专题13 空间中的平行与垂直（仿真押题）-2018年高考数学（理）命题猜想与仿真押题

专题13 空间中的平行与垂直（仿真押题）-2018年高考数学（理）命题猜想与仿真押题

‎1．已知直线a与平面α，β，α∥β，a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中(　　)‎ A．不一定存在与a平行的直线 B．只有两条与a平行的直线 C．存在无数条与a平行的直线 D．存在唯一一条与a平行的直线 ‎【答案】D ‎2．设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题：‎ ‎①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；‎ ‎②若m∥l，且m∥α，则l∥α；‎ ‎③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则l∥m∥n；‎ ‎④若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且n∥β，则l∥m.‎ 其中正确命题的个数是(　　)‎ A．1　　　　　　　　　 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎【解析】易知①正确；②错误，l与α的具体关系不能确定；③错误，以墙角为例即可说明；④正确，可以以三棱柱为例证明，故选B.‎ ‎【答案】B ‎3．如图所示，O为正方体ABCD A1B‎1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是(　　)‎ A．A1D B．AA1‎ C．A1D1 D．A‎1C1‎ ‎【解析】由题意知，A‎1C1⊥平面DD1B1B，又OB1⊂面DD1B1B，所以A‎1C1⊥OB1，故选D.‎ ‎【答案】D ‎4．设m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，给出下列命题：‎ ‎①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；‎ ‎②若m∥α，m∥β，则α∥β；‎ ‎③若m∥α，n∥α，则m∥n；‎ ‎④若m⊥α，n⊥α，则m∥n.‎ 上述命题中，所有真命题的序号是(　　)‎ A．①④ B．②③‎ C．①③ D．②④‎ ‎【解析】由线面垂直的性质定理知①④正确；平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，故②错；平行于同一平面的两条直线可能平行，也可能相交或异面，故③错．选A.‎ ‎【答案】A ‎5.如图，在三棱锥PABC中，不能证明AP⊥BC的条件是(　　) ‎ A．AP⊥PB，AP⊥PC B．AP⊥PB，BC⊥PB C．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC D．AP⊥平面PBC ‎【答案】B ‎6．如图，L，M，N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是(　　)‎ A．垂直 B．相交不垂直 C．平行 D．重合 ‎【解析】如图，分别取另三条棱的中点A，B，C将平面LMN延展为平面正六边形AMBNCL，因为PQ∥AL，PR∥AM，且PQ与PR相交，AL与AM相交，所以平面PQR∥平面AMBNCL，即平面LMN∥平面PQR.‎ ‎【答案】C ‎7．设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则下列命题中正确的是(　　)‎ A．若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α B．若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l∥m C．若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n D．若l⊥m，l⊥n，则n∥m ‎【答案】C ‎8．以下命题中真命题的个数是(　　)‎ ‎①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；‎ ‎②若直线a在平面α外，则a∥α；‎ ‎③若直线a∥b，b⊂α，则a∥α；‎ ‎④若直线a∥b，b⊂α，则a平行于平面α内的无数条直线．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【解析】①中l可以在平面α内；②中直线a可以与平面 α相交，故错误；③a可以在平面α内；④正确．‎ ‎【答案】A ‎9．如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，则下列结论中错误的是(　　)‎ A．AC⊥BE B．EF∥平面ABCD C．直线AB与平面BEF所成的角为定值 D．异面直线AE，BF所成的角为定值 ‎【答案】D ‎10． a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出六个命题：‎ ‎①⇒a∥b；②⇒a∥b；‎ ‎③⇒α∥β；④⇒α∥β；‎ ‎⑤⇒α∥a；⑥⇒a∥α.‎ 其中正确的命题是(　　)‎ A．①②③ B．①④⑤ C．①④ D．①③④‎ ‎【解析】①④正确．②错，a、b可能相交或异面．③错，α与β可能相交．⑤⑥错，a可能在α内．‎ ‎【答案】C ‎11．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，命题p：若m∥n，m∥β，则n∥β，命题q：“m⊥β，n⊥β，n⊥α”是“m⊥α”成立的充分条件，则下列结论正确的是(　　)‎ A．p∧(綈q)是真命题 B．(綈p)∨q是真命题 C．(綈p)∧q是假命题 D．p∨q是假命题 ‎【解析】对于命题p，若m∥n，m∥β，则n可能在平面β内，故命题p为假命题；对于命题q，若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则有m⊥α，故命题q是真命题，故綈p为真命题，綈q为假命题，故(綈p)∨q是真命题，选B. ‎ ‎【答案】B ‎12.如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点，现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长，其中正确的是(　　)‎ A．①② B．①②③ C．① D．②③‎ ‎【答案】B ‎13. 如图所示，b，c在平面α内，a∩c＝B，b∩c＝A，且a⊥b，a⊥c，b⊥c，若C∈a，D∈b，E在线段AB上(C，D，E均异于A，B)，则△ACD是(　　) ‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 ‎【解析】∵a⊥b，b⊥c，a∩c＝B，‎ ‎∴b⊥面ABC，‎ ‎∴AD⊥AC，故△ACD为直角三角形．‎ ‎【答案】B ‎14．在正三棱锥PABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE.其中正确论断的序号为________．‎ ‎【解析】如图，∵PABC为正三棱锥，‎ ‎【答案】①②‎ ‎15．给出命题：‎ ‎①在空间中，垂直于同一平面的两个平面平行；‎ ‎②设l，m是不同的直线，α是一个平面，若l⊥α，l∥m，则m⊥α；‎ ‎③已知α，β表示两个不同平面，m为平面α内的一条直线，“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件；‎ ‎④在三棱锥SABC中，SA⊥BC，SB⊥AC，则S在平面ABC内的射影是△ABC的垂心；‎ ‎⑤a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一条平行．‎ 其中，正确的命题是________(只填序号)．‎ ‎【解析】①错误，垂直于同一个平面的两个平面也可能相交；③错误，“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件；⑤错误，只有当异面直线a，b垂直时才可以作出满足要求的平面；易知②④正确．‎ ‎【答案】②④‎ ‎16.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：‎ ‎①AB⊥EF；‎ ‎②AB与CM所成的角为60°；‎ ‎③EF与MN是异面直线；‎ ‎④MN∥CD.‎ 以上四个命题中，正确命题的序号是________．‎ ‎【解析】把正方体的平面展开图还原成原来的正方体， 如图所示，则AB⊥EF，EF与MN为异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，故①③正确．‎ ‎【答案】①③‎ ‎17．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是________．‎ ‎①P∈a，P∈α⇒a⊂α；②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β；③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α；④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒Ρ∈b.‎ ‎【解析】a∩α＝P时，P∈a，P∈α，‎ 但a⊄α，∴①错；‎ a∩β＝P时，②错；如图，‎ ‎【答案】③④‎ ‎18．如图所示，ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P 是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.‎ ‎【解析】如图所示，连接AC，易知MN∥平面ABCD，‎ ‎∴MN∥PQ.又∵MN∥AC，‎ ‎∴PQ∥AC.又∵AP＝，‎ ‎∴＝＝＝，∴PQ＝AC＝a.‎ ‎【答案】a ‎19．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中， E、F分别是棱DD1 、C1D1的中点．‎ ‎(1)求直线BE和平面ABB1A1所成角θ的正弦值；‎ ‎(2)证明：B1F∥平面A1BE.‎ ‎【解析】‎ ‎ (2)证明　连接EF、AB1、C1D，记AB1与A1B的交点为H，连接EH.‎ ‎∵H为AB1的中点，且B1H＝C1D，B1H∥C1D，而EF＝C1D，EF∥C1D，‎ ‎∴B1H∥EF且B1H＝EF，四边形B1FEH为平行四边形，即B1F∥EH，‎ 又∵B1F⊄平面A1BE且EH⊂平面A1BE，‎ ‎∴B1F∥平面A1BE.‎ ‎20．在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AD＝2，E是棱CD上的一点．‎ ‎(1)求证：AD1⊥平面A1B1D；‎ ‎(2)求证：B1E⊥AD1；‎ ‎(3)若E是棱CD的中点，在棱AA1上是否存在点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求出线段AP的长；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解析】‎ ‎ (1)证明　在长方体ABCDA1B1C1D1中，‎ ‎ ‎ ‎(2)证明　因为E∈CD，‎ 所以B1E⊂平面A1B1CD，‎ 由(1)可知，AD1⊥平面A1B1CD，‎ 所以B1E⊥AD1. ‎ ‎(3)解　当点P是棱AA1的中点时，有DP∥平面B1AE. ‎ 理由如下：‎ 在AB1上取中点M，连接PM，ME.‎ 因为P是棱AA1的中点，M是AB1的中点，‎ 所以PM∥A1B1，且PM＝A1B1.‎ ‎21．如图，将边长为2的正六边形ABCDEF沿对角线BE翻折，连接AC、FD，形成如图所示的多面体，且AC＝.‎ ‎(1)证明：平面ABEF⊥平面BCDE；‎ ‎(2)求三棱锥E－ABC的体积．‎ ‎【解析】‎ ‎ (1)证明　正六边形ABCDEF中，连接AC、BE，交点为G，‎ 易知AC⊥BE，且AG＝CG＝，‎ 在多面体中，由AC＝，知AG2＋CG2＝AC2，‎ 故AG⊥GC，‎ 又GC∩BE＝G，GC，BE⊂平面BCDE，‎ 故AG⊥平面BCDE, ‎ 又AG⊂平面ABEF，‎ 所以平面ABEF⊥平面BCDE.‎ ‎(2)解　连接AE、CE，则AG为三棱锥A－BCE的高，GC为△BCE的高．在正六边形ABCDEF中，BE＝2AF＝4，‎ 故S△BCE＝×4×＝2，‎ 所以VE－ABC＝VA－BCE＝×2×＝2.‎ ‎22．如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PA＝PD，∠BAD＝60°，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上．‎ ‎(1)求证：AD⊥平面PBE；‎ ‎(2)若Q是PC的中点，求证：PA∥平面BDQ；‎ ‎(3)若VPBCDE＝2VQABCD，试求的值．‎ ‎ ‎ ‎(2)证明：连接AC(图略)，交BD于点O，连接OQ.‎ 因为O是AC的中点，‎ Q是PC的中点，‎ 所以OQ∥PA，‎ 又PA⊄平面BDQ，OQ⊂平面BDQ，‎ 所以PA∥平面BDQ.‎ ‎(3)设四棱锥PBCDE，QABCD的高分别为h1，h2.‎ 所以VPBCDE＝S四边形BCDEh1，‎ VQABCD＝S四边形ABCDh2.‎ 又因为VPBCDE＝2VQABCD，‎ 且S四边形BCDE＝S四边形ABCD，所以＝＝.‎ ‎23．一个正方体的平面展开图及该正方体直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N.‎ ‎(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；‎ ‎(2)证明：直线MN∥平面BDH；‎ ‎(3)过点M，N，H的平面将正方体分割为两部分，求这两部分的体积比．‎ ‎【解析】(1)点F，G，H的位置如图所示．‎ ‎ ‎ ‎(3)由(2)知，OM∥NH，OM＝NH，连接GM，MH，过点M，N，H的平面就是平面GMH，它将正方体分割为两个同高的棱柱，高都是GH，底面分别是四边形BMGF和三角形MGC，‎ 体积比等于底面积之比，即3∶1.‎ ‎24．如图，在四棱台ABCDA1B‎1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°.‎ ‎(1)证明：AA1⊥BD；‎ ‎(2)证明：CC1∥平面A1BD.‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎(2)连接AC，A‎1C1.‎ 设AC∩BD＝E，连接EA1，‎ 因为四边形ABCD为平行四边形，‎ 所以EC＝AC.‎ 由棱台定义及AB＝2AD＝2A1B1知，A1C1∥EC且A1C1＝EC，‎ 所以四边形A1ECC1为平行四边形，‎ 因此CC1∥EA1.‎ 又因为EA1⊂平面A1BD，CC1⊄平面A1BD.‎ 所以CC1∥平面A1BD. ‎ ‎25．如图①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图②中△A1BE的位置，得到四棱锥A1BCDE.‎ ‎(1)证明：CD⊥平面A1OC；‎ ‎(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1BCDE的体积为36，求a的值．‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，‎ 且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，‎ 又由(1)，A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE，‎ 即A1O是四棱锥A1BCDE的高．‎ 由题图①知，A1O＝AB＝a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2.‎ 从而四棱锥A1BCDE的体积为V＝×S×A1O＝×a2×a＝a3，由a3＝36，得a＝6.‎