专题06 函数的奇偶性与周期性-2018年高考数学（理）热点题型和提分秘籍

专题06 函数的奇偶性与周期性-2018年高考数学（理）热点题型和提分秘籍

专题06 函数的奇偶性与周期性 ‎【高频考点解读】‎ ‎1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义 ‎2．会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性 ‎3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性 ‎【热点题型】‎ 热点题型一 函数奇偶性的判定 例1、【2017课标1，理5】函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【提分秘籍】判断函数奇偶性的三种方法 ‎(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点的对称区域，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点的对称区域，再判断f(－x)是否等于±f(x)或判断f(x)±f(－x)是否等于零，或判断(f(x)≠0)是否等于±1等。‎ ‎(2)图象法：函数是奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(或y轴)对称。‎ ‎(3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数。(注：利用上述结论时要注意各函数的定义域)‎ ‎【举一反三】 ‎ 若函数f(x)(x∈R)是奇函数，函数g(x)(x∈R)是偶函数，则(　　)‎ A．函数f(g(x))是奇函数 B．函数g(f(x))是奇函数 C．函数f(x)g(x)是奇函数 D．函数f(x)＋g(x)是奇函数 解析：根据函数奇偶性的定义可知，‎ f(g(－x))＝f(g(x))，‎ 所以f(g(x))是偶函数，同理可以判断g(f(x))是偶函数，函数f(x)＋g(x)的奇偶性不确定，而f(－x)g(－x)＝[－f(x)]g(x)＝－f(x)g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数。‎ 答案：C 热点题型二 函数奇偶性的应用 例2、 (1)若函数f(x)＝是奇函数，则实数a的值等于______。‎ ‎(2)已知函数f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝lnx，则f的值为(　　)‎ A.　　 B．－ C．ln2 D．－ln2‎ 答案：（1）－2 （2）D ‎ ‎ ‎(2)由已知可得f＝ln＝－2，‎ 所以f＝f(－2)。‎ 又因为f(x)是奇函数，‎ 所以f＝f(－2)＝－f(2)＝－ln2，故选D。‎ ‎【提分秘籍】 函数奇偶性的问题类型及解题思路 ‎(1)已知函数的奇偶性，求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解。‎ ‎(2)已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值，常常利用待定系数法：利用f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解。‎ ‎(3)应用奇偶性画图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一对称区间上的单调性。‎ ‎【举一反三】 ‎ 设定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝x2－4(x＞0)，则f(x－2)＞0的解集为(　　)‎ A．(－4,0)∪(2，＋∞) B．(0,2)∪(4，＋∞)‎ C．(－∞，0)∪(4，＋∞) D．(－4,4)【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ 热点题型三 函数的周期性及应用 例3.【2017北京，理5】已知函数，则 ‎（A）是奇函数，且在R上是增函数 （B）是偶函数，且在R上是增函数 ‎（C）是奇函数，且在R上是减函数 （D）是偶函数，且在R上是减函数 ‎【答案】A ‎【解析】，所以该函数是奇函数，并且是增函数， 是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选A.‎ ‎【提分秘籍】函数周期性的判定与应用 ‎(1)判定：判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T。‎ ‎(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期。‎ ‎【举一反三】 ‎ 设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(99)＝__________。‎ 解析：因为f(x)·f(x＋2)＝13，所以f(x＋2)＝，‎ 则有f(x＋4)＝＝＝f(x)，‎ 所以f(x)是以4为周期的周期函数，‎ 所以f(99)＝f(25×4－1)＝f(－1)＝＝。‎ 答案： 热点题型四 函数性质的综合应用 例4、(1)已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，则满足f(1－m)＋f(1－m2)＜0的实数m的取值范围是________。‎ ‎(2)已知f(x)是定义在R上的函数，对任意x∈R都有f(x＋4)＝f(x)＋‎2f(2)，若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，且f(1)＝2，则f(2011)等于(　　)‎ A．2 B．3‎ C．－2 D．－3‎ ‎ 答案：(1) [－1,1) (2)A 解析：(1)∵f(x)的定义域为[－2,2]，‎ ‎∴解得－1≤m≤。①‎ 又f(x)为奇函数，且在[－2,0]上递减，‎ ‎∴f(x)在[－2,2]上递减，‎ ‎∴f(1－m)＜－f(1－m2)＝f(m2－1)⇒1－m＞m2－1，即－2＜m＜1。②‎ 综合①②可知，－1≤m＜1。‎ ‎(2)由于函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，所以函数f(x)的图象关于直线x＝0对称，即函数f(x)是偶函数，所以f(2)＝f(－2)，在f(x＋4)＝f(x)＋‎2f(2)中，令x＝－2得f(2)＝f(－2)＋‎2f(2)，所以f(2)＝0，于是f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)的周期等于4，于是f(2011)＝f(－1)＝f(1)＝2，故选A。‎ ‎【提分秘籍】‎ ‎ 1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性，利用这一结论可能把 “分散”在关于原点对称区间上的自变量的值转化到同一个区间上。以便“脱掉”对应法则“f”，这是解决奇偶性与单调性综合问题的关键。‎ ‎2．函数的周期性起着自变量“由大变小”的作用，奇偶性起着自变量“正负互化”的作用，这两个作用是解决周期性与奇偶性综合问题的关键。‎ ‎【举一反三】 ‎ 设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f等于(　　)‎ A．－ B．－ C. D. 解析：∵f(x)是周期为2的奇函数，‎ ‎∴f＝f＝f＝－f ‎＝－2××＝－。‎ 答案：A ‎【高考风向标】‎ ‎ ‎ ‎1.【2017北京，理5】已知函数，则 ‎（A）是奇函数，且在R上是增函数 （B）是偶函数，且在R上是增函数 ‎（C）是奇函数，且在R上是减函数 （D）是偶函数，且在R上是减函数 ‎【答案】A ‎【解析】，所以该函数是奇函数，并且是增函数， 是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选A.‎ ‎2.【2017课标1，理5】函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为为奇函数且在单调递减，要使成立，则满足，从而由得，即满足成立的的取值范围为，选D.‎ ‎1.【2016年高考四川理数】已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1‎ 时，，则= .‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】因为函数是定义在R上的周期为2的奇函数，所以 ‎，所以，即，，所以.‎ ‎2.【2016高考山东理数】已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时， ；当 时，；当 时， .则f(6)= （ ）‎ ‎（A）−2 （B）−1 （C）0 （D）2‎ ‎【答案】D ‎【解析】当时，,所以当时，函数是周期为 的周期函数，所以，又函数是奇函数，所以，故选D.‎ ‎【2015高考福建，理2】下列函数为奇函数的是( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数是非奇非偶函数；和是偶函数；是奇函数，故选D．‎ ‎【2015高考广东，理3】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】．‎ ‎【2015高考安徽，理2】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】由选项可知，项均不是偶函数，故排除，项是偶函数，但项与轴没有交点，即项的函数不存在零点，故选A.‎ ‎【2015高考新课标1，理13】若函数f(x)=为偶函数，则a= ‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由题知是奇函数，所以 =，解得=1.‎ ‎（2014·福建卷） 已知函数f(x)＝则下列结论正确的是(　　)‎ A．f(x)是偶函数 B．f(x)是增函数 C．f(x)是周期函数 D．f(x)的值域为[－1，＋∞)‎ ‎【答案】D　‎ ‎（2014·湖南卷）已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝(　　)‎ A．－3 B．－‎1 C．1 D．3‎ ‎【答案】C　‎ ‎【解析】因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， ‎ 所以f (1)＋g(1)＝f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.‎ ‎（2014·新课标全国卷Ⅰ）设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)‎ A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数 ‎【答案】C　‎ ‎【解析】由于偶函数的绝对值还是偶函数，一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数，故正确选项为C.‎ ‎（2014·新课标全国卷Ⅱ）已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0，若f(x－1)＞0，则x的取值范围是________．‎ ‎【答案】(－1，3)　‎ ‎【解析】根据偶函数的性质，易知f(x)>0的解集为(－2，2)，若f(x－1)>0，则－20，f(x)＝x(1＋x)，那么x<0，f(x)等于(　　)‎ A．－x(1－x)　　　　　　　　B．x(1－x)‎ C．－x(1＋x) D．x(1＋x)‎ 解析：当x<0时，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)．又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x(1－x)．‎ 答案：B ‎3．若y＝f(x)既是周期函数，又是奇函数，则其导函数y＝f′(x)(　　)‎ A．既是周期函数，又是奇函数 B．既是周期函数，又是偶函数 C．不是周期函数，但是奇函数 D．不是周期函数，但是偶函数 ‎4．若f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，且f(2)＝0，则方程f(x)＝0在区间(0,6)内解的个数至少是(　　)‎ A．1 B．4‎ C．3 D．2‎ 解析：由f(2)＝0，得f(5)＝0.‎ ‎∴f(－2)＝0，f(－5)＝0.‎ ‎∴f(－2)＝f(－2＋3)＝f(1)＝0.‎ f(－5)＝f(－5＋9)＝f(4)＝0.‎ 故f(x)＝0在区间(0,6)内的解至少有1,2,4,5四个解．‎ 答案：B ‎5．已知函数f(x)＝x2＋(b－)x＋‎2a－b是偶函数，则函数图象与y轴交点的纵坐标的最大值是(　　)‎ A．－4 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：由f(x)为偶函数，可知f(－x)＝f(x)，∴b＝，∴f(x)＝x2＋‎2a－，令g(a)＝‎2a－，问题转化为求g(a)的最大值．在坐标系中画函数y＝‎2a，y＝－的图象如图．‎ 易知当a＝2时，g(a)取最大值，g(a)max＝g(2)＝4，选D.‎ 答案：D ‎6．已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若f(3)＝2，则f(2 015)的值为(　　)‎ A．2 B．0‎ C．－2 D．±2‎ ‎7．已知f(x)是定义域为(－1,1)的奇函数，而且f(x)是减函数，如果f(m－2)＋f(‎2m－3)>0，那么实数m的取值范围是(　　)‎ A. B. C．(1,3) D. 解析：∵f(x)是定义域为(－1,1)的奇函数，‎ ‎∴－10可转化为f(m－2)>－f(‎2m－3)．‎ ‎∴f(m－2)>f(－‎2m＋3)，‎ ‎∵f(x)是减函数．‎ ‎∴m－2<－‎2m＋3，‎ ‎∵∴10，则－x<0.【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋3(－x)＋2]＝－x2＋3x－2.在[1,3]上，当x＝时，f(x)max＝；当x＝3时，f(x)min＝－2，∴m≥且n≤－2，故m－n≥.‎ 答案：A ‎9．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ B．(－1,2)‎ C．(－2,1)‎ D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)‎ 解析：∵f(x)是奇函数，∴当x<0时，f(x)＝－x2＋2x，作出f(x)的大致图象如图中实线所示．‎ 结合图象可知f(x)是R上的增函数，由f(2－a2)>f(a)，‎ 得 2－a2>a，即－20，所以g(t)＝tant＋≥2＝，‎ 当且仅当t＝，即x＝时取等号，所以b＝.‎ 令m＝n＝0，则g(0)＝－，又令m＝x，n＝－x，得g(0)＝g(x)＋g(－x)＋，即－－g(x)＝g(－x)＋，即－[＋g(x)]＝g(－x)＋.【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ 令h(x)＝g(x)＋，则h(－x)＝－h(x)，‎ 所以g(x)＋是奇函数．故选D.‎ 答案：D ‎11．下列函数中为偶函数的是(　　)‎ A．y＝x2sinx B．y＝x2cosx C．y＝|lnx| D．y＝2－x ‎【解析】　根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数。故选B。‎ ‎【答案】　B ‎12．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,‎2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)‎ A．－ B. ‎ C. D．－ ‎【解析】　∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，‎ ‎∴a－1＋2a＝0，∴a＝。又f(－x)＝f(x)，‎ ‎∴b＝0，∴a＋b＝。故选B。‎ ‎【答案】　B ‎13．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)‎ A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数 ‎【解析】　设H(x)＝f(x)·|g(x)|，‎ 则H(－x)＝f(－x)·|g(－x)|，‎ 因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，‎ 所以H(－x)＝－f(x)·|g(x)|＝－H(x)，‎ 故H(x)是奇函数。故选C。‎ ‎【答案】　C ‎14．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝则f＝________。‎ ‎【解析】　由题意得，f＝f＝－4×2＋2＝1。‎ ‎【答案】　1‎ ‎15．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lgx，则满足f(x)>0的x的取值范围是________。‎ ‎【解析】　由f(x)是奇函数知，f(x)的图象如图所示，‎ ‎∴f(x)>0的x的取值范围为(－1,0)∪(1，＋∞)。‎ ‎【答案】　(－1,0)∪(1，＋∞)‎ ‎16．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f＝________.‎ 解析：依题意，得f＝－f＝－f＝－f＝－2××＝－.‎ 答案：－ ‎17．定义在(－∞，＋∞)上的函数y＝f(x)在(－∞，2)上是增函数，且函数y＝f(x＋2)为偶函数，则f(－1)，f(4)，f的大小关系是________．‎ ‎18．设函数f(x)为定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)>0，f(2)＝(a＋1)(‎2a－3)，则a的取值范围是________． ‎ 解析：∵f(x)是周期为3的奇函数，‎ ‎∴f(2)＝f(2－3)＝f(－1)＝－f(1)<0.‎ ‎∴(a＋1)(‎2a－3)<0，‎ 解得－10且a≠1)是定义域为R的奇函数．‎ ‎(1)若f(1)>0，试求不等式f(x2＋2x)＋f(x－4)>0的解集；‎ ‎(2)若f(1)＝，且g(x)＝a2x＋a－2x－‎4f(x)，求g(x)在[1，＋∞)上的最小值．‎ 解：∵f(x)是定义域为R的奇函数，‎ ‎∴f(0)＝0，∴k－1＝0，∴k＝1.‎ ‎(1)∵f(1)>0，∴a－>0，‎ 又a>0且a≠1，∴a>1.‎ ‎∵k＝1，∴f(x)＝ax－a－x，‎ 当a>1时，y＝ax和y＝－a－x在R上均为增函数，‎ ‎∴f(x)在R上为增函数，‎ 原不等式可化为f(x2＋2x)>f(4－x)，‎ ‎∴x2＋2x>4－x，即x2＋3x－4>0，‎ ‎∴x>1或x<－4，‎ ‎∴不等式的解集为{x|x>1或x<－4}．‎ ‎(2)∵f(1)＝，‎ ‎∴a－＝，即‎2a2－‎3a－2＝0.‎ ‎∴a＝2或a＝－(舍去)，‎ ‎∴g(x)＝22x＋2－2x－4(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－4(2x－2－x)＋2，‎ 令t＝h(x)＝2x－2－x(x≥1)，则g(t)＝t2－4t＋2.‎ ‎∵t＝h(x)在[1，＋∞)上为增函数(由(1)可知)，‎ ‎∴h(x)≥h(1)＝，即t≥，‎ g(t)＝t2－4t＋2＝(t－2)2－2，t∈. ‎ ‎∴当t＝2时，g(t)取得最小值－2，即g(x)取得最小值－2，‎ 此时x＝log2(1＋)，‎ 故当x＝log2(1＋)时，g(x)有最小值－2.‎ ‎ ‎ ‎ ‎