专题56 不等式的证明（押题专练）-2018年高考数学（文）一轮复习精品资料

专题56 不等式的证明（押题专练）-2018年高考数学（文）一轮复习精品资料

‎1．若a＞0，b＞0，且＋＝。‎ ‎(1)求a3＋b3的最小值；‎ ‎(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由。‎ ‎2．若a，b，c∈R＋，且满足a＋b＋c＝2。‎ ‎(1)求abc的最大值；‎ ‎(2)证明：＋＋≥。‎ 解析：(1)因为a，b，c∈R＋，‎ 所以2＝a＋b＋c≥3，故abc≤。‎ 当且仅当a＝b＝c＝时等号成立，所以abc的最大值为。‎ ‎(2)证明：因为a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝2，所以根据柯西不等式，‎ 可得＋＋＝(a＋b＋c) ‎＝[()2＋()2＋()2]×‎ ‎≥2＝。‎ 所以＋＋≥。‎ ‎3．设a＞0，b＞0，且a＋b＝＋，证明：‎ ‎(1)a＋b≥2；‎ ‎(2)a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立。‎ ‎4．已知函数f(x)＝|x＋a|＋(a>0)。‎ ‎(1)当a＝2时，求不等式f(x)>3的解集；‎ ‎(2)证明：f(m)＋f≥4。‎ 解析：(1)当a＝2时，f(x)＝|x＋2|＋，‎ 原不等式等价于或或 ‎∴x<－或∅或x>，‎ ‎∴不等式的解集为。‎ ‎(2)证明：f(m)＋f＝|m＋a|＋＋＋＝＋‎ ＋≥2＝‎ ‎2≥4(当且仅当时等号成立)。‎ ‎5．设函数f(x)＝|x＋2|＋|x－2|，x∈R。不等式f(x)≤6的解集为M。‎ ‎(1)求M；‎ ‎(2)当a2，b2∈M时，证明：|a＋b|≤|ab＋3|。‎ 解析：(1)|x＋2|＋|x－2|≤6等价于 或或，解得－3≤x≤3，‎ ‎∴M＝[－3,3]。‎ ‎(2)当a2，b2∈M，即0≤a2≤3,0≤b2≤3时，‎ 要证|a＋b|≤|ab＋3|，即证3(a＋b)2≤(ab＋3)2，‎ ‎3(a＋b)2－(ab＋3)2＝3(a2＋2ab＋b2)－(a2b2＋6ab＋9)＝3a2＋3b2－a2b2－9＝(a2－3)(3－b2)≤0，‎ ‎∴|a＋b|≤|ab＋3|。‎ ‎6．设a>0，b>0，且a＋b＝＋。证明：‎ ‎(1)a＋b≥2；‎ ‎(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立。‎ ‎7．已知f(x)＝|x＋1|＋|x－1|，不等式f(x)<4的解集为M。‎ ‎(1)求M；‎ ‎(2)当a，b∈M时，证明：2|a＋b|<|4＋ab|。‎ 解析：(1)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|＝ 当x<－1时，由－2x<4，得－21时，由2x<4，得10，‎ 所以|1－4ab|2>4|a－b|2，故|1－4ab|>2|a－b|。‎ ‎9．(1)已知a，b都是正数，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2；‎ ‎(2)已知a，b，c都是正数，求证：≥abc.‎ 由a，b，c都是正数，得a＋b＋c>0，‎ 因此≥abc.‎ ‎10．若a>0，b>0，且＋＝.‎ ‎(1)求a3＋b3的最小值；‎ ‎(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．‎ 解：(1)由＝＋≥，得ab≥2，‎ 当且仅当a＝b＝时等号成立．‎ 故a3＋b3≥2 ≥4 ，且当a＝b＝时等号成立．‎ 所以a3＋b3的最小值为4 .‎ ‎(2)由(1)知，2a＋3b≥2 ·≥4 .‎ 由于4 >6.‎ 从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.‎ ‎11．已知函数f(x)＝|x－1|.‎ ‎(1)解不等式f(x)＋f(x＋4)≥8；‎ ‎(2)若|a|<1，|b|<1，且a≠0，求证：f(ab)>|a|f.‎ 因为|a|<1，|b|<1，‎ 所以|ab－1|2－|a－b|2＝(a2b2－2ab＋1)－(a2－2ab＋b2)‎ ‎＝(a2－1)(b2－1)>0，‎ 所以|ab－1|>|a－b|，‎ 故所证不等式成立．‎ ‎12．已知函数f(x)＝k－|x－3|，k∈R，且f(x＋3)≥0的解集为[－1，1]．‎ ‎(1)求k的值；‎ ‎(2)若a，b，c是正实数，且＋＋＝1，求证：a＋2b＋3c≥9.‎ 解：(1)因为f(x)＝k－|x－3|‎ 所以f(x＋3)≥0等价于|x|≤k 由|x|≤k有解，得k≥0，且解集为[－k，k]．‎ 因为f(x＋3)≥0的解集为[－1，1]．‎ 因此k＝1.‎ ‎(2)证明：由(1)知＋＋＝1，因为a，b，c为正实数．‎ 所以a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋＋＋≥3＋2 ＋2 ＋2 ＝9.‎ 当且仅当a＝2b＝3c时，等号成立．‎ 因此a＋2b＋3c≥9.‎