高中数学必修2全册同步检测：2-3-1

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‎2-3-1‎直线与平面垂直的判定 一、选择题 ‎1．下列命题中，正确的有(　　)‎ ‎①如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直．‎ ‎②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直．‎ ‎③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．‎ ‎④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面．‎ ‎⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内．‎ A．2个　 　B．3个　 　C．4个　 　D．5个 ‎2．如果一条直线垂直于一个平面内的：‎ ‎①三角形的两边；‎ ‎②梯形的两边；‎ ‎③圆的两条直径；‎ ‎④正六边形的两条边．‎ 则能保证该直线与平面垂直(　　)‎ A．①③ B．①②‎ C．②④ D．①④‎ ‎3．下面条件中，能判定直线l⊥α的是(　　)‎ A．l与平面α内的两条直线垂直 B．l与平面α内的无数条直线垂直 C．l与平面α内的某一条直线垂直 D．l与平面α内的任意一条直线垂直 ‎4．在正方体ABCD－A1B‎1C1D1的六个面中，与AA1垂直的面的个数是(　　)‎ A．1　　　B．‎2　‎　　C．3　　　D．6‎ ‎5．直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，则直线b与平面α所成的角等于(　　)‎ A．40° B．50°‎ C．90° D．150°‎ ‎6．下列条件中，能使直线m⊥平面α的是(　　)‎ A．m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α B．m⊥b，b∥α C．m∩b＝A，b⊥α D．m∥b，b⊥α ‎7．已知m、n为两条不同的直线，α、β 为两个不同的平面，则下列命题中正确的是(　　)‎ A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β B．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n C．m⊥α，m⊥n⇒n∥α D．n∥m，n⊥α⇒m⊥α ‎8．(2011－2012·吉安高二检测)如图，已知四棱锥的侧棱长与底面边长都是2，且SO⊥平面ABCD，O为底面的中心，则侧棱与底面所成的角为(　　)‎ A．75° B．60°‎ C．45° D．30°‎ ‎9．(2011－2012·武安中学高二检测)如图，在长方体ABCD－A1B‎1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎10．(09·四川文)如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是(　　)‎ A．PB⊥AD B．平面PAB⊥平面PBC C．直线BC∥平面PAE D．直线PD与平面ABC所成的角为45°‎ ‎[答案]　D 二、填空题 ‎11．已知l，m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，给出下列说法：‎ ‎①若m∥l，且l⊥α，则m⊥α；‎ ‎②若m∥l，且l∥α，则m∥α；‎ ‎③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则l∥m∥n；‎ ‎④若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，n∥β，则m∥l.‎ 其中表述正确的有________．‎ ‎12．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD一定是________．‎ ‎13．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，P为空间一点，且AC＝BC＝5，PC⊥AC，PC⊥BC，PC＝5，AB的中点为M，则PM与平面ABC所成的角为________．‎ ‎14．如图，ABCD－A1B‎1C1D1为正方体，下面结论错误的是________．‎ ‎①BD∥平面CB1D1；‎ ‎②AC1⊥BD；‎ ‎③AC1⊥平面CB1D1；‎ ‎④异面直线AD与CB1所成的角为60°.‎ 三、解答题 ‎15．如图所示，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E.求证：AE⊥平面PBC.‎ ‎[分析]　只要证AE垂直于平面PBC内两相交直线即可，已知AE⊥PC，再证AE⊥BC，则可证AE垂直于平面PBC.‎ ‎16．如下图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且PA⊥平面ABCD，PA＝5，AB＝4，AD＝3.求直线PC与平面ABCD所成的角．‎ ‎[分析]　找到PC在平面ABCD上的射影AC，则∠PCA为直线PC与平面ABCD所成的角．‎ ‎17．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝2，BC＝6.‎ 求证：BD⊥平面PAC.‎ ‎18．(09·广东文)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH，下半部分是长方体ABCD－EFGH.图2、图3分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图．‎ ‎(1)求该安全标识墩的体积；‎ ‎(2)证明：直线BD⊥平面PEG.‎ 详解答案 ‎1[答案]　C ‎[解析]　②③④⑤正确，①中当这无数条直线都平行时，结论不成立．‎ ‎2[答案]　A ‎[解析]　三角形的两边，圆的两条直径一定是相交直线，而梯形的两边，正六边形的两条边不一定相交，所以保证直线与平面垂直的是①③.‎ ‎3[答案]　D ‎4[答案]　B ‎[解析]　仅有平面AC和平面A‎1C1与直线AA1垂直．‎ ‎5[答案]　B ‎[解析]　根据两条平行直线和同一平面所成的角相等，知b与α所成的角也是50°.‎ ‎6[答案]　D ‎[解析]　见课本P65例1.‎ ‎7[答案]　D ‎[解析]　B中，m，n可能异面，C中n可能在α内，A中，m，n可能不相交．‎ ‎8[答案]　C ‎9[答案]　D ‎[解析]　取B1D1中点O，在长方体ABCD－A1B‎1C1D1中，‎ ‎∵A1B1＝B‎1C1＝2，∴C1O⊥B1D1，‎ 又C1O⊥BB1，C1O⊥平面BB1D1D，‎ ‎∴∠C1BO为直线C1B与平面BB1D1D所成的角，‎ 在Rt△BOC1中，C1O＝，BC1＝＝，‎ ‎∴sin∠OBC1＝.‎ ‎10[解析]　设AB长为1，由PA＝2AB得PA＝2，‎ 又ABCDEF是正六边形，所以AD长也为2，‎ 又PA⊥平面ABC，所以PA⊥AD，‎ 所以△PAD为直角三角形．‎ ‎∵PA＝AD，∴∠PDA＝45°，‎ ‎∴PD与平面ABC所成的角为45°，故选D.‎ ‎11[答案]　①④‎ ‎[解析]　①中，两条平行直线m，l中一条直线l垂直于平面α，则另一条直线m也垂直于平面α，所以①正确；②中，还可能m⊂α，所以②错误；③中，还可能l，m，n相交于一点，所以③错误；④中，根据直线与平面平行的性质定理可以证明m∥l，所以④正确．‎ ‎12[答案]　菱形 ‎[解析]　由于PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，‎ 所以PA⊥BD.‎ 又PC⊥BD，且PC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，PC∩PA＝P，所以BD⊥平面PAC.‎ 又AC⊂平面PAC，所以BD⊥AC.‎ 又四边形ABCD是平行四边形，所以四边形ABCD是菱形．‎ ‎13[答案]　45°‎ ‎[解析]　由PC⊥AC，PC⊥BC，AC∩BC＝C，知PC⊥平面ACB，所以∠PMC为PM与平面ABC所成的角．‎ 又∵M是AB的中点，∴CM＝AB＝5.‎ 又PC＝5，∴∠PMC＝45°.‎ ‎14[答案]　④‎ ‎[解析]　由于BD∥B1D1，BD⊄平面CB1D1，B1D1⊂平面CB1D1，则BD∥平面CB1D1，所以①正确；‎ 由于BD⊥AC，BD⊥CC1，AC∩CC1＝C，‎ 所以BD⊥平面ACC1，所以AC1⊥BD.‎ 所以②正确；‎ 可以证明AC1⊥B1D1，AC1⊥B‎1C，‎ 所以AC1⊥平面CB1D1，所以③正确；‎ 由于AD∥BC，则∠BCB1＝45°是异面直线AD与CB1所成的角，所以④错误．‎ ‎15[证明]　∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.‎ 又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.‎ 而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.‎ 又∵AE⊂平面PAC，∴BC⊥AE.‎ 又∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.‎ ‎[点评]　利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤是：①在这个平面内找两条直线，使它和已知直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交直线；③根据判定定理得出结论．‎ ‎16[解析]　如图，连接AC，因为PA⊥平面ABCD，则AC是PC在平面ABCD上的射影，‎ 所以∠PCA是PC与平面ABCD所成的角．‎ 在△PAC中，PA⊥AC，PA＝5，AC＝＝＝5.‎ 则∠PCA＝45°，‎ 即直线PC与平面ABCD所成的角为45°.‎ ‎[点评]　求斜线与平面所成的角的步骤：‎ ‎(1)作图：作(或找)出斜线在平面上的射影，将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角)，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足(有时可以是两垂足)作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．‎ ‎(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．‎ ‎(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．‎ ‎17[证明]　∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，‎ ‎∴BD⊥PA.‎ ‎∵∠BAD和∠ABC都是Rt∠，‎ ‎∴tan∠ABD＝＝，tan∠BAC＝＝，‎ ‎∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°.‎ ‎∴∠AEB＝90°，即BD⊥AC，‎ 又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.‎ ‎18[解析]　(1)该安全标识墩的体积为：V＝VP－EFGH＋VABCD－EFGH＝×402×60＋402×20＝32 000＋32 000‎ ‎＝64 000(cm3)‎ ‎(2)如图，连接EG、HF及BD，EG与HF相交于O，连接PO.由正四棱锥的性质可知，PO⊥平面EFGH，‎ ‎∴PO⊥HF，‎ 又EG⊥HF，且BD∥HF∴BD⊥GE　又PO∩EG＝0，‎ ‎∴BD⊥PO，∴BD⊥平面PEG. ‎