数学理卷·2019届安徽省池州市东至二中高二上学期期末考试（2018-02）

数学理卷·2019届安徽省池州市东至二中高二上学期期末考试（2018-02）

‎2017~2018学年第一学期期末质量检测卷 高二理科数学 本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。全卷满分150分,考试时间120分钟。‎ 第I卷 一、选择题(本题共有12小题,每小题5分,共60分。在每小題给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的。‎ ‎1.抛物线x2=—32y的焦点坐标为 A.(0,-8) B.(0,8) C.(-8,0) D.(8,0)‎ ‎2.命题p:“”,则为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎3如图所示,三棱锥O—ABC中, ,且，则 A, B. ‎ C. D. ‎ ‎4.已知命题“若x≥3,则”,则此命题的逆命题、否命题逆否命题中,正确命题的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎5.已知、是两个不同的平面,m、n是两条不同的直线,下列命题中错误的是 A.若m⊥、m∥n，n，则⊥ B.若∥，m⊥，n⊥，则m∥n C.若∥，，，则m∥n D.若⊥，m，，,m⊥n，则m⊥‎ ‎6.“m>0，n>0”是“曲线mx2—ny2=1为双曲线”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎7.一几何体的三视图如图所示,其中网格纸中每个小正方形的边长为1,则该几何体的表面积为 A. B. C, D. ‎ ‎8.已知a、b是关于x的方程 (P为常数)的两个不相等的实根,则 过两点M(，)、N(b，b2)的直线与圆的位置关系为 A.相交 B,相切 C相离 D.相切或相离 ‎9.已知双曲线C: 上任意一点为G，则G到双曲线C的两条渐近线距离之积为 A. B. C. D. ‎ ‎10.中国古代第一部数学名著《九章算术》中,将一般多面体分为阳马、鳖臑、堑堵三种基本立体图形,其中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖,若三棱锥Q-ABC为鳖臑,QA⊥平面ABC，AB⊥BC，QA=BC=3，AC=5，则三棱锥Q-ABC外接球的表面积为 A. B. C. D. ‎ ‎11.如果圆上总存在两个点到点(1,1)的距离为2,则实数t的取值范围是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎12.已知棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1,M是正方形ABCD所在平面内一动点,点E、F满足，若点M到直线EF与直线BC的距离之比为1:2，则动点M的轨迹是 A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 第Ⅱ卷 ‎13.已知向量，则 ‎14.已知正四棱锥S-ABCD所有棱长均为2,若E为棱SC的中点,则异面直线BE与SA所成角的正切值为______________。‎ ‎15.已知抛物线的焦点为F，经过F的直线与抛物线在第一象限的交点为A,与准线l交于点B、A在B的上方,且AK⊥l于K，若△KFB是等腰三角形,腰长为2,则p=__。‎ ‎16.椭圆的右焦点为F(c,0),上下顶点分别为A、B，直线AF交椭圆于另一点P，若PB的斜率为,则椭圆的离心率e=_______。‎ 三、解答题:(本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ 已知命题p:直线和直线平行,命题q:函数的值可以取遍所有正实数 ‎(I)若p为真命题,求实数a的值 ‎(Ⅱ)若命题均为假命题,求实数a的取值范围 ‎18.(本小题满分12分)‎ 一装有水的直三棱柱ABC-A1B1C1容器(厚度忽略不计),上下底面均为边长为5的正三角形,侧棱为10,侧面AA1B1B水平放置,如图所示,点D、E、F、G分别在棱CA、CB、C1B1、C1A1上,水面恰好过点D，E，F，C,且CD=2‎ ‎(1)证明:DE∥AB;‎ ‎(Ⅱ)若底面ABC水平放置时,求水面的高 ‎19(本小题满分12分)‎ 已知椭圆C: 的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2，过点F2作直线交椭圆C于M、N两点,△F1MN的周长为。‎ ‎(I)求椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)若∠F1F2M=，求弦长 ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为直角梯形，CD⊥平面ABC，侧面ABC是等腰直角三角形，∠EBC=∠ABC=90°，BC=CD=2BE=2，点M是棱AD的中点 ‎(I)证明:平面AED⊥平面ACD;‎ ‎(Ⅱ)求锐二面角B-CM-A的余弦值 ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知⊙H被直线x-y-1=0,x+y-3=0分成面积相等的四个部分,且截x轴所得线段的长为2。‎ ‎(I)求⊙H的方程;‎ ‎(Ⅱ)若存在过点P(0,b)的直线与⊙H相交于M，N两点,且点M恰好是线段PN的中点,求实数b的取值范围 ‎22.(本小题满分12分)‎ 已知抛物线C：y2=2px的焦点为F，准线为l，三个点P(2，)，Q(2， )，R(3，)中恰有两个点在C上 ‎(I)求抛物线C的标准方程；‎ ‎(Ⅱ)过F的直线交C于A，B两点,点M为l上任意一点，证明:直线MA，MF，MB的斜率成等差数列。‎ 池州市高二（理科）数学答案 题 号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答 案 A D C B C A B C B D B B ‎4.B 【解析】∵，∴，即（x﹣2）（x+1）＞0，∴x＞2或x＜﹣1.逆命题为“若，则”，显然是假命题，又逆命题与否命题互为逆否命题，所以否命题也是假命题.又原命题为真命题，所以逆否命题也是真命题.综上，选B.‎ ‎5.C【解析】对A，若，则,又 ，所以A正确；对C，‎ 可能是异面直线，所以C错误；易知B，D正确.‎ ‎6. A 【解析】当时，曲线，可化为，表示焦点在x轴上的双曲线，充分性成立．若曲线为双曲线，则或，必要性不成立，即“”是“曲线为双曲线”的充分不必要条件．‎ ‎7.B 【解析】原几何体是由一个半圆柱与长方体拼接而成，半圆柱的底面半径为2，高为3，长方体的长为4，宽为1，高为3，故该几何体的表面积为.‎ ‎8.C 【解析】由题意可得，且.过点的直线方程为，即，即，于是圆心到上述直线的距离为，所以直线与圆相离，故选C.‎ ‎9.B 【解析】设，双曲线的两条渐近线方程分别为 ‎，所以到双曲线的两条渐近线的距离分别为，所以 又因为点在双曲线上，所以，即，代入上式，可得.‎ ‎10. D 【解析】补全为长方体，如图，则,所以，故外接球得表面积为.‎ ‎11.B【解析】因为到点的距离为2的点的轨迹是圆，所以题目条件等价于圆与圆相交，从而，即，解得实数的取值范围是.‎ ‎12.B 【解析】因为，，且正方体的棱长为4，所以，故点到直线距离，即为点到点距离，于是条件“平面内点到直线与直线的距离之比为1:2”转化为“平面内点到点与直线的距离之比为1:2”.在平面内，以A为坐标原点，AB、AD分别为x、y轴正方向建立平面直角坐标系，则，直线的方程为，设点的坐标为，则依据题意可得，化简可得，故动点的轨迹是椭圆.‎ ‎13. 5 【解析】因为，所以.‎ ‎14. 【解析】设正方形ABCD的中心为O，连接EO，OB，则即是异面直线与所成角.易知，所以在中，.‎ ‎15.1 【解析】如下图，因为是等腰三角形，腰长为2，所以必有，简单可证也为等腰三角形且，由抛物线的定义可得，又因为，所以，即 ‎16. 或【解析】设，则满足，即，则，的斜率之积为，因为，所以.又因为，所以，即，解得或.‎ ‎17. 【解析】（I）显然当，直线不平行，‎ 所以，，‎ 因为为真命题，所以，解得，或 …………………………5分 ‎（II）若为真命题，则恒成立，解得，或.‎ 因为命题均为假命题，所以命题都是假命题，‎ 所以，解得，或，‎ 故实数的取值范围是 …………………………………………………10分 ‎18. 【解析】（I）证明：因为直三棱柱容器侧面水平放置，‎ 所以平面平面，‎ 因为平面平面，平面平面，‎ 所以…………………………………………………………………………………6分 ‎（II）当侧面水平放置时，可知液体部分是直四棱柱，‎ 其高即为直三棱柱容器的高，即侧棱长10.‎ 由（I）可得，又，‎ 所以.…………………………………………………………………9分 当底面水平放置时，设水面的高为，由于两种状态下水的体积相等，‎ 所以，即，‎ 解得.…………………………………………………………………………………12分 ‎19. 【解析】（I）因为焦距为2，所以，即.‎ 又因为的周长为，结合椭圆定义可得，所以.‎ 所以，于是椭圆的方程.……………………………………5分 ‎（II）因为，所以直线的斜率，所以直线的方程为，联立，消去y可得.…………………………………8分 设，则，‎ 所以.………………………12分 ‎20. 【解析】（I）证明：取AC的中点F，连接BF，‎ 因为AB＝BC，所以，平面ABC,所以CD.‎ 又所以平面ACD.①…………………………………………………3分 因为AM=MD，AF=CF，所以.‎ 因为，所以//MF，‎ 所以四边形BFME是平行四边形.所以EM//BF.②‎ 由①②,得平面ACD，所以平面平面；………………………………5分 ‎（II）BE平面ABC，‎ 又，‎ 以点B为原点，直线BC、BA、BE分别为x,y,z轴，‎ 建立空间直角坐标系B-xyz.‎ 由，得B(0,0,0)，C(2,0,0)，A(0,2,0)，D(2,0,2).‎ 由中点坐标公式得，,，‎ 设向量为平面BMC的一个法向量，则即 令y=1,得x=0，z=－1，即,……………………………………………………8分 由（I）知，是平面ACD的一个法向量. ……………………………………9分 设二面角B－CM－A的平面角为，‎ 则，…………………………11分 又二面角B－CM－A为锐二面角，故. …………………………………………12分 ‎21. 【解析】（I）设的方程为，‎ 因为被直线分成面积相等的四部分，‎ 所以圆心一定是两直线的交点，‎ 易得交点为，所以.……………………………………………………2分 又截x轴所得线段的长为2，所以.‎ 所以的方程为.…………………………………………………4分 ‎（II）法一：如图，的圆心，半径，‎ 过点N作的直径，连结.‎ 当与不重合时，，‎ 又点是线段的中点；‎ 当与重合时，上述结论仍成立.‎ 因此，“点是线段的中点”等价于“圆上存在一点使得的长等于的直径”. ‎ ‎…………………………………………………………………………………………………6分 由图可知，即，即.……8分 显然，所以只需，即，解得.‎ 所以实数的取值范围是.………………………………………………12分 法二：如图，的圆心，半径，连结，‎ 过作交于点，并设.‎ 由题意得，‎ 所以，…………………………6分 又因为，所以，‎ 将代入整理可得，………………………………………………8分 因为，所以，，解得.…………12分 ‎22. 【解析】（I）因为抛物线：关于x轴对称，‎ 所以中只能是两点在上，‎ 带入坐标易得，所以抛物线的标准方程为.………………………………6分 ‎（II）证明：抛物线的焦点的坐标为，准线的方程为.‎ 设直线的方程为，.‎ 由，可得，所以，‎ 于是，‎ 设直线的斜率分别为，‎ 一方面，‎ ‎.‎ 另一方面，.‎ 所以，即直线的斜率成等差数列. ……………………12分