备战2014高考数学 高频考点归类分析（真题为例）：多面体及球体的概念、性质、计算

备战2014高考数学 高频考点归类分析（真题为例）：多面体及球体的概念、性质、计算

多面体及球体的概念、性质、计算 典型例题： ‎ 例1. （2012年全国课标卷理5分）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且；则此棱锥的体积为【 】‎ ‎ [来源:学科网]‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】三棱锥的性质。‎ ‎【解析】∵的外接圆的半径，∴点到面的距离。‎ ‎ 又∵为球的直径，∴点到面的距离为。‎ ‎ ∴ 此棱锥的体积为。故选。‎ 例2. （2012年全国课标卷文5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为 【 】‎ ‎（A）π （B）4π （C）4π （D）6π ‎【答案】B。‎ ‎【考点】点到平面的距离，勾股定理，球的体积公式。‎ ‎【解析】由勾股定理可得球的半径为，从而根据球的体积公式可求得该球的体积为：‎ ‎。故选B。‎ 例3. （2012年江西省理5分）如下图，已知正四棱锥所有棱长都为1，点是侧棱上一动点，过点垂直于的截面将正四棱锥分成上、下两部分，记截面下面部分的体积为则函数的图像大致为【 】‎ ‎【答案】A。[来源:学科网ZXXK]‎ ‎【考点】棱锥的体积公式，线面垂直，函数的思想。‎ ‎【解析】对于函数图象的识别问题，若函数的图象对应的解析式不好求时，作为选择题，可采用定性排它法：‎ 观察图形可知，当时，随着的增大， 单调递减，且递减的速度越来越快，不是的线性函数，可排除C，D。当时，随着的增大， 单调递减，且递减的速度越来越慢，可排除B。只有A图象符合。故选A。‎ 如求解具体的解析式，方法繁琐，而且计算复杂，很容易出现某一步的计算错误而造成前功尽弃，并且作为选择题也没有太多的时间去解答。我们也解答如下：‎ 连接AC，BD，二者交于点O，连接SO，过点E作底面的垂线EH。‎ ‎ 当E为SC中点时，∵SB＝SD＝BC＝CD，∴SE⊥BE，SE⊥DE。‎ ‎∴SE⊥面BDE。‎ ‎∴当时，截面为三角形EBD，截面下面部分锥体的底为BCD。‎ 又∵SA＝SC＝1，AC＝，SO＝。此时。‎ ‎∴。‎ 当时，截面与AD和AB相交，分别交于点F、D，设FG与AC相交于点I，则易得。‎ 由EH∥SO，得 ‎，即。‎ 由EI∥SA，得，即。易知是等腰直角三角形，即。∴。‎ ‎∴。‎ 当时，截面与DC和BC相交，分别交于点M、N，设MN与AC相交于点J，则易得。‎ 由EH∥SO，得[来源:学#科#网]‎ ‎，即。‎ 由EJ∥SA，得，即。易知是等腰直角三角形，即。∴。‎ ‎∴。‎ 综上所述，。‎ 结合微积分知识，可判定A正确。‎ 例4. （2012年湖北省理5分）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式。人们还用过一些类似的近似公式。根据=3.14159…..判断，下列近似公式中最精确的一个是【 】‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】球的体积公式以及估算。‎ ‎【解析】由球的体积公式得，由此得。对选项逐一验证：‎ ‎ 对于A. 有，即；‎ 对于B. 有，即；‎ 对于C. 有，即；‎ 对于D. 有，即；‎ ‎∴中的数值最接近。故选D。‎ 例5. （2012年重庆市理5分）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和，且长为的棱与长为的棱异面，则的取值范围是【 】‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】异面直线的判定，棱锥的结构特征，勾股定理和余弦定理的应用。‎ ‎【分析】如图所示，设四面体的棱长为，取中点P，连接，所以，在中，由勾股定理得=。‎ ‎∴在中，‎ ‎。‎ ‎∵，∴。∴‎ ‎∴。故选A。‎ 例6. （2012年上海市理4分）若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 ‎ ▲ .‎ ‎【答案】。[来源:Zxxk.Com]‎ ‎【考点】空间几何体的体积公式和侧面展开图。‎ ‎【解析】根据该圆锥的底面圆的半径为，母线长为，根据条件得到，解得母线长，所以该圆锥的体积为：。‎ 例7. （2012年上海市文4分）一个高为2的圆柱，底面周长为，该圆柱的表面积为 ▲ ‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】圆柱的表面积。‎ ‎【解析】根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为，所以该圆柱的表面积为：‎ ‎。‎ 例9. （2012年上海市理4分）如图，与是四面体中互相垂直的棱，‎ ‎，若，‎ 且，其中、为常数，则四面体的体积的最大值是 ▲ .‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】四面体中线面的关系，椭圆的性质。‎ ‎【解析】作于，连接，则 ‎∵，，∴⊥平面。‎ 又∵平面，∴。‎ ‎ 由题设，，∴与都在以为焦距的椭球上，且、都垂直于焦距所在直线。∴=。‎ ‎ 取中点，连接，‎ ‎∵，∴⊥，，。‎ ‎∴。‎ ‎∴四面体的体积。[来源:Z#xx#k.Com]‎ 显然，当在中点，即是短轴端点时，有最大值为。‎ ‎∴。‎ 例10. （2012年山东省理4分）如图，正方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱长为1。E，F分别为线段AA1，B‎1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为 ▲ 。‎ ‎【答案】‎ ‎【考点】三棱锥的面积。‎ ‎【解析】∵三棱锥与三棱锥表示的是同一棱锥，∴。‎ ‎ 又∵的底△DD1E的面积是正方形面积的一半，等于；底△DD1E上的高等于正方形的棱长1， ∴。‎ 例11. （2012年安徽省文5分）若四面体的三组对棱分别相等，即，，‎ ‎，则 ▲ _.(写出所有正确结论编号) ‎ ‎①四面体每组对棱相互垂直 ‎②四面体每个面的面积相等 ‎③从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于而小于 ‎④连接四面体每组对棱中点的线段互垂直平分 ‎⑤从四面体每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长 ‎【答案】②④⑤。‎ ‎【考点】四面体的性质。‎ ‎【解析】①四面体每组对棱不相互垂直，命题错误；‎ ②四面体每个面是全等三角形，面积相等，命题正确；[来源:Z|xx|k.Com]‎ ‎ ③从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和等于，命题错误；‎ ‎ ④连接四面体每组对棱中点构成菱形，线段互垂直平分，命题正确；‎ 例12. （2012年辽宁省文5分）已知点是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2正方形。若,则△OAB的面积为 ▲ .‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】组合体的的位置关系，转化思想的应用。‎ ‎【解析】∵点是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，‎ ‎ ∴点为球O内接长方体的顶点，球心O为长方体对角线的中点。‎ ‎ ∴△OAB的面积是该长方体对角面面积的。‎ ‎ ∵，∴。∴。‎ 例13. （2012年江苏省5分）如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为 ▲ cm3．‎ ‎【答案】6。‎ ‎【考点】正方形的性质，棱锥的体积。‎ ‎【解析】∵长方体底面是正方形，∴△中 cm，边上的高是cm（它也是中上的高）。‎ ‎ ∴四棱锥的体积为。‎