2019-2020学年湖南省张家界市高二上学期期末考试数学试题

2019-2020学年湖南省张家界市高二上学期期末考试数学试题

湖南省张家界市2019-2020学年高二上学期期末考试 数学试题卷 命题人：唐 勇 段年冬　 　审题人：谭俊凭 注意事项：‎ ‎1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试内容为必修3、选修2—1、选修2—2全部内容，共4页．考试时量120分钟，满分150分.‎ ‎2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置.‎ ‎3．全部答案在答题卡上完成，答在试题卷、草稿纸上无效.‎ 第I卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知复数，则的虚部为 A． B．3 C．1 D．i ‎ ‎2．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0.4，甲不输的概率为0.9，则甲、乙下成平局的 ‎ 概率为 ‎ A．0.5 B．0.3 C．0.1 D．0.6 ‎ ‎3．“”是“”成立的 ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．已知直线l的一个方向向量，且直线l过和两点，则 ‎ A．0 B．1 C． D．3 ‎ ‎5．福利彩票“双色球”中红球的号码可以从01，02，03，…，32，33这33个二位号码中选取，小明利用如图所示的随机数表选取红色球的6个号码，选取方法是从第1行第9列和第10列的数字开始从左到右依次选取两个数字，则第四个被选中的红色球号码为 ‎81 47 23 68 63 93 17 90 12 69 86 81 62 93 50 60 91 33 75 85 61 39 85‎ ‎06 32 35 92 46 22 54 10 02 78 49 82 18 86 70 48 05 46 88 15 19 20 49‎ ‎ A．12 B．33 C．06 D．16 ‎ ‎6．函数的极大值是 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎7．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于 ‎ 洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为 ‎ 肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如 ‎ 图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于 ‎ 11的概率是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知抛物线的焦点为，与抛物线在第一象限的交点为，且，则 ‎ A．6 B．4 C．2 D．1 ‎ ‎9．十七世纪，法国数学家费马提出猜想：“当整数时，关于、、的方程 ‎ 没有正整数解”，经历三百多年，1995年英国数学家安德鲁怀尔斯给 ‎ 出了证明，使它终成费马大定理，则下面命题正确的是 ‎① 对任意正整数，关于、、的方程都没有正整数解；‎ ‎ ② 当整数时，关于、、的方程至少存在一组正整数解；‎ ‎ ③ 当正整数时，关于、、的方程至少存在一组正整数解；‎ ‎ ④ 若关于、、的方程至少存在一组正整数解，则正整数．‎ ‎ A．①② B．①③ C．②④ D．③④ ‎ ‎10．函数（且）的图象大致是 ‎ ‎ ‎ A B C D ‎11．已知分别为双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为，设四边形的周长为，面积为，且满足，则该双曲线的渐近线方程为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．若关于x的方程有三个不相等的实根，且，则 的值为 ‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．设，则__________．‎ ‎14．某班甲、乙两位同学在高二第一学期的5次物理考试成绩的茎叶图如图所示，则这两位同学中成绩比较稳定的同学的方差是__________．‎ ‎15．在区间上任取一个实数，使得方程表示双曲线的概率为 ‎__________．‎ ‎16．已知M是圆上一动点，A为圆C所在平面内一定点（C为 圆C的圆心），线段MA的垂直平分线与直线MC交于点，则点P的轨迹可能 是_______________．（写出所有正确结论的序号）‎ ‎① 圆； ② 椭圆； ③ 双曲线； ④ 抛物线； ⑤ 一个点； ⑥ 直线．‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 为推进农村经济结构调整，某乡村举办水果观光采摘节，并推出配套乡村游项目．现统计了4月份100名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（1）若将购买金额不低于80元的游客称为“优质客户”，现用分层抽样的方法从样本的“优质客户”中抽取5人，求这5人中购买金额不低于100元的人数；‎ ‎（2）从（1）中的5人中随机抽取2人作为幸运客户免费参加乡村游项目，请列出所有的基本事件，并求2人中至少有1人购买金额不低于100元的概率．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知命题p：复数在复平面上对应的点位于第二象限，‎ 命题q：椭圆的离心率．‎ ‎（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若命题为真命题，求实数m的取值范围．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 在统计学中，偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计时，我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差．某高二班主任为了了解学生的偏科情况，对学生数学偏差x（单位：分）与历史偏差y（单位：分）之间的关系进行学科偏差分析，决定从全班52位同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析，得到他们的两科成绩偏差数据如下：‎ 学生序号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 数学偏差x ‎20‎ ‎15‎ ‎13‎ ‎3‎ ‎2‎ 历史偏差y ‎6.5‎ ‎3.5‎ ‎3.5‎ ‎1.5‎ ‎0.5‎ ‎（1）已知x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；‎ ‎（2）若这次考试该班数学平均分为118分，历史平均分为90.5，试预测数学成绩 ‎ 126分的同学的历史成绩．‎ 附：参考公式与参考数据：‎ ‎，，．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，ABCD为矩形，，，平面平面．‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若M为PC的中点，直线PD与平面PAB所成的角为，求二面角的正弦值．‎ ‎[来源:学|科|网]‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左、右焦 点，为椭圆上顶点，的面积为．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆C交于不同两点，已知， ，求实数m的取值范围．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知函数，．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）设图象在点处的切线与的图象相切，求a的值；‎ ‎（3）若函数存在两个极值点，且，求 ‎ 的最大值．‎ 张家界市2019年普通高中二年级第一学期期末联考 数学参考答案 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C A B A C D A D D B B B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13． 14． 15． 16．①②③⑤‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 解：（1）如图易得，消费金额在与的人数比为，‎ ‎ ………………………2分 ‎∴ 这5人中消费金额不低于100元的人数为2； ………………………4分 ‎ （2）由（1）得，抽取的5人中购买金额低于100元的有3人，记为，C ‎ 购买金额不低于100元的有2人，记为，‎ ‎ 所有基本事件如下：‎ ‎，，，，，，，，，，共有10种， …………………………………………………………8分 其中满足题意的有7种，所以． ……………………………………10分 ‎18．（本小题满分12分）‎ 解：（1）p：，； ………………………………………………4分 ‎ （2）q：，，， 则，‎ 由题意，，解得，即m的取值范围为 ………8分 ‎∴ ：或， ……………………………………………………9分 由为真命题，故为真命题且为真命题， …………………10分 ‎∴ 或，故m的取值范围为． ……12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ 解：（1）由题意，，‎ ‎， ……………3分 ‎， ……………………………………………………6分 ‎，‎ ‎∴ 线性回归方程为； ……………………………………………8分 ‎ （2）由题意，设该同学的历史成绩为，则历史偏差为，‎ ‎ 又该同学的数学偏差为，‎ ‎ 由（1）得，解得，‎ ‎∴ 预测这位同学的历史成绩为93分． ……………………………………12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ 证明：（1）∵ 平面平面，平面平面 矩形ABCD中， ∴ 平面 ………………………2分 ‎∵ 平面 ∴ ……………………………………3分 又∵ ， ∴ 平面 …………………4分 ‎∵ 平面 ∴ 平面平面； ……………………5分 解： （2）由（1）知平面，PA为PD在平面PAB内的射影 ‎∴ 即为直线PD与平面PAB所成的角，‎ 由题意，， ………………………………………6分 取AB中点，连结，则，‎ 以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，，，‎ 则，， …………8分 设平面的一个法向量为，‎ 则即， ‎ 令，则， ∴ …9分 同理易得：平面的一个法向量为 由， ……11分 ‎∴ 二面角的正弦值为．…………12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ 解：（1）由题意，， ……………………………………2分 又，，解得：，， …………………………4分 ‎∴ 椭圆C的方程为； ……………………………………………5分 ‎ （2）由，消去y整理得：，‎ 设，则， ……………………………7分[]‎ 由， …………………8分 又设MN中点D的坐标为，‎ ‎∴ ，‎ 即 …………………………………………………………9分]‎ ‎∵ ，∴ ，即， ∴ …10分 ‎∴ ，解得 ‎∴ m的取值范围．…………………………………………………12分 ‎22．（本小题满分12分）‎ 解：（1）的定义域为，， ………………………1分 由，有，由，有 ………………………2分 ‎∴ 的单调递减区间为，单调递增区间为； …………3分 ‎ （2）由（1）及题意，易得图象在点处的切线斜率为，‎ 则该切线方程为， …………………………………………………4分 联立，消去y整理得：，‎ 由； ………………………………………6分 ‎ （3）∵ ，，，‎ 设，‎ 由（1）知函数的两个极值点满足，‎ 则，， …………………………………………………7分 不妨设，则在上是减函数， ，‎ ‎∴ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 令，则，又，即，‎ 解得 ∴ ∴ ‎ 设，则 ‎∴在上为增函数 ‎∴ ，即 ‎∴ 的最大值为． …………………………………12分 ‎（注：如有其它解法请参照本标准酌情给分．）‎