠ABC=45°,∠BCD=60°,记=a,=b. (1)试用a,b表示向量; (2)若|b|=1,求. 解(1)=a-b, 由题意可知,AC∥BD,BD=BC=AC. ∴b,则=a+b, =a+(-1)b. (2)∵|b|=1,∴|a|=,a·b=cos 45°=1, 则=a·[a+(-1)b] =a2+(-1)a·b=2+-1=+1. 素养培优练 1.如图所示为正六边形P1P2P3P4P5P6,则下列向量的数量积中最大的是( ) A. B. C. D. 解析由于,故其数量积是0;的夹角是,故其数量积小于0;设正六边形的边长是a,则=||||cos 30°=a2,=||||cos 60°=a2.故选A. 答案A 2.(2020郑州检测)已知a,b是两个非零向量,同时满足|a|=|b|=|a-b|,求a与a+b的夹角. 解根据|a|=|b|,有|a|2=|b|2,又由|b|=|a-b|,得|b|2=|a|2-2a·b+|b|2,∴a·b=|a|2. 而|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=3|a|2, ∴|a+b|=|a|.设a与a+b的夹角为θ. 则cos θ=. ∴θ=30°. 故a与a+b的夹角为30°.查看更多