2017-2018学年安徽省宣城市高二上学期期末调研测试数学（文）试题 Word版

2017-2018学年安徽省宣城市高二上学期期末调研测试数学（文）试题 Word版

Ａ０７ Ｂ０３ Ｃ０２ Ｄ０５‎ ‎３某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为 １２０件，８０件，６０件 为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为ｎ的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了６件，则ｎ＝‎ Ａ９‎ Ｂ１３‎ Ｃ２４‎ Ｄ２６‎ ‎４若十进制数 ２６等于 ｋ进制数 ３２，则 ｋ等于 Ａ４‎ Ｂ５‎ Ｃ６‎ Ｄ８‎ ‎５从装有 ２个红球和 ２个白球的口袋内任取 ２个球，那么互斥但不对立的两个事件是 Ａ至少有 １个白球，都是白球 Ｂ至少有一个白球，至少有一个红球 Ｃ恰有 １个白球，恰有 ２个白球 Ｄ至少有一个白球，都是红球 ‎０≤ｘ≤２‎ ‎６设不等式组{０≤ｙ≤２‎ 表示的平面区域为Ｄ，在区域Ｄ内随机取一个点，则此点到坐标原 点的距离大于２的概率是 π π－２‎ π ‎４－π Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ‎４‎ ‎２‎ ‎６‎ ‎４‎ 宣城市高二数学（文）试卷第１页（共４页）‎ ‎１５‎ ‎７某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是 ，则 ‎８‎ Ａ ａ＝６‎ Ｂａ＝７‎ Ｃａ＝８‎ Ｄ ａ＝９‎ ‎２‎ ‎２‎ ｘ ｙ ‎８已知双曲线 Ｃ：２‎ ‎－‎ ‎＝１（ａ＞０，ｂ＞０）虚轴的两个端点与其中 ‎２‎ ａ ｂ 一个焦点连成的三角形为等边三角形，则该双曲线Ｃ的渐近线方程为 ‎１‎ 槡２‎ Ａ ｙ＝±‎ ｘ Ｂ ｙ＝±‎ ｘ ‎２‎ ‎２‎ 槡３‎ Ｃ ｙ＝±ｘ Ｄ ｙ＝±‎ ｘ ‎３‎ ‎２‎ ‎９函数 ｆ（ｘ）＝ｘ－２ｌｎｘ的单调递减区间是 Ａ（０，１）‎ Ｂ（１，＋∞）‎ Ｃ（－１，１）‎ Ｄ（－１，０）和（０，１）‎ ‎２‎ ‎１０已知抛物线 ｙ＝２ｐｘ（ｐ＞０），过其焦点且斜率为 －１的直线交抛物线于 Ａ、Ｂ两点，若线段ＡＢ的长度为 ８，则该抛物线的准线方程为 Ａ ｘ＝１‎ Ｂｘ＝２‎ Ｃｘ＝－１‎ Ｄ ｘ＝－２‎ ‎２ｘ ‎１１函数 ｆ（ｘ）＝ｘｅ在区间（ａ，ａ＋１）上存在极值点，则实数 ａ的取值范围是 Ａ（－３，－２）‎ Ｂ（－１，０）‎ Ｃ（－３，－２）∪（－１，０）‎ Ｄ（－２，０）∪（２，３）‎ ‎｜ｘ｜＋‎ ‎１‎ ｘ＜１‎ ‎２‎ ‎（）‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎（） （）‎ ‎１２已知函数 ｆｘ ＝{ 若存在互不相同的三个实数ａｂｃ使得ｆａ ＝ｆｂ ｌｎｘ ｘ≥１‎ ｆ（ａ） ｆ（ｂ） ｆ（ｃ）‎ ‎＝ｆ（ｃ），则 ‎＋‎ ‎＋‎ 的取值范围是 ａ ｂ ｃ ( １ －１ －１) Ａ ｅ２，ｅ ‎２‎ [ ３ －３ －１] Ｃ ｅ２，ｅ ‎２‎ ‎‎ ( １ －１ －１] Ｂ ｅ２，ｅ ‎２‎ ( ‎１－１ ３－３) Ｄ ｅ２， ｅ２‎ ２ ‎２‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共９０分）‎ 二、填空题（本大题共 ４小题，每题 ５分，共 ２０分）‎ ‎１３ 命题“若 ｘ＞２０１７，则 ｘ＞０”的否命题是 ．‎ 獉獉獉 ‎１４从甲、乙两个班级中各选出 ７名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分 １００分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生的平均分是 ８５，乙 班学生成绩的中位数是８２，则ｘ＋ｙ的值为 ．‎ 宣城市高二数学（文）试卷第２页（共４页）‎ ‎１５已知函数 ｙ＝ｆ（ｘ）及其导函数 ｙ＝ｆ′（ｘ）的图象如图所示，‎ 则曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点Ｐ处的切线方程是 ．１６已知 Ｆ１、Ｆ２是椭圆和双曲线的公共焦点，Ｐ为它们的一个 ‎→ →‎ 公共点，且ＰＦ１·ＰＦ２＝０，若它们的离心率分别为 ｅ１和 ｅ２，‎ ‎２‎ ‎２‎ 则ｅ１‎ ‎＋２ｅ２的最小值为 ‎．‎ 三、解答题（本大题共 ６小题，共 ７０分）‎ ‎２ｘ－‎ ‎３‎ ‎１‎ ‎１７（本题满分 １０分）已知 ｐ：‎ ‎≤‎ ‎，ｑ：（ｘ－ａ）［ｘ－（ａ＋１）］≤０‎ ‎２‎ ‎２‎ ‎１‎ ‎（Ⅰ）若 ａ＝ ，且 ｐ∧ｑ为真，求实数 ｘ的取值范围；‎ ‎２‎ ‎（Ⅱ）若 ｐ是 ｑ的充分条件，求实数 ａ的取值范围．‎ ‎１８（本题满分 １２分）全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标．根据相关报道提供的全网传播 ２０１７年全国性某大型活动的“省级卫视新闻台”的融合指数的数据，对名列前 ２０名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示．‎ 组号 分组 频数 ‎１‎ ‎［４，５）‎ ‎３‎ ‎２‎ ‎［５，６）‎ ‎７‎ ‎３‎ ‎［６，７）‎ ‎８‎ ‎４‎ ‎［７，８］‎ ‎２‎ ‎（Ⅰ）现从融合指数在［４，５）和［７，８］内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 ２家进行调研，求 至少有１家的融合指数在［７，８］内的概率；‎ ‎（Ⅱ）根据分组统计表，请补齐频率分布直方图，并估算这 ２０家“省级卫视新闻台”的融合 指数的平均数．‎ 宣城市高二数学（文）试卷第３页（共４页）‎ ‎∧ — —‎ ‎，ａ＝ｙ－ｂｘ ‎∧ ｉ＝１‎ 附：用最小二乘法求线性回归直线方程系数公式 ｂ＝‎ ‎１９（本题满分 １２分）某地区 ２０１３年至 ２０１７年农村居民家庭人均存款 ｙ（单位：千元）的数据如下表：‎ 年 份 ‎２０１３‎ ‎２０１４‎ ‎２０１５‎ ‎２０１６‎ ‎２０１７‎ 年份代号ｘ ‎１‎ ‎２‎ ‎３‎ ‎４‎ ‎５‎ 人均存款ｙ ‎３‎ ‎３８‎ ‎４４‎ ‎４８‎ ‎５‎ ‎（Ⅰ）已知变量 ｙ与 ｘ满足线性关系，求 ｙ关于 ｘ的线性回归直线方程；‎ ‎（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归直线方程，预测该地区 ２０１８年农村居民家庭人均存款．‎ ｎ — —‎ ‎∑（ｘ－ｘ）·（ｙ－ｙ）‎ ｉ ｉ ｎ ‎— ２‎ ‎∑（ｘ－ｘ）‎ ｉ ｉ＝１‎ ｎ — —‎ ‎∑ｘｙ－ｎｘ·ｙ ｉｉ ｉ＝１‎ ｎ ‎２ —２‎ ‎∑ｘ－ｎｘ ｉ ｉ＝１‎ ‎＝‎ ‎２‎ ‎２‎ 槡３‎ ｘ ｙ ‎２０（本题满分 １２分）已知椭圆 ‎２‎ ‎＋‎ ‎２‎ ‎＝１（ａ＞ｂ＞０）的离心率 ｅ＝‎ ‎，以坐标原点为圆心的椭 圆的内切圆的面积为 ４π．‎ ａ ｂ ‎２‎ ‎（ ）‎ ‎；‎ Ⅰ 求椭圆的标准方程 ‎８槡２‎ ‎（Ⅱ）设过点 Ａ（－ａ，０）的直线 ｌ与椭圆相交于另一点 Ｂ，若｜ＡＢ｜＝‎ ‎，求直线 ｌ的斜率．‎ ‎５‎ ‎２１（本题满分 １２分）设函数 ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ－ａｘ－１（ａ∈Ｒ）‎ ‎（Ⅰ）求函数 ｆ（ｘ）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当 ａ＞０时，令 ｇ（ｘ）＝ｘ·ｆ（ｘ），若函数 ｇ（ｘ）有两个零点，求 ａ的取值范围．‎ ‎２２（本题满分 １２分）已知抛物线 Ｃ的顶点为坐标原点，准线方程为 ｘ＝－２，直线 ｌ与抛物线Ｃ相交于 Ａ，Ｂ两点，且线段 ＡＢ的中点为 Ｍ（２，２）．‎ ‎（Ⅰ）求直线 ｌ的方程；‎ ‎（Ⅱ）若过 Ｔ（４，０）且互相垂直的直线 ｌ，ｌ分别与抛物线 Ｃ交于 Ｐ（ｘ，ｙ），Ｑ（ｘ，ｙ），‎ ‎１ ２ １ １ ２ ２‎ Ｒ（ｘ，ｙ），Ｓ（ｘ，ｙ）四点，求四边形 ＰＲＱＳ面积的最小值．‎ ‎３ ３ ４ ４‎ 宣城市高二数学（文）试卷第４页（共４页）‎ 宣城市 ２０１７—２０１８学年度第一学期期末调研测试 高二数学（文科）参考答案 一、选择题 题 号 ‎１‎ ‎２‎ ‎３‎ ‎４‎ ‎５‎ ‎６‎ ‎７‎ ‎８‎ ‎９‎ ‎１０‎ ‎１１‎ ‎１２‎ 答 案 Ａ Ｄ Ｄ Ｄ Ｃ Ｄ Ｃ Ｂ Ａ Ｃ Ｃ Ｂ 二、填空题 ‎１‎ ‎１３ 若 ｘ≤２０１７，则 ｘ≤０‎ ‎１４７‎ ‎１５ ｙ＝ｘ－２‎ ‎１６‎ ‎（３＋２槡２）‎ ‎２‎ 三、解答题 ‎１７ （Ⅰ）∵ｐ∧ｑ为真，∴ｐ真 ｑ真 …………………………………………………………… １分 ‎２ｘ－‎ ‎３‎ ‎１‎ ‎１‎ ｐ真：由 ‎≤‎ 解得Ａ＝｛ｘ｜‎ ‎≤ｘ≤１｝ ……………………………… ２分 ‎２‎ ‎２‎ ‎２‎ ｑ真：由（ｘ－ａ）［ｘ－（ａ＋１）］≤０‎ 解得 Ｂ＝｛ｘ｜ａ≤ｘ≤ａ＋１｝………………… ３分 ‎１‎ ‎１‎ ‎３‎ ‎∵ａ＝‎ ‎∴Ｂ＝｛ｘ｜‎ ‎≤ｘ≤‎ ‎｝‎ ‎２‎ ‎２‎ ‎２‎ ‎１‎ ‎∴Ａ∩Ｂ＝｛ｘ｜ ≤ｘ≤１｝‎ ‎２‎ ‎１‎ ‎∴实数 ｘ的取值范围为：｛ｘ｜ ≤ｘ≤１｝…………………………………………… ５分 ‎２‎ ‎１‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知 Ａ＝｛ｘ｜ ≤ｘ≤１｝，Ｂ＝｛ｘ｜ａ≤ｘ≤ａ＋１｝‎ ‎２‎ ‎∵ｐ是 ｑ的充分条件，‎ ‎∴Ａ是 Ｂ的子集 …………………………………………………………………… ６分 ‎１‎ ‎∴{ａ≤ ２ 解得０≤ａ≤ １‎ ‎２‎ ａ＋１≥１‎ ‎１‎ ‎∴实数 ａ的取值范围为：｛ａ｜０≤ａ≤ ｝ ………………………………………… １０分 ‎２‎ ‎１８ （Ⅰ）融合指数在［７，８］内的“省级卫视新闻台”记为 Ａ１，Ａ２；融合指数在［４，５）内的“省级卫视新闻台”记为 Ｂ１，Ｂ２，Ｂ３．‎ 从融合指数在［４，５）和［７，８］内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 ２家的所有基本事件是：‎ ‎｛Ａ１，Ａ２｝，｛Ａ１，Ｂ１｝，｛Ａ１，Ｂ２｝，｛Ａ１，Ｂ３｝，｛Ａ２，Ｂ１｝，｛Ａ２，Ｂ２｝，｛Ａ２，Ｂ３｝，｛Ｂ１，Ｂ２｝，｛Ｂ１，‎ 宣城市高二数学（文）参考答案第１页（共４页）‎ Ｂ３｝，｛Ｂ２，Ｂ３｝共 １０个．‎ 其中，至少有１家融合指数在［７，８］内的基本事件是：｛Ａ１，Ａ２｝，｛Ａ１，Ｂ１｝，｛Ａ１，Ｂ２｝，‎ ‎｛Ａ１，Ｂ３｝，｛Ａ２，Ｂ１｝，｛Ａ２，Ｂ２｝，｛Ａ２，Ｂ３｝共 ７个．‎ ‎７‎ 所以所求的概率 Ｐ＝‎ ‎．…………………………………………………………… ６分 ‎１０‎ ‎（Ⅱ）（频率分布直方图补齐 ２分）‎ 这 ２０家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数 为：‎ ‎４５×‎ ‎３‎ ‎＋５５×‎ ‎７‎ ‎＋６５×‎ ‎８‎ ‎＋７５×‎ ‎２‎ ‎＝‎ ‎２０‎ ‎２０‎ ‎２０‎ ‎２０‎ ‎５９５． …………………………………… １２分 ‎—‎ ‎—‎ ‎１９ （Ⅰ）ｘ＝３，ｙ＝４２， …………………………… ２分 ‎∧ （３＋７６＋１３２＋１９２＋２５）－５×３×４２‎ ‎１‎ ‎∧‎ ‎１‎ ｂ＝‎ ‎＝‎ ‎，ａ＝４２－‎ ‎×３＝２７ …… ７分 ‎１‎ ‎（１＋４＋９＋１６＋２５）－５×９‎ ‎２‎ ‎２‎ ‎∧‎ 则ｙ＝‎ ｘ＋２７‎ ‎…………………………………………………………………… ８分 ‎２‎ ‎１‎ ‎∧‎ ‎（Ⅱ）２０１８年，即 ｘ＝６时，ｙ＝‎ ‎×６＋２７＝５７，即 ２０１８年农村的居民家庭人均存款为 ‎２‎ ‎５７千元．…………………………………………………………………………… １２分 ｃ 槡３‎ ‎２‎ ‎２‎ ‎２０（Ⅰ）由 ｅ＝‎ ‎＝‎ ‎，得 ‎３ａ＝４ｃ．‎ ａ ‎２‎ ‎２‎ ‎２‎ ‎２‎ 由 ｃ＝ａ－ｂ，解得 ａ＝２ｂ．………………………………………………………… ２分 ‎２‎ ‎２‎ ‎２‎ ｘ ｙ 由 πｂ＝４π得 ｂ＝２，则 ａ＝４，故椭圆的标准方程为 ‎＋‎ ‎＝１ ………………… ４分 ‎１６‎ ‎４‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知点 Ａ的坐标是（－４，０），由题意直线的斜率存在，设为 ｋ 则直线的方程 为 ｙ＝ｋ（ｘ＋４）．………………………………………………………………………… ５分 ｙ＝ｋ（ｘ＋４）‎ 消去ｙ并整理，得 联立 ｘ ｙ { ‎２‎ ‎２‎ ‎１６＋‎ ‎＝１‎ ‎４‎ ‎…………………………………………… ６分 ‎２‎ ‎２‎ ‎２‎ ‎２‎ ‎（１＋４ｋ）ｘ＋３２ｋｘ＋（６４ｋ－１６）＝０‎ ‎２‎ ‎２‎ ‎２‎ ‎２‎ ‎８槡１＋ｋ 则ＡＢ＝槡１＋ｋ｜ｘ１‎ ‎－ｘ２｜＝槡１＋ｋ·‎ ‎（ｘ１‎ ‎＋ｘ２） －４ｘｘ１２‎ ‎＝‎ ‎………… ９分 ‎２‎ 槡 ‎１＋４ｋ ‎２‎ ‎４‎ ‎２‎ ‎２‎ ‎２‎ ‎８槡１＋ｋ ８槡２‎ 令 ‎＝‎ ‎，整理得 ３２ｋ－９ｋ－２３＝０，即（ｋ－１）（３２ｋ＋２３）＝０，‎ ‎２‎ ‎１＋４ｋ ‎５‎ 解得 ｋ＝±１．所以直线 ｌ的斜率为 ±１． ………………………………………… １２分 宣城市高二数学（文）参考答案第２页（共４页）‎ ‎１ １－ａｘ ‎２１ （Ⅰ）∵ｘ＞０，ｆ′（ｘ）＝ｘ－ａ＝ ｘ …………………………………………………… １分 ‎１－ａｘ ‎∴当 ａ≤０时， ＞０，即 ｆ′（ｘ）＞０，即增区间为（０，＋∞）…………………… ２分 ｘ 当ａ＞０时，令ｆ′（ｘ）＝０ ｘ＝１，则ｘ∈( ０，１) 时，ｆ′（ｘ）＞０，即ｆ（ｘ）单调递增；‎ ａ ａ ｘ∈( １ａ，＋∞) 时，ｆ′（ｘ）＜０，即 ｆ（ｘ）单调递减，‎ 此时函数ｆ（ｘ）的增区间为( ０，１ａ) ，减区间为( １ａ，＋∞) 综上所述：∴当ａ≤０时，增区间为（０，＋∞），无减区间 当 ａ＞０时，增区间为( ０，１ａ) ，减区间为( １ａ，＋∞) ……………………………… ６分 ‎（Ⅱ）方法一 ‎∵ｘ＞０，要使 ｇ（ｘ）有两个零点，只要 ｆ（ｘ）有两个零点， ………………………… ７分 由（Ⅰ）知，当ａ＞０时，ｘ∈( ０，１ａ) 时，ｆ（ｘ）单调递增，ｘ∈( １ａ，＋∞) 时，ｆ（ｘ）单调递减，‎ ‎１‎ 故只要 ｆ（ ）＞０，…………………………………………………………………… ９分 ａ ‎１‎ ‎１‎ ‎２‎ 即ｌｎａ－２＞０‎ ａ＞ｅ， ………………………………………………………… １１分 ‎１‎ 因为 ａ＞０，故 ０＜ａ＜ ２． ………………………………………………………… １２分 ｅ 方法二（分离参数）‎ ‎∵ｘ＞０，要使 ｇ（ｘ）有两个零点，只要 ｆ（ｘ）有两个零点， ………………………… ７分 ｌｎｘ－１‎ ｌｎｘ－１‎ 即ｌｎｘ－ａｘ－１＝０有两个不等的正根，即ａ＝‎ ‎，即 ｙ１＝ａ，ｙ２‎ ‎＝‎ 的图像有两 ｘ ｘ 个不同的交点，‎ ‎２－ｌｎｘ ‎２‎ ‎２‎ 由ｙ′２＝‎ 知ｙ２‎ 在（０，ｅ）单调递增，（ｅ，＋∞）单调递减，‎ ‎２‎ ｘ ‎１‎ ‎１‎ 则ｙ２ｍａｘ＝‎ ‎，结合图像知：０＜ａ＜‎ ‎……………………………………………… １２分 ‎２‎ ‎２‎ ｅ ｅ ‎２‎ ‎２２（Ⅰ）设抛物线 Ｃ的方程为：ｙ＝２ｐｘ（ｐ＞０）．‎ ｐ ‎２‎ 由准线方程为ｘ＝－２，可知 ‎＝２，所以 ｐ＝４，所求的抛物线方程为 ｙ＝８ｘ． … １分 ‎２‎ 由题意知直线ｌ的斜率存在，则设直线ｌ的方程为ｙ－２＝ｋ（ｘ－２），‎ ‎２‎ ‎２‎ 与ｙ＝８ｘ联立消去 ｘ，得 ｋｙ－８ｙ－１６ｋ＋１６＝０ ………………………………… ３分 宣城市高二数学（文）参考答案第３页（共４页）‎ ‎８‎ ‎８‎ 由韦达定理可得ｙＡ＋ｙＢ ‎＝‎ ‎，又 ＡＢ的中点为（２，２），∴‎ ‎＝４，………………… ４分 ｋ ｋ 解得 ｋ＝２，故直线 ｌ的方程为 ｙ＝２ｘ－２． ………………………………………… ５分 ‎（Ⅱ）由题意，直线 ｌ，ｌ的斜率存在，不妨设 ｌ：ｙ＝ｋ（ｘ－４），………………………… ６分 ‎１ ２ １‎ ‎２‎ ‎２‎ 联立抛物线方程ｙ＝８ｘ，得ｋｙ－８ｙ－３２ｋ＝０，‎ ‎１‎ ‎１‎ ‎２‎ ‎１‎ 则ＰＱ＝ １＋‎ ‎｜ｙ１‎ ‎－ｙ２｜＝ １＋‎ ‎· （ｙ１＋ｙ２） －４ｙｙ１２－４ｙｙ１２ ＝８ １＋‎ ‎·‎ ‎２‎ ‎２‎ ‎２‎ 槡ｋ 槡ｋ 槡 槡ｋ ‎１‎ ‎＋２‎ ‎２‎ 槡 ｋ ‎１‎ ‎２‎ ‎２‎ 同理，将ｋ换成 ‎－‎ 得 ＲＳ＝８槡１＋ｋ· 槡ｋ＋２，………………………………… ９分 ｋ ‎１‎ ‎１‎ ‎２‎ ‎１‎ ‎２‎ 则ＳＰＲＱＳ＝‎ ‎×ＰＱ×ＲＳ＝３２ １＋‎ ‎·‎ 槡１＋ｋ·‎ ‎＋２·‎ 槡ｋ＋２‎ ‎２‎ ‎２‎ ‎２‎ 槡 ｋ 槡 ｋ ‎２‎ ‎１‎ ‎２‎ ‎２‎ ‎＝３２ ｋ＋‎ ‎＋２·‎ ‎２ｋ＋‎ ‎＋５≥３２×槡２＋２· 槡２×２＋５＝１９２‎ ‎２‎ ‎２‎ 槡 ｋ 槡 ｋ ‎２‎ 当且仅当 ｋ＝１即 ｋ＝±１时取得最小值 １９２． ………………………………… １２分 宣城市高二数学（文）参考答案第４页（共４页）‎