福建省仙游市第一中学莆田二中莆田四中莆田五中莆田六中五校2018-2019学年高二下学期期末考试测试数学（理）试题

福建省仙游市第一中学莆田二中莆田四中莆田五中莆田六中五校2018-2019学年高二下学期期末考试测试数学（理）试题

‎2018-2019学年下学期高二年段五校联考理科数学期末测试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若复数满足，其中为虚数单位，是的共轭复数，则复数（ ）‎ A. B. C. 4 D. 5‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的四则运算法则先求出复数z，再计算它的模长．‎ ‎【详解】解：复数z＝a+bi，a、b∈R；‎ ‎∵2z，‎ ‎∴2（a+bi）﹣（a﹣bi）＝，‎ 即，‎ 解得a＝3，b＝4，‎ ‎∴z＝3+4i，‎ ‎∴|z|．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了复数的计算问题，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式，是基础题．‎ ‎2.已知全集，集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先弄清楚阴影部分集合表示的含义，并解出集合、，结合新定义求出阴影部分所表示的集合。‎ ‎【详解】由题意知，阴影部分区域表示的集合，‎ 集合，，‎ ‎，，‎ 因此，阴影部分区域所表示的集合为，故选：C。‎ ‎【点睛】本题考查集合的运算、集合的表示法以及集合中的新定义，考查二次不等式以及对数不等式的解法，解题的关键就是要弄清楚Venn图表示的新集合的意义，在计算无限集之间的运算时，可充分利用数轴来理解，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中等题。‎ ‎3. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）‎ A. 消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C. 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 D. 某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】解：对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，‎ ‎∴当速度大于40km/h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km，故A错误；‎ 对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，‎ ‎∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；‎ 对于C，由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L，‎ 即甲车行驶10km时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km，燃油为8升，故C错误；‎ 对于D，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，‎ ‎∴用丙车比用乙车更省油，故D正确 故选：D．‎ 考点：1、数学建模能力；2、阅读能力及化归思想.‎ ‎4.已知命题，命题，则（ ）‎ A. 命题是假命题 B. 命题是真命题 C. 命题是真命题 D. 命题是假命题 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：先判断出命题p与q的真假，再由复合命题真假性的判断法则，即可得到正确结论．‎ 解：由于x=10时，x﹣2=8，lgx=lg10=1，故命题p为真命题，‎ 令x=0，则x2=0，故命题q为假命题，‎ 依据复合命题真假性的判断法则，‎ 得到命题p∨q是真命题，命题p∧q是假命题，￢q是真命题，‎ 进而得到命题p∧（￢q）是真命题，命题p∨（￢q）是真命题．‎ 故答案为C．‎ 考点：全称命题；复合命题的真假．‎ ‎5.展开式中的系数为（ ）‎ A. 15 B. 20 C. 30 D. 35‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：分析展开式中的项的两种可能的来由，结合二项式定理求系数．‎ 详解：当选择1时，展开式选择的项为 ‎ ‎；当（选择时，展开式选择的项为 ‎ 所以（展开式中的系数为 ‎ 故选C.‎ 点睛：本题考查了二项式定理的运用；解题的关键是明确展开式得到的两种情况．‎ ‎6.已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数求出，由可求出的值。‎ 详解】，，‎ 由题意可得，因此，，故选：D。‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，考查导数的运算、直线的倾斜角和斜率之间的关系，意在考查函数的切线斜率与导数之间的关系，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎7.[2016·四川卷]设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x，y满足则p是q的(　　)‎ A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：画圆：(x–1)2+(y–1)2=2，如图所示，则(x–1)2+(y–1)2≤2表示圆及其内部，设该区域为M.画出表示的可行域，如图中阴影部分所示，设该区域为N.可知N在M内，则p是q的必要不充分条件.故选A.‎ ‎【考点】充要条件的判断，线性规划 ‎【名师点睛】本题考查充分性与必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识相结合．本题的条件与结论可以转化为平面区域的关系，利用充分性、必要性和集合的包含关系得出结论．‎ ‎8.已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设，‎ ‎，，则，，的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数为的偶函数，得出该函数在上为减函数，结合性质 得出，比较、、的大小关系，结合函数的单调性可得出、、的大小关系。‎ ‎【详解】由函数为的偶函数，且在上是增函数，则该函数在上为减函数，‎ 且有，则，，，‎ ‎，且，‎ ‎，由于函数在上为减函数，‎ 所以，，因此，，故选：B。‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的单调性与奇偶性比较大小，考查中间值法比较指数式和对数式的大小关系，再利用函数单调性比较函数值大小时，要结合函数的奇偶性、对称性、周期性等基本性质将自变量置于同一单调区间，结合单调性来比较大小关系，考查分析问题的能力，属于中等题。‎ ‎9.函数 在的图像大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用定义考查函数的奇偶性，函数值的符号以及与的大小关系辨别函数的图象。‎ ‎【详解】，所以，函数为奇函数，排除D选项；‎ 当时，，则，排除A选项；‎ 又，排除B选项。故选：C。‎ ‎【点睛】本题考查函数图象的辨别，在给定函数解析式辨别函数图象时，要考查函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及特殊值，利用这五个要素逐一排除不符合要求的选项，考查分析问题的能力，属于中等题。‎ ‎10.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．刘徽应用“割圆术”得到了圆周率精确到小数点后四位的近似值，这就是著名的“徽率”．如图是应用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（ ）（参考数据：，）‎ A. 12 B. 24 C. 36 D. 48‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：模拟执行程序，可得，不满足条件；不满足条件；满足条件，推出循环，输出的值为，故选B.‎ 考点：程序框图.‎ ‎11.某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（）（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：分析题意可知，问题等价于圆锥的内接长方体的体积的最大值，设长方体体的长，宽，高分别为，，，长方体上底面截圆锥的截面半径为，则，如下图所示，圆锥的轴截面如图所示，则可知，而长方体的体积 ‎，当且仅当，时，等号成立，此时利用率为，故选A.‎ 考点：1.圆锥的内接长方体；2.基本不等式求最值.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查立体几何中的最值问题，与实际应用相结合，立意新颖，属于较难题，需要考生从实际应用问题中提取出相应的几何元素，再利用基本不等式求解，解决此类问题的两大核心思路：一是化立体问题为平面问题，结合平面几何的相关知识求解；二是建立目标函数的数学思想，选择合理的变量，或利用导数或利用基本不等式，求其最值.‎ ‎12.已知定义在上的奇函数，满足，当时，，若函数，在区间上有10个零点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得出函数的图象关于点成中心对称以及函数 的周期为，由函数为奇函数得出，并由周期性得出 ‎，然后作出函数与函数的图象，列举前个交点的横坐标，结合第个交点的横坐标得出实数的取值范围。‎ ‎【详解】由可知函数图象关于点成中心对称，‎ 且，所以，，‎ 所以，函数的周期为，‎ 由于函数为奇函数，则，则，‎ 作出函数与函数的图象如下图所示：‎ ‎，则，‎ 于是得出，，‎ 由图象可知，函数与函数在区间上从左到右个交点的横坐标分别为、、、、、、、、、，第个交点的横坐标为，‎ 因此，实数取值范围是，故选：A。‎ ‎【点睛】本题考查方程的根与函数的零点个数问题，一般这类问题转化为两个函数图象的交点个数问题，在画函数的图象时，要注意函数的奇偶性、对称性、周期性对函数图象的影响，属于难题。‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知向量的夹角为，，，则_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎=‎ 故答案为：‎ ‎14.函数,若，则__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据解析式得到a的范围，进而得到，解出参数a=1,代入表达式得到.‎ ‎【详解】由时是减函数可知，若，则，∴，由得，解得，则.‎ 故答案为：2.‎ ‎【点睛】这个题目考查了分段函数的应用，解决分段函数求值问题的策略 ‎(1)在求分段函数的值f(x0)时，一定要首先判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式。‎ ‎(2)分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数，分段函数是一个函数，而不是多个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，故解分段函数时要分段解决。‎ ‎(3)求f(f(f(a)))的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原则。‎ ‎15.设等差数列的前项和为，，，则取得最小值的值为________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 求出数列的首项和公差，求出的表达式，然后利用基本不等式求出 的最小值并求出等号成立时的值，于此可得出答案。‎ ‎【详解】设等等差数列的公差为，则，解得，‎ 所以，，‎ 所以，，‎ 等号成立，当且仅当时，等号成立，但，‎ 由双勾函数的单调性可知，当或时，取最小值，‎ 当时，；当时，，‎ ‎，因此，当时，取最小值，故答案为：。‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的求和公式，考查基本不等式与双勾函数求最值，利用基本不等式要注意“一正、二定、三相等”这三个条件，在等号不成立时，则应考查双勾函数的单调性求解，考查分析能力与计算能力，属于中等题。‎ ‎16.已知双曲线的左右顶点分别是，右焦点，过垂直于轴的直线交双曲线于两点，为直线上的点，当的外接圆面积达到最小时，点恰好落在（或）处，则双曲线的离心率是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设点的坐标为，求出点的坐标，由的外接圆面积取最小值时，取到最大值，则，利用基本不等式求出 的最小值，利用等号成立求出的表达式，令求出双曲线的离心率的值。‎ ‎【详解】如下图所示，将代入双曲线的方程得，得，所以点，‎ 设点的坐标为，由的外接圆面积取最小值时，则取到最大值，‎ 则取到最大值，，，‎ ‎ ，‎ 当且仅当，即当时，等号成立，‎ 所以，当时，最大，此时的外接圆面积取最小值，‎ 由题意可得，则，此时，双曲线的离心率为，‎ 故答案为：。‎ ‎【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，考查利用基本不等式求最值，本题中将三角形的外接圆面积最小转化为对应的角取最大值，转化为三角函数值的最值求解，考查化归与转化思想的应用，运算量较大，属于难题。‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎17.的内角，，的对边分别为，，，已知，，．‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)设为边上一点，且，求的面积．‎ ‎【答案】（1）.（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）先根据同角的三角函数的关系求出，再根据余弦定理即可求出；（2）先根据夹角求出，再由可得的长，根据勾股定理求出的长，然后利用三角形面积公式即可求出的面积.‎ ‎（1）由得，又，得.‎ 由余弦定理.又∵‎ 代入并整理得，故. ‎ ‎（2）∵，‎ 由余弦定理. ‎ ‎∵，即为直角三角形，‎ ‎∴，得.‎ 由勾股定理.‎ 又∵‎ ‎∴，则.‎ 点睛：在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、‎ 余弦定理联系起来.正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.‎ ‎18.如图，在四棱锥中，为矩形，是以为直角的等腰直角三角形，平面⊥平面．‎ ‎(1)证明：平面⊥平面；‎ ‎(2) 为直线的中点，且，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；‎ ‎（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由为矩形，得，再由面面垂直的性质可得平面，则，结合，由线面垂直的判定可得平面，进一步得到平面平面； ‎ ‎（Ⅱ）取中点O，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值，再由平方关系求得二面角的正弦值．‎ ‎【详解】（Ⅰ）证明：为矩形，，‎ 平面平面，平面平面，‎ 平面，则，‎ 又，，‎ 平面，而平面，‎ 平面平面；‎ ‎（Ⅱ）取中点O，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，‎ 由，是以为直角的等腰直角三角形，‎ 得：，‎ ‎．‎ 设平面的一个法向量为，‎ 由，取，得；‎ 设平面的一个法向量为，‎ 由，取，得.‎ ‎．‎ ‎∴二面角的正弦值为．‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角，是中档题．‎ ‎19.已知椭圆经过点离心率为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点的直线交椭圆于两点，为椭圆的左焦点，若，求直线的方程．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）或．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由题中已知条件可得，，代入椭圆的方程，将点的坐标代入椭圆方程可求出c的值，进而得出、b的值，于是可得到椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l的方程为，设点，将直线l的方程代入椭圆的方程，列出韦达定理，由等式结合韦达定理可求出的值，即可求出直线l的方程．‎ ‎【详解】（Ⅰ）设椭圆的焦距为，则，‎ ‎，‎ 所以，椭圆的方程为，‎ 将点的坐标代入椭圆的方程得，‎ 解得，则，‎ 因此，椭圆的方程为；‎ ‎（Ⅱ）设直线l的方程为，设点，‎ 将直线l的方程代入椭圆的方程，并化简得，‎ ‎，解得或．‎ 由韦达定理可得，‎ ‎，同理可得，‎ 所以，‎ ‎，‎ 解得，合乎题意！‎ 因此，直线l的方程为或．‎ ‎【点睛】本题考查直线与椭圆的综合，考查韦达定理的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题．‎ ‎20.在习总书记提出的“变害为利，造福人民”的木兰溪全流域治理系统过程中，莆田市环保局根据水文观测点的历史统计数据，得到木兰溪某段流域的每年最高水位（单位：米）的频率分布直方图（如图）.若将河流最高水位落入各组的频率视为概率，并假设每年河流最高水位相互独立．‎ ‎（1）求在未来3年里，至多有1年河流最高水位的概率（结果用分数表示）；‎ ‎（2）根据评估，该流域对沿河企业影响如下：当时，不会造成影响；当时，损失1000万元；当时，损失6000万元．为减少损失，莆田市委在举行的一次治理听证会上产生了三种应对方案：‎ 方案一：布置能防御35米最高水位的工程，需要工程费用380万元；‎ 方案二：布置能防御31米最高水位的工程，需要工程费用200万元；‎ 方案三：不采取措施；‎ 试问哪种方案更好，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先在频率分布直方图中找出河流最高水位在区间的频率，然后利用独立重复试验的概率公式计算出所求事件的概率；‎ ‎（2）计算出三种方案的损失费用期望，在三种方案中选择损失最小的方案。‎ ‎【详解】（1）由题设得，‎ 所以，在未来3年里，河流最高水位发生的年数为，则～，‎ 记事件“在未来3年里，至多有1年河流水位”为事件， ‎ 则，‎ ‎∴未来3年里，至多有1年河流水位的概率为． ‎ ‎（2）由题设得，，‎ 用分别表示方案一、方案二、方案三的损失，‎ 由题意得万元， ‎ 的分布列为：‎ ‎200‎ ‎6200‎ ‎0.99‎ ‎0.01‎ 万元， ‎ 的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1000‎ ‎6000‎ ‎0.74‎ ‎0.25‎ ‎0.01‎ ‎∴万元， ‎ 三种方案采取方案二的损失最小，采取方案二好．‎ ‎【点睛】本题考查独立重复试验概率的计算，考查离散型随机变量分布列及其数学期望，在求解时要弄清随机变量所服从的分布列类型，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎21.已知函数在处的导数为0.‎ ‎（1）求的值和的最大值；‎ ‎（2）若实数，对任意，不等式恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1），的最大值为0.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用导数计算出，得出的值，然后利用导数求出函数在上的最大值作为函数的最大值；‎ ‎（2）将所求不等式转化为对任意的恒成立，转化为，对的取值范围进行分类讨论，考查函数的单调性，结合 求出实数的取值范围。‎ ‎【详解】（1），由题意得，，则，经检验满足. ‎ 因为是偶函数，故只考虑部分的最大值，当时，，‎ 又，此时在上单调递减，则，‎ 所以最大值为0. ‎ ‎（2）设，‎ 只要证，对恒成立，且注意到.‎ ‎，设，，，‎ 因为，则，从而对恒成立，则在上单调递增，‎ 则，即， ‎ ‎①当，即时，，故在上单调递增，于是恒成立；‎ ‎②当，即时，存在，使得时，，即在上递减，从而，不能使恒成立.‎ 综上所述：，所以的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查导数的计算、利用导数求函数的最值以及利用导数研究函数不等式恒成立问题，对于函数不等式恒成立问题，通常是转化为函数的最值来求解，并通过利用导数分析函数的单调性来得到函数的最值，考查化归与转化思想，属于难题。‎ ‎22.选考题：请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求和的直角坐标方程；‎ ‎（2）求上的点到距离的最小值．‎ ‎【答案】（1）曲线的直角坐标方程为：，曲线的直角坐标方程为：（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在曲线的参数方程中消去参数可得出曲线的直角坐标方程，将代入直线的极坐标方程可得出直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设曲线上的点的坐标为，利用点到直线的距离公式以及二次函数的基本性质可求出曲线上的点到直线距离的最小值。‎ ‎【详解】（1）由,得, 曲线的直角坐标方程为：. ‎ 由，代入 ‎ 曲线的直角坐标方程为：；‎ ‎（2）设曲线上的点为，‎ 由点到直线的距离得 ‎ ‎ ，‎ 故当且仅当时，上的点到距离的最小值.‎ ‎【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程之间的互化，考查参数方程的应用，解题时要熟悉参数方程与极坐标方程所适应的基本类型，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎23.已知函数．‎ ‎（1）若在上的最大值是最小值的2倍，解不等式；‎ ‎（2）若存在实数使得成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）根据在上的最大值是最小值的2倍求出a的值，再解不等式.(2)先分离参数得，再求右边式子的最小值，得到a的取值范围.‎ 详解：（1）∵，∴，，‎ ‎∴，解得，‎ 不等式，即，解得或，‎ 故不等式的解集为．‎ ‎（2）由，得，‎ 令，问题转化为，‎ 又故，‎ 则，所以实数的取值范围为．‎ 点睛：（1）本题主要考查不等式的解法和求绝对值不等式的最值，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)本题易错，得到，问题转化为，不是转化为,因为它是存在性问题.‎ ‎ ‎