【推荐】专题5-2+平面向量的基本定理及坐标表示-2018年高三数学（理）一轮总复习名师伴学

【推荐】专题5-2+平面向量的基本定理及坐标表示-2018年高三数学（理）一轮总复习名师伴学

‎1. 【2017课标II理12】已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小是（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】B ‎【考点解读】本题考查了平面向量的坐标运算和函数的最值。平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决。 ‎ ‎2.【2015高考广东】在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，， ‎ ‎ ，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎【答案】D ‎【解析】因为四边形是平行四边形，所以，所以 ‎ ，故选D．‎ ‎【考点解读】本题主要考查的是平面向量的加法运算和数量积的坐标运算．解题时要注意运行平行四边形 ‎ ‎ 法则的特点，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是平面向量加法的坐标运算和数 ‎ 量积的坐标运算，即若，，则， ‎3.【2015湖南理2】已知点，，在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为（ ）‎ A.6 B.7 C.8 D.9‎ ‎【答案】B.‎ ‎【考点解读】本题主要考查向量的坐标运算，向量的几何意义以及点到圆上点的距离的最值问题，属于中 档题，结合转化思想和数形结合思想求解最值，关键是把向量的模的最值问题转化为点与圆上点的距离的最值问题，即圆上的动点到点距离的最大值.‎ ‎4．【2016高考天津】已知△ABC是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接 并延长到点，使得，则的值为（）‎ ‎ A. B. C. D. ‎【答案】B ‎【解析】设，，∴，，‎ ‎ ，∴.‎ ‎【考点解读】本题考查了平面向量基本定理的灵活运用，为基础题。‎ ‎5.【2017课标3理12】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.‎ 若= +，则+的最大值为 A．3 B．2 C． D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图所示，建立平面直角坐标系 所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A. ‎ ‎【考点解读】本题考查了 平面向量的坐标运算及平面向量基本定理。用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.‎ ‎6. 【2017江苏高考12】如图,在同一个平面内，向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为,且tan=7,与的夹角为45°.若, 则 .‎ ‎ ‎ ‎【答案】3 ‎ ‎【考点解读】本题考查了平面向量的坐标运算，三角函数与方程思想。由一定的综合性。‎ ‎7.【2015江苏高考6】已知向量a=，b=, 若ma+nb=(), 则的值为______.‎ ‎【答案】 ‎【解析】由题意得： ‎【考点解读】本题考查了向量相等的充要条件。它们的对应坐标相等.其实质为平面向量基本定理应用. 向量共线的充要条件的坐标表示：若，则 ⇔.‎ ‎8.【2015高考新课标2理13】设向量，不平行，向量与平行，则实数_________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】因为向量与平行，所以，则所以．‎ ‎【考点解读】本题考查向量共线，明确平面向量共线定理，利用待定系数法得参数的关系是解题关键。‎ ‎9. 【2015高考北京，理13】在中，点，满足，．若，‎ 则 ； ．‎ ‎【答案】 ‎【考点解读】本题考点为平面向量有关知识与计算，利用向量相等解题.利用坐标运算要建立适当的之间坐标系，准确写出相关点的坐标、向量的坐标，利用向量相等，列方程组，解出未知数的值.‎ 考点 了解A 掌握B 灵活运用C 平面向量的基本定理 A 平面向量的正交分解及其坐标表示 B 用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 C 用坐标表示的平面向量共线的条件 C 向量作为高中阶段新学习的概念，它兼具数与形的双重特征。学习中应注意既联系代数，又联系几何，感悟数形结合思想。在高考中平面向量的坐标表示及运算、用坐标表示平面向量共线的条件都是高频考点。‎ 在复习中加强学生对平面向量基本定理及其意义的理解，熟练掌握平面向量的其坐标表示及运算，灵活运用平面向量共线的条件为主要目标。通过对基本题型的训练，提高复习的有效性。‎ 题型一　平面向量基本定理及其应用 典例1. （1）(2017福建泉州调研)若向量a，b不共线，则下列各组向量中，可以作为一组基底的是(　　)‎ A．a－2b与－a＋2b B．3a－5b与6a－10b C．a－2b与5a＋7b D．2a－3b与a－b ‎【答案】C ‎【解析】不共线的两个向量可以作为一组基底．因为a－2b与5a＋7b不共线，故a－2b与5a＋7b可以 作为一组基底．‎ ‎（2）(2017福建莆田一中高一月考) 在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎（3）(2017山东潍坊模拟)在△ABC中，P，Q分别是AB，BC的三等分点，且AP＝AB，BQ＝‎ BC，若 ＝a，＝b，则＝(　　)‎ A.a＋b B．－a＋b C.a－b D．－a－b ‎【答案】A ‎【解析】由题意知＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b。‎ ‎（4）（2017山东省滨州市联考）在中，为边上的任意一点，点在线段上，且满足，若，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎（5）（2017江西南昌模拟）如图，在正方形中， 分别是的中点，‎ 若，则的值为（ ）‎ A. B. C. 1 D. -1‎ ‎【答案】A ‎【解析】设正方形的边长为2，以点为原点， 分别为轴，建立平面直角坐标系， ‎ ‎，所以， ，‎ 所以 ，解得 ，所以，故选A. ‎ ‎（6）（2017银川一中月考）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，E，F分别为线段AD 与BC的中点．设＝a，＝b，试用a，b为基底表示向量，，.‎ ‎【答案】见解析 解题技巧与方法总结 应用平面向量基本定理的关键点 ‎1．平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．‎ ‎2．选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示 出来．‎ ‎3．强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、‎ 相似等．‎ 提醒：在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．‎ ‎【变式训练】‎ ‎（1）(2016济南质检)若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为(　　)‎ A．(2,0) B．(0，－2)‎ C．(－2,0) D．(0,2)‎ ‎【答案】　D ‎【解析】∵a在基底p，q下的坐标为(－2,2)，即a＝－2p＋2q＝(2,4)，‎ 令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，∴即 ‎∴a在基底m，n下的坐标为(0,2)．‎ ‎（2）（2017宁夏石嘴山市联考）如图，已知＝，用，表示，则等于(　　)‎ A.－ B.＋ ‎ C.－＋ D.－－ ‎【答案】C ‎【解析】＝＋＝＋＝＋ (－)＝－＋，选C.‎ ‎（3）（2017哈尔滨模拟）如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且＝2，则(　　)‎ A．x＝，y＝ 　 B．x＝，y＝ C．x＝，y＝ D．x＝，y＝ ‎【答案】A ‎（4）(2017南京模拟)如图所示，在△ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.‎ ‎【答案】　 ‎【解析】由B，H，C三点共线知，＝k(k≠0,1)，则＝＋＝＋k ‎＝＋k(－)＝(1－k)＋k，所以＝＝(1－k)＋，‎ 又＝λ＋μ，所以从而λ＋μ＝.‎ ‎（5）（2017河北正定县模拟）在中,,若,则的值为_________.‎ ‎【答案】‎ 知识链接：‎ ‎　平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任意向量a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.向量e1，e2叫做表示这一平面内的所有向量的一组基底．‎ 题型二　平面向量的坐标运算 典例2. （1）（2017河南洛阳模拟）已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若＝－3a，则点N的坐标为(　　)‎ A．(2,0) B．(－3,6) C．(6,2) D．(－2,0)‎ ‎【答案】A ‎【解析】＝－3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)，设N(x，y)，则＝(x－5，y＋6)＝(－3,6)，‎ 所以解得即N(2,0)．‎ ‎（2）（2017海南中学模考）已知向量，则 ‎（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】又因为所以, 故选D。‎ ‎（3）（2017山东烟台模拟）已知△ABC的顶点分别为A(2,1)，B(3,2)，C(－3，－1)，BC边上的高为AD，则点D的坐标为(　　)‎ ‎ A．(－，) B．(，－)‎ ‎ C．(，) D．(－，－)‎ ‎【答案】C ‎（4）（2017江西九江模拟）已知梯形ABCD，其中AB∥DC，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________．‎ ‎【答案】(2,4)‎ ‎【解析】∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥DC，∴＝2.设点D的坐标为(x，y)，‎ 则＝(4－x，2－y)，＝(1，－1)，∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)，‎ ‎∴解得故点D的坐标为(2,4)．‎ ‎（5）(2017北京模拟)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图422所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，‎ 则＝________.‎ ‎【答案】　4‎ ‎【解析】以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，‎ 则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，∴a＝＝(－1,1)，b＝＝(6,2)，‎ c＝＝(－1，－3)．∵c＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，‎ 即解得λ＝－2，μ＝－，∴＝4.‎ ‎（6）（2017银川模拟）已知A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，‎ ‎①求；‎ ‎②若＝m＋n，求m，n；‎ ‎③若＝＋λ(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在一、三象限的角平分线上．‎ ‎【答案】见解析 ‎③设P(x，y)，则＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)．‎ ＋λ＝(5,4)－(2,3)＋λ[(7,10)－(2,3)]＝(3＋5λ，1＋7λ)．‎ ‎∵＝＋λ，∴∴ 若点P在一、三象限的角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝.‎ 解题技巧与方法总结 平面向量坐标运算的技巧 ‎1．向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．‎ ‎2．解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．‎ ‎【变式训练】‎ ‎（1）（2017湖北黄石联考）在△ABC中，点P在BC上，且＝，点Q是AC 的中点，若＝，＝，则等于(　　)‎ A．(－2,7)　　　　　　　　 B．(－6,21)‎ C．(2，－7) D．(6，－21)‎ ‎【答案】 ‎（2）（2017陕西宝鸡模拟）已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，则顶点D的坐标为(　　)‎ A. B. C．(3,2) D．(1,3)‎ ‎【答案】　A ‎【解析】　设D(x，y)，＝(x，y－2)，＝(4,3)，‎ 又＝2，∴∴故选A.‎ ‎（3）（2017兰州模拟）若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝，则c可用向量a，b表示为(　　)‎ A.a＋b B.－a－b C.a＋b D.a－b ‎【答案】　A ‎【解析】　设c＝xa＋yb，则＝(2x－y，x＋2y)，所以解得 则c＝a＋b. ‎ ‎（4）(2017无锡质检)已知A(7,1)、B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于C，且＝2，则实数a等于________．‎ ‎【答案】　2‎ ‎（5）(2016济南模拟)如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若＝x＋y，则x＝________，y＝________.‎ ‎【答案】　1＋　 ‎【解析】　以AB所在直线为x轴，以A为原点建立平面直角坐标系如图，令AB＝2，则＝(2,0)，＝(0,2)，过D作DF⊥AB交AB的延长线于F，由已知得DF＝BF＝，则＝(2＋，)．‎ ‎∵＝x＋y，∴(2＋，)＝(2x,2y)，即有解得 ‎（6）（2017河北衡水中学一模）已知平面直角坐标系内的两个向量，，且平面内的任一向量都可以唯一的表示成（为实数），则的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎（7）（2017福建莆田一中期末）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动．若＝x＋y，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1，0)，‎ B（－，），设∠AOC＝αα∈0，，则C(cos α，sin α)，‎ 由＝x＋y，得 所以x＝cos α＋sin α，y＝sin α，‎ 所以x＋y＝cos α＋sin α＝2sin，‎ 又α∈，则α＋∈.所以当α＋＝，即α＝时，x＋y取得最大值2. ‎ 知识链接：‎ 平面向量的坐标运算 ‎1．向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则；a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，‎ λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.‎ 向量坐标的求法 ‎(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.‎ 题型三　平面向量共线的坐标表示 典例6. （1）（2017宁波模拟）已知向量， ，若，则等于（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎（2）(2016沈阳模拟)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)，若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝(　　)‎ A. B. C．1 D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】a＋λb＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，c＝(3,4)，由(a＋λb)∥c得4(1＋λ)＝6，∴λ＝.‎ ‎（3）（2017南昌模拟）已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则k的值是(　　)‎ A．－ B. C. D. ‎【答案】A ‎【解析】　＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(－2k，－2)．∵A，B，C 三点共线，‎ ‎∴，共线，∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－.‎ ‎(4)(2017陕西渭南联考)设0<θ<，向量a＝(sin 2θ，cos θ)，b＝(cos θ，1)，若a∥b，则tan θ＝________.‎ ‎【答案】 ‎【解析】 因为a∥b，所以sin 2θ＝cos2 θ，2sin θcos θ＝cos2 θ.‎ 因为0＜θ＜，所以cos θ＞0，得2sin θ＝cos θ，所以tan θ＝.‎ ‎（5）（2017衡水金卷）在数列中， ，若平面向量与平行，则的通项公式为__________．‎ ‎【答案】‎ 解题技巧与方法总结 平面向量共线的坐标表示的两个注意点 ‎1．两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是 x1y2－x2y1＝0；(2)若a∥b(a≠0)，则b＝λa，应视题目条件灵活选择．‎ ‎2．向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．‎ ‎【变式训练】‎ ‎（1）(2017合肥模拟)设，向量， ，且，则（ ）‎ A. -10 B. 10 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎（2）（2017云南昆明模拟）已知平面向量，如果，那么（ ）‎ A． B． C．3 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，得，则，则；故选B．‎ ‎（3）（2017宁夏六盘山二模）向量且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得，因为，则，即，‎ 又，故选A．‎ ‎（4）（2017福建石狮市联考）设，，，，为坐标原点，若、、三点共线，则的最小值是（ ）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎【答案】D ‎【解析】，，若、、三点共线，，由向量共线定理得，，故．‎ ‎（5）(2016·郑州模拟)设向量a＝(m,1)，b＝(1，m)，如果a与b共线且方向相反，则m的值为________．‎ ‎【答案】　－1‎ ‎【解析】设a＝λb，则解得或由于λ<0，∴m＝－1.‎ ‎（6）(2016昆明模拟)设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a,3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c＝________(用坐标表示)．‎ ‎【答案】　(4，－6)‎ ‎（7）（2017河北唐山模拟）设点,,为坐标原点，点满足=+，（为实数）；‎ ‎（1）当点在轴上时，求实数的值；‎ ‎（2）四边形能否是平行四边形？若是,求实数的值；若不是，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）（2）四边形OABP不是平行四边形 ‎【解析】分析：（1）设点P（x，0），由=+得（x，0）=（2，2）+t（3，2），解出t值．（2），设点P（x，y），假设四边形OABP是平行四边形，根据向量平行得出坐标间的关系，由=+，推出矛盾，故假设是错误的 解析：（1）设点P（x，0），=（3,2）,∵=+，‎ ‎∴（x,0）=（2,2）+t（3,2）,∴‎ ‎（2）设点P（x,y），假设四边形OABP是平行四边形，‎ 则有∥,Ty=x―1,∥T2y=3x①,‎ 又由=+，T（x,y）=（2,2）+t（3,2）,得∴②,‎ 由①代入②得：，矛盾，∴假设是错误的，∴四边形OABP不是平行四边形。‎ ‎ 知识链接：‎ ‎　平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.‎ ‎ 注意：(1)若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. ‎ ‎(2)平面向量的基底中一定不含零向量．‎ ‎（3）若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，而应该表示为x1y2－x2y1＝0‎ 课本典例解析与变式 例1. 【必修4第一百五页例5】已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，‎ ，，求顶点的坐标．‎ ‎【解析】方法一: 如图2,设顶点D的坐标为(x,y).‎ ‎∴顶点D的坐标为(2,2). ‎ 方法二: 如图,由向量加法的平行四边形法则,可知 ‎ ‎=(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)=(3,-1),‎ 而=+=(-1,3)+(3,-1)=(2,2),‎ ‎∴顶点D的坐标为(2,2).‎ ‎【原题解读】本题给出了两个解法。解法一利用“两个向量相等,则它们的坐标相等”,解题过程中应用了方程思想;解法二利用向量加法的平行四边形法则求得向量的坐标,进而得到点D的坐标.解题过程中,关键是充分利用图形中各线段的位置关系(主要是平行关系),数形结合地思考,将顶点D的坐标表示为已知点的坐标.充分体现了向量作为代数与几何结合体的特征。‎ 变式1.【2015高考新课标1】已知点，向量，则向量( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 变式2.【2015高考新课标1理科】设为所在平面内一点，则（ ）‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题知=，故选A.‎ 变式3. 【2016年高考四川理数】在平面内，定点A，B，C，D满足 ==,= ==-2，动点P，M满足 =1，=，则的最大值是( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B 变式4.【2015高考北京理】在中，点，满足，．若，‎ ‎ 则 ； ．‎ ‎【答案】 ‎ ‎ ‎【解析】特殊化，不妨设，利用坐标法，以A为原点，AB为轴，为 轴，建立直角坐标系，， ‎ ‎ ，则，.‎ 变式5.【2015江苏高考】 已知向量a=，b=, 若ma+nb=(), 则的值为 ‎ ______.‎ ‎【答案】 ‎【解析】由题意得： 变式6.【2014高考陕西理】设，向量，若，则 ‎ ______.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【课本回眸反思】‎ ‎1. 注重运用概念思考解决教材中的例题。例题常常是高考题目生成和变化的源头；‎ ‎2. 在复习解题训练中因注重对数学课本中典型问题的解读和拓展；‎ ‎3． 解题中应该注重一题多解，一题多变，达到加深理解，灵活运用的目的，并提高复习效率。‎ ‎1．(2017莆田一中月考) 已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c ‎＝0，则c＝(　　)‎ A．(－23，－12) B．(23,12)‎ C．(7,0) D．(－7,0)‎ ‎【答案】　A ‎【解析】由题意可得3a－2b＋c＝3(5,2)－2(－4，－3)＋(x，y)＝(23＋x,12＋y)＝(0,0)，‎ 所以解得所以c＝(－23，－12)．‎ 考点：向量的坐标运算 ‎2.（2017兰州模拟）已知在平行四边形ABCD中，＝(2,8)，＝(－3,4)，对角线AC与BD相交于点M，则＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　B ‎【解析】因为在平行四边形ABCD中，有＝＋，＝，所以＝(＋)＝[(－3,4)＋(2,8)]＝×(－1,12)＝，故选B.‎ 考点：向量的线性运算与坐标运算 ‎3．(2017山东潍坊模拟)已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋4b与a－2b共线，则m的值为(　　)‎ A. B．2 ‎ C．－ D．－2‎ ‎【答案】　D 考点：向量坐标运算与共线定理 ‎2.（2017北京模拟）如图，已知表示，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得： 选D.‎ 考点：平面向量基本定理 ‎5.（2017重庆联考）正三角形内一点满足，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图，设正三角形的边长为a，由得：，‎ ‎，故选D．‎ 考点：平面向量的坐标运算与三角函数.‎ ‎6.（2017河北正定联考）已知菱形的边长为2，，点分别在边上，，．若，，则 （ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎【答案】C．‎ 考点：1．平面向量共线充要条件；2．向量的数量积运算．‎ ‎7.（2017安徽六安模拟）在平面直角坐标系中，已知向量点 满足．曲线，区域 ．若为两段分离的曲线，则( )‎ A． B． ‎ ‎ C． D． ‎【答案】A．‎ 考点：1．平面向量的应用；2．线性规划．‎ ‎8.（2017成都大联考）在直角梯形中， ， ， ， ， 分别为， 的中点，以为圆心，为半径的圆交于，点在上运动（如图）.若，其中， ，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎【解析】建立如图所示的坐标系，则， ， ， ， ， ，‎ 设，其中， ， ， ，‎ ‎∵，∴，即，‎ 解得，∴，‎ ‎∵，∴，∴，‎ 即的取值范围是，故选C. ‎ 考点：平面向量的坐标运算及三角函数的性质.‎ ‎9．(2016长春模拟)如图所示，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设＝a，＝b，若＝2，则＝________(用向量a和b表示)．‎ ‎【答案】　a＋b 考点：平面向量基本定理.‎ ‎10.（2017武汉武昌区一模）已知点，线段的中点的坐标为．若向量与向量共线，则 _____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题设条件，得，所以．因为向量与向量共线，‎ 所以，所以．‎ 考点：平面向量共线定理.‎ ‎11．（2017大连模拟） ＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是________．‎ ‎【答案】　k≠1‎ 考点：平面向量共线定理.‎ ‎12.（2017河北衡水金卷）如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量 ．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】以为原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系. ‎ 设正方形的边长为，则   ‎ 设  .又向量 所以，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴．‎ 由题意得 ‎∴当时，同时，时，取最小值为.‎ 考点：平面向量坐标运算与三角函数.‎ ‎13.（2017河北正定中学月考）在平面直角坐标系中，已知点，点在直线上，‎ 点满足，，则点的轨迹方程为 ．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】：设，，‎ 则，①‎ ‎，② 由①②可知，点的轨迹方程为.‎ 考点：轨迹方程的求解.‎ ‎14.（2017银川一中月考）已经向量，，点A.‎ ‎（1）求线BD的中点M的坐标；‎ ‎（2）若点P满足,求和的值.‎ ‎【答案】（1） （2）,‎ ‎（2），,‎ ‎ ∵ ∴. 即，得. ‎ 考点：平面向量坐标运算与方程思想.‎ ‎15．（2017湖北襄阳模拟）如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，G，Q三点共线．‎ ‎(1)设＝λ，将用λ，，表示；‎ ‎(2)设＝x，＝y，证明：＋是定值．‎ ‎【答案】见解析 考点：平面向量坐标运算与方程思想.‎ ‎16.（2017福建莆田一中月考）四边形中，，，．‎ ‎（1）若，试求与满足的关系式；‎ ‎（2）满足（1）的同时又有，求，的值及四边形的面积．‎ ‎【答案】（1）（2）或 ‎【解析】分析：（1）两向量平行的坐标关系可得表达式；（2）由结合上题结论，可得方程组，求出、的值，可得，长度，易求四边形面积. ‎ 解：(1)由，‎ ‎①5分 ‎(2)，,‎ ‎②‎ 解①②得或（舍），‎ 由知：．‎ 考点：两向量平行，垂直时的坐标关系.‎ ‎17.（2017兰州模拟）已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cos x，－sin 2x)，b＝(cos x,1)，x∈R.‎ ‎(1)求函数y＝f(x)的单调递减区间；‎ ‎(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝，且向量m＝(3，sin B)‎ 与n＝(2，sin C)共线，求边长b和c的值．‎ ‎【答案】（1）(k∈Z)． （2）b＝3，c＝2.‎ 考点：向量平行与三角函数的性质 ‎18.（2017广州模拟）已知向量a=(2,1),b=(x,y). ‎ ‎（1） 若x∈{-1,0,1,2}，y∈{-1,0,1}，求向量a∥b的概率；‎ ‎（2） 若x∈［-1,2］，y∈［-1,1］，求向量a,b的夹角是钝角的概率. ‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】（1） 设“a∥b”为事件A，由a∥b，得x=2y. ‎ Ω={(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0),(2,1)}‎ 共包含12个基本事件；其中A={（0，0），（2，1）}，包含2个基本事件.则.‎ ‎ ‎ 则 考点：平面向量坐标运算,共线定理、概率与线性规划。‎ ‎ ‎