2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（山东卷）

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（山东卷）

‎2013年山东高考数学理试题解析 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 ‎ ‎（1）复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为( ) ‎ ‎　　 A. 2+i B.2-i C. 5+i D.5-i  ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由(z-3)(2-i)=5，得，所以，选D.‎ ‎（2）设集合A={0,1,2},则集合B={x-y |x∈A, y∈A }中元素的个数是( ) ‎ A. 1 B. ‎3 C. 5 D.9 ‎ ‎　　【答案】C ‎【解析】因为,所以，即,有5个元素，选C.‎ ‎（3）已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时, f(x) =x2+ ,则f(-1)= ( ) ‎ ‎　　（A）-2 （B）0 （C）1 （D）2 ‎ ‎　【答案】A ‎【解析】因为函数为奇函数，所以，选A.‎ ‎（4）已知三棱柱ABC-A1B‎1C1的侧棱与底面垂直,体积为 ,底面积是边长为 的正 三角形，若P为底面A1B‎1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为 ( ) ‎ ‎　　（A） （B） （C） （D） ‎ ‎　　　【答案】B ‎【解析】取正三角形ABC的中心，连结,则是PA与平面ABC所成的角。因为底面边长为，所以,.三棱柱的体积为,解得，即,所以 ‎，即，选B. ‎ ‎（5）将函数y=sin（2x +）的图像沿x轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图像，则的一个可能取值为  ‎ ‎　　（A）       （B）       （C）0     （D） ‎ ‎　【答案】B ‎【解析】将函数y=sin（2x +）的图像沿x轴向左平移 个单位，得到函数，因为此时函数为偶函数，所以，即，所以选B.‎ ‎　（6）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组：，所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为  ‎ ‎　　（A）2       （B）1     （C）     （D） ‎ ‎　【答案】 C ‎【解析】作出可行域如图，由图象可知当M位于点D处时，OM的斜率最小。由得，即,此时OM的斜率为，选C.‎ ‎（7）给定两个命题p、q，若﹁p是q的必要而不充分条件，则p是﹁q的  ‎ ‎　　（A）充分而不必条件               （B）必要而不充分条件    ‎ ‎　　（C）充要条件                     （D）既不充分也不必要条件 　　‎ ‎　【答案】B ‎【解析】因为﹁p是q的必要而不充分条件，所以﹁q是p的必要而不充分条件，即p是﹁q的充分而不必要条件，选A.‎ ‎（8）函数y=xcosx + sinx 的图象大致为 ‎ ‎　‎ ‎【答案】 D ‎【解析】函数y=xcosx + sinx为奇函数，所以图象关于原点对称，所以排除B，C.当时，,排除A,选D.‎ ‎（9）过点（3，1）作圆（x-1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为  ‎ ‎　　（A）2x+y-3=0      （B）2x-y-3=0  （C）4x-y-3=0      （D）4x+y-3=0 ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由图象可知，是一个切点，所以代入选项知，不成立，排除。又直线的斜率为负，所以排除C，选A.‎ 设切线的斜率为，则切线方程为，即 ‎（10）用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为  ‎ ‎　　（A）243 （B）252 （C）261 （D）279 ‎ ‎　【答案】B ‎【解析】有重复数字的三位数个数为。没有重复数字的三位数有,所以有重复数字的三位数的个数为，选B.‎ ‎　　（11）抛物线C1：y=  x2(p＞0)的焦点与双曲线C2： 的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=  ‎ A. B. C. D. ‎ ‎　【答案】D ‎【解析】经过第一象限的双曲线的渐近线为。抛物线的焦点为,双曲线的右焦点为.，所以在处的切线斜率为，即，所以，即三点，，共线，所以，即，选D.‎ ‎（12）设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0.则当取得最大值时，的最大值 为  ‎ ‎ （A）0     （B）1   （C）    （D）3 ‎ ‎　【答案】 B ‎ ‎【解析】由，得。‎ 所以，当且仅当，即时取等号此时，. ‎ ‎，故选B.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 ‎ ‎　（13）执行右面的程序框图，若输入的的值为0.25，则输入的n的值为 ‎ ‎　【答案】3‎ ‎【解析】第一次循环，，此时不成立。第二次循环，，此时成立，输出。‎ ‎　(14)在区间[-3,3]上随机取一个数x，使得 |x+1 |- |x-2 |≥1成立的概率为  ‎ ‎　【答案】‎ ‎【解析】设，则。由，解得，即当时，。由几何概型公式得所求概率为 ‎。‎ ‎（15）已知向量与的夹角为，且若且,则实数的值为 ‎ ‎　【答案】‎ ‎【解析】向量与的夹角为，且所以。由得，，即，所以，即，解得。‎ ‎（16）定义“正对数”：，现有四个命题：‎ ‎①若，则 ‎②若，则 ‎③若，则 ‎④若，则 其中的真命题有： （写出所有真命题的编号）‎ ‎　【答案】①③④‎ ‎【解析】①当时，，，所以成立。当时，，此时，即成立。综上恒成立。②当时，，所以不成立。③讨论的取值，可知正确。④讨论的取值，可知正确。所以正确的命题为①③④。‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分.‎ ‎　　（17）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，cosB= .‎ ‎　（Ⅰ）求a，c的值； ‎ ‎ （Ⅱ）求sin（A-B）的值.‎ 解答：（1）由cosB= 与余弦定理得，，又a+c=6，解得 ‎（2）又a=3,b=2，与正弦定理可得，,，‎ 所以sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB=‎ ‎　‎ ‎　（18）（本小题满分12分） ‎ ‎　如图所示，在三棱锥P-ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH。 ‎ ‎　　（Ⅰ）求证：AB//GH； ‎ ‎　　（Ⅱ）求二面角D-GH-E的余弦值 .‎ 解答：（1）因为C、D为中点，所以CD//AB 同理：EF//AB，所以EF//CD，EF平面EFQ，‎ 所以CD//平面EFQ，又CD平面PCD,所以 CD//GH，又AB//CD，所以AB//GH.‎ ‎(2)由AQ=2BD，D为AQ的中点可得，△ABQ为直角三角形，以B为坐标原点，以BA、BC、BP为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设AB=BP=BQ=2，可得平面GCD的一个法向量为，平面EFG的一个法向量为，可得,所以二面角D-GH-E的余弦值为 ‎（19）本小题满分12分 ‎ ‎　　甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率是 .假设每局比赛结果互相独立.‎ ‎　（1）分别求甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率 ‎ ‎ （2）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为 ‎3：2，则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分x的分布列及数学期望.‎ 解答：（1），，‎ ‎（2）由题意可知X的可能取值为：3,2,1,0‎ 相应的概率依次为：，所以EX=‎ ‎　　（20）（本小题满分12分） ‎ ‎　　设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1 ‎ ‎（1） 求数列｛an｝的通项公式； ‎ ‎（2） 设数列｛bn｝的前n项和Tn，且Tn+ = λ（λ为常数），令cn=b2n，（n∈N•）.求数列｛cn｝的前n项和Rn. ‎ 解答：（1）由S4=4S2，a2n=2an+1，｛an｝为等差数列，可得，‎ 所以 ‎（2）由Tn+ = λ可得，，Tn-1+ = λ两式相减可得，当时，，所以当时，cn=b2n=，错位相减法可得，Rn=‎ 当时，cn=b2n=，可得Rn=‎ ‎　　（21）（本小题满分13分） 　‎ 设函数是自然对数的底数，.‎ ‎（1）求的单调区间，最大值；‎ ‎（2）讨论关于x的方程根的个数.‎ 解答：（1），令得，，‎ 当 所以当时，函数取得最的最大值 ‎（2）由（1）知，f(x)先增后减，即从负无穷增大到，然后递减到c，而函数|lnx|是（0,1）时由正无穷递减到0，然后又逐渐增大。‎ 故令f(1)=0得，，‎ 所以当时，方程有两个根；‎ 当时，方程有一两个根；‎ 当时，方程有无两个根.‎ ‎（22）（本小题满分13分） ‎ ‎　　椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2,离心率为 ，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为l. ‎ ‎　　（Ⅰ）求椭圆C的方程； ‎ ‎　　（Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1、PF2,设∠F1PF2的角平分线 ‎ ‎　　PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围； ‎ ‎　　（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点p作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点， 设直线PF1,PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明为定值，并求出这个定值.‎ 解答：（1）由已知得，，，解得 所以椭圆方程为：‎ ‎（2）由题意可知：=,=,设其中，将向量坐标代入并化简得：m（，因为， ‎ 所以，而，所以 ‎（3）由题意可知，l为椭圆的在p点处的切线，由导数法可求得，切线方程为：‎ ‎，所以，而，代入中得：‎ 为定值.‎