2020年高中数学第一章空间几何体的直观图

2020年高中数学第一章空间几何体的直观图

‎1.2.3‎‎ 空间几何体的直观图 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．用斜二测画法画水平放置的圆，得到的图形形状是(　　)‎ A．圆　　　B．椭圆　　　C．正方形　　D．矩形 解析：因为斜二测画法中平行y轴的长度变为原来的，故圆的直观图就是椭圆．‎ 答案：B ‎2.如图，Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，直角边O′B′＝1，则这个平面图形的面积是(　　)‎ A．2 B．1‎ C. D．4 解析：∵O′B′＝1，‎ ‎∴O′A′＝.‎ ‎∴在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OB＝1，OA＝2，‎ ‎∴S△AOB＝×1×2＝，故选C.‎ 答案：C ‎3.如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是(　　)‎ A．6 B．8‎ C．2＋3 D．2＋2 解析：根据水平放置平面图形的直观图画法，可得原图形是一个平行四边形，如图所示，对角线OB＝2，OA＝1，所以AB＝3，所以周长为8.‎ 答案：B ‎4．如图所示为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系中点B的坐标为(2,2)，则在斜二测画法画出的正方形的直观图中，点B′到O′x′轴的距离为(　　)‎ 6‎ A. B． C．1 D． 解析：由于BC垂直于x轴，所以在直观图中BC的长度是1，且与O′x′轴的夹角是45°，所以B′到O′x′轴的距离是.‎ 答案：B ‎5.如图，梯形A1B‎1C1D1是平面图形ABCD的直观图(斜二测画法)，若A1D1∥O1y1，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝1，则ABCD的面积是(　　)‎ A．10 B．5‎ C．5 D．10 解析：由直观图还原成原图，如图CD＝C1D1＝3，AD＝‎2A1D1＝2，AB＝A1B1＝2，∠ADC＝90°，故S梯形ABCD＝(2＋3)×2＝5，选B.‎ 答案：B ‎6．利用斜二测画法得到的①三角形的直观图是三角形；②正方形的直观图是正方形；③菱形的直观图是菱形．以上结论，正确的是________．‎ 解析：①正确．②错，正方形的直观图是平行四边形；③错，利用斜二测画法画菱形的直观图时，相邻两边不一定再相等，故不一定是菱形．‎ 答案：①‎ ‎7.如图所示，△A′B′C′表示水平放置的△ABC在斜二测画法下的直观图，A′B′在x′轴上，B′C′与x′轴垂直，且B′C′＝3，则△ABC的边AB上的高为________．‎ 解析：由题意知：过C′作C′H∥y′轴，交x′轴于H，则|C′H|＝|C′B′|×＝3.‎ 由斜二测画法的规则知，CH⊥AB.‎ ‎∴AB边的高CH＝‎2C′H＝6.‎ 答案：6 ‎8.在直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为‎2 cm，则在坐标系 6‎ xOy中原四边形OABC为______(填形状)，面积为________ cm2.‎ 解析：由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC为矩形，其中OA＝‎2 cm，OC＝‎4 cm，所以四边形OABC的面积S＝2×4＝8(cm2)．‎ 答案：矩形　8‎ ‎9．已知几何体的三视图如图所示，用斜二测画法画出它的直观图．‎ 解析：(1)画轴．如图①，画x轴，y轴，z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.‎ ‎(2)画圆台的两底面．利用椭圆模板，画出底面⊙O，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中相应的长度，过点O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，类似底面⊙O的作法作出上底面⊙O′.‎ ‎(3)画圆锥的顶点．在O′z上截取O′P，使O′P等于三视图中O′P的长度．‎ ‎(4)成图．连接PA′，PB′，A′A，B′B，整理得到三视图所表示的几何体的直观图，如图②.‎ ‎10．由下列几何体的三视图画出直观图．‎ 解析：(1)画轴．‎ 如图，画出x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，‎ 使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.‎ ‎(2)画底面．作水平放置的三角形(俯视图)的直观图△ABC.‎ 6‎ ‎(3)画侧棱．过A、B、C各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取线段AA′、BB′、CC′.‎ ‎(4)成图．顺次连接A′、B′、C′，并加以整理(擦去辅助线，将遮挡部分用虚线表示)，得到的图形就是所求的几何体的直观图．‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知B′C′＝4，A′C′＝3，则△ABC中AB边上的中线的长度为(　　)‎ A. B． C．5 D． 解析：由斜二测画法规则知AC⊥BC，即△ABC为直角三角形，其中AC＝3，BC＝8，所以AB＝，AB边上的中线长度为.‎ 答案：A ‎2．如图，在斜二测画法下，边长为1的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是(　　)‎ 解析：在直观图中，平行于x轴(或在x轴上)的线段长不变，平行于y轴(或在y轴上)的线段长减半．在C中，第一个图中，AB不变，高减半，第二个图中，AB减半，高不变，因此两三角形(直观图)不全等．‎ 答案：C ‎3．已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为‎20 m,‎5 m,‎10 m，四棱锥的高为‎8 m．如果按1∶500的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为(　　)‎ A．‎4 cm,‎1 cm,‎2 cm,‎‎1.6 cm 6‎ B．‎4 cm,‎0.5 cm,‎2 cm,‎‎0.8 cm C．‎4 cm,‎0.5 cm,‎2 cm,‎‎1.6 cm D．‎4 cm,‎0.5 cm,‎1 cm,‎‎0.8 cm 解析：由比例尺可知，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为‎4 cm,‎1 cm,‎2 cm和‎1.6 cm，再结合直观图，图形的尺寸应为‎4 cm,‎0.5 cm,‎2 cm,‎1.6 cm.‎ 答案：C ‎4.如图所示的水平放置的三角形的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点，且A′D′平行于y′轴，那么A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形中线段AB，AD，AC中(　　)‎ A．最长的是AB，最短的是AC B．最长的是AC，最短的是AB C．最长的是AB，最短的是AD D．最长的是AD，最短的是AC 解析：因为A′D′∥y′轴，所以在△ABC中，AD⊥BC，又因为D′是B′C′的中点，所以D是BC中点，所以AB＝AC>AD.‎ 答案：C ‎5.如图所示，△ABC中，AC＝‎12 cm，边AC上的高BD＝‎12 cm，求其水平放置的直观图的面积．‎ 解析：△ABC的面积为AC·BD＝×12×12＝72(cm2)，由平面图形的面积与直观图的面积间的关系，可得△ABC的水平放置的直观图的面积是×72＝18(cm2)．‎ ‎6．已知某几何体的三视图如图，试用斜二测画法画出它的直观图．‎ 解析：由该几何体的三视图可知该几何体是一个简单组合体，下方是一个四棱柱，上方是一个四棱锥，并且下方的四棱柱与上方的四棱锥底面重合，可以先画下方的四棱柱，再画上方的四棱锥．‎ ‎(1)画轴．如图①所示，画出x轴、y轴、z轴，三轴交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.‎ ‎(2)画棱柱的底面．以O为中点，在x轴上画MN＝2，在y轴上画EQ＝2，分别过点M，N作y 6‎ 轴的平行线，过点E，Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，则四边形ABCD就是该棱柱的下底面．‎ ‎(3)画棱柱的侧棱．分别以A，B，C，D四个顶点为起点作平行于z轴，长度为1的线段，得四条侧棱AA′，BB′，CC′，DD′，顺次连接A′，B′，C′，D′.‎ ‎ (4)画四棱锥的顶点．在Oz上截取线段OP使OP＝2.‎ ‎(5)成图．连接PA′，PB′，PC′，PD′，擦去辅助线，将被遮挡部分改为虚线，可得所求直观图如图②.‎ 6‎