2019年高考数学（理）原创终极押题卷（新课标Ⅱ卷）（解析版）

2019年高考数学（理）原创终极押题卷（新课标Ⅱ卷）（解析版）

‎ ‎ 秘密★启用前 ‎2019年全国普通高等学校招生考试终极押题卷（全国新课标Ⅱ）‎ 理科数学 ‎（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）‎ 注意事项： ‎ ‎1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。‎ ‎3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知集合，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，，则，故选B. ‎ ‎2．已知为虚数单位,复数,则的实部与虚部之差为(　　)‎ A． 1 B．0‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】：‎ 复数，∴‎ ‎【点睛】：该小题几乎考查了复数部分的所有概念,是一道优秀试题。‎ ‎3．下图为国家统计局发布的2018年上半年全国居民消费价格指数（CPI）数据折线图，（注：同比是今年第n个月与去年第n个月之比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期之比）‎ 下列说法错误的是（ ）‎ A. 2018年6月CPI环比下降0.1%，同比上涨1.9%‎ B. 2018年3月CPI环比下降1.1%，同比上涨2.1%‎ C. 2018年2月CPI环比上涨0.6%，同比上涨1.4%‎ D. 2018年6月CPI同比涨幅比上月略微扩大0.1个百分点 ‎【答案】C ‎【分析】对照表中数据逐项检验即可.‎ ‎【详解】观察表中数据知A,B,D正确，对选项C，2018年2月CPI环比上涨2.9%，同比上涨1.2%，故C错误，故选：C ‎【点睛】本题考查折线图，准确识图读图理解题意是关键，是基础题.‎ ‎4. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵．”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有（ ）‎ A．人 B．人 C．人 D．人 ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得将官、营、阵、先锋、旗头、队长、甲头、士兵依次成等比数列，且首项为8，公比也是8，所以将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有：‎ ‎，故选D．‎ 数学试题 第15页（共16页） 数学试题 第16页（共16页）‎ ‎ ‎ ‎5．根据某校10位高一同学的身高(单位：cm)画出的茎叶图（图1），其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字，设计一个程序框图（图2），用表示第个同学的身高，计算这些同学身高的方差，则程序框图①中要补充的语句是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由 循环退出时，知．∴，‎ 故程序框图①中要补充的语句是．故选B．‎ ‎6．函数的大致图象为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】，排除B，C，‎ 当时，，则时，，，排除A，故选D．‎ ‎7．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意，函数是定义在上的偶函数，则，，有，又由在上单调递增，则有，故选C．‎ ‎8. 如图网格纸的最小正方形边长为1，粗线是某几何体的三视图，这个几何体的体积为（ ）‎ A．32 B．‎ C． D． 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，根据给定的三视图可知，该几何体表示底面是边长为4的正方形，高为4的四棱锥，∴‎ 数学试题 第15页（共16页） 数学试题 第16页（共16页）‎ ‎ ‎ 该四棱锥的体积为，故选B．‎ ‎9. 设点， 分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好是个，则实数的值可以是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵点，分别为椭圆的左、右焦点；‎ 即，，，，，，‎ 设，，，‎ 由可得，‎ 又∵在椭圆上，即，∴，‎ ‎ 要使得成立的点恰好是个，则，解得，‎ ‎∴的值可以是3．故选B．‎ ‎10．若是方程的解，是方程的解，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】：，，设与分别交于,由对称性得,故选A ‎11. 某人5次上班图中所花的时间（单位：分钟）分别为，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则=（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】：这是一道最新数学素养考题的体现，据题意有，按一般同学的常规思路解出，导致运算量大而出错，其实由点到直线的距离公式知：代表直线与圆的交点到直线的距离的倍，所以=,故选D。‎ ‎12. 已知，则的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】：据题意有，而故选A.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．若实数满足,则的最大值为______________．‎ ‎【答案】：2‎ ‎【解析】：作出线性可行域如图，当y=2x过点A（2,2）时，纵截距最小，此时z最大，最大值为 ‎14. 甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知，3人作出如下预测：‎ 甲说：我不是第三名；‎ 数学试题 第15页（共16页） 数学试题 第16页（共16页）‎ ‎ ‎ 乙说：我是第三名；‎ 丙说：我不是第一名；‎ 若甲、乙、丙三位同学的预测有且只有一个正确，由此判断获得第一名的同学是______________．‎ ‎【答案】：乙 ‎【解析】：甲、乙、丙的排名及预测对错如下表：‎ 甲 对、错 乙 对、错 丙 对、错 ‎1‎ ‎√‎ ‎2‎ ‎×‎ ‎3‎ ‎√‎ ‎1‎ ‎√‎ ‎3‎ ‎√‎ ‎2‎ ‎√‎ ‎2‎ ‎√‎ ‎1‎ ‎×‎ ‎3‎ ‎√‎ ‎2‎ ‎√‎ ‎3‎ ‎√‎ ‎1‎ ‎×‎ ‎3‎ ‎×‎ ‎1‎ ‎×‎ ‎2‎ ‎√‎ ‎3‎ ‎×‎ ‎2‎ ‎×‎ ‎1ZxxkCom ‎×‎ 所以满足条件的甲、乙、丙排名依次为第三名，第一名，第二名，故答案为乙。‎ ‎15. 在矩形中，，，为边上的中点，为线段上的动点，设向量，则的最大值为______________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】以为原点，，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，‎ 则，，，‎ 设，，∴，，，‎ ‎∵，∴，∴，‎ ‎∴，∴，故答案为2．‎ ‎16．某工厂现将一棱长为的四面体毛坯件，切割成一个圆柱体零件，则该圆柱体体积的最大值为______________．‎ ‎【答案】：‎ ‎【解析】：如图：圆柱与正四面体的各面均相切，设与面相切于F点，则E是BC的中点，且A、E、F三点共线，三点共线，三点共线，‎ 而设圆柱的底面半径为r,高为h,,则有,∴圆柱的体积为，令∴当且仅档 三、解答题（共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。）‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 数学试题 第15页（共16页） 数学试题 第16页（共16页）‎ ‎ ‎ 在中，角，，的对边分别为，，，且．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）已知外接圆半径，且，求的周长．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1），，‎ 即，，‎ 又，．……………………………………………………………………………………….6分 ‎（2），，‎ ‎，∴由余弦定理可得，，‎ ‎∴，∵，所以得，∴周长．…………………………………………12分 ‎18．（本小题满分12分）‎ 某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数与烧开一壶水所用时间的一组数据，且作了一定的数据处理(如下表)，得到了散点图(如下图)．‎ 表中，．‎ ‎（1）根据散点图判断，与哪一个更适宜作烧水时间关于开关旋钮旋转的弧度数的回归方程类型?(不必说明理由)‎ ‎（2）根据判断结果和表中数据，建立关于的回归方程；‎ ‎（3）若旋转的弧度数与单位时间内煤气输出量成正比，那么为多少时，烧开一壶水最省煤气？‎ 附：对于一组数据，，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．‎ ‎【答案】（1）更适宜；（2）；（3）时，煤气用量最小．‎ ‎【解析】（1）更适宜作烧水时间关于开关旋钮旋转的弧度数的回归方程类型．…………………4分 ‎（2）由公式可得：，‎ ‎，‎ ‎∴所求回归方程为．………………………………………………8分 ‎（3）设，则煤气用量，当且仅当时取“”，即时，煤气用量最小．………………………………………………12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，，，，且，．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为？如果存在，求 数学试题 第15页（共16页） 数学试题 第16页（共16页）‎ ‎ ‎ 的值；如果不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1）∵在底面中，，，且，‎ ‎∴，，∴，又∵，，平面，平面，∴平面，又∵平面，∴，∵，，∴，‎ 又∵，，平面，平面，∴平面．………….6分 ‎（2）方法一：在线段上取点，使，则，又由（1）得平面，∴平面，又∵平面，∴，作于，又∵，平面，平面，∴平面，又∵平面，∴，又∵，∴是二面角的一个平面角，设，则，，这样，二面角的大小为，‎ 即，即，∴满足要求的点存在，且．………………………………………………12分 方法二：取的中点，则、、三条直线两两垂直 ‎∴可以分别以直线、、为、、轴建立空间直角坐标系，‎ 且由（1）知是平面的一个法向量，‎ 设，则，，‎ ‎∴，，‎ 设是平面的一个法向量，‎ 则，∴，‎ 令，则，它背向二面角，‎ 又∵平面的法向量，它指向二面角，‎ 这样，二面角的大小为，‎ 即，‎ 即，‎ ‎∴满足要求的点存在，且．……………………………………………….12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知的直角顶点在轴上，点，为斜边的中点，且平行于轴．‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）设点的轨迹为曲线，直线与的另一个交点为．以为直径的圆交轴于、，记此圆的圆心为，，求的最大值．‎ 数学试题 第15页（共16页） 数学试题 第16页（共16页）‎ ‎ ‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）设点的坐标为，‎ 则的中点的坐标为，点的坐标为．，，由，得，即，经检验，当点运动至原点时，与重合，不合题意舍去．‎ ‎∴轨迹的方程为．………………………………………………4分 ‎（2）依题意，可知直线不与轴重合，设直线的方程为，‎ 点、的坐标分别为、，圆心的坐标为．‎ 由，可得，∴，．……………………………………………….6分 ‎∴，∴．‎ ‎∴圆的半径．………………………………………………8分 过圆心作于点，则．‎ 在中，，………………………………………………10分 当，即垂直于轴时，取得最小值为，取得最大值为，‎ ‎∴的最大值为．………………………………………………12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数（，是自然对数的底数）．‎ ‎（1）设（其中是的导数），求的极小值；‎ ‎（2）若对，都有成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1），．‎ 令，∴，‎ ‎∴在上为增函数，．‎ ‎∵当时，；当时，，‎ ‎∴的单调递减区间为，单调递增区间为，∴．………………….6分 ‎（2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，∴．‎ 当时，，在上单调递增，，满足条件；………………8分 当时，．‎ 又∵，∴，使得，‎ 此时，，；，，………………………………………………10分 ‎∴在上单调递减，，都有，不符合题意．‎ 综上所述，实数的取值范围为．……………………………………………….12分 ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）写出曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线交于，两点，且的长度为，求直线的普通方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）和．‎ ‎【解析】（1）将代入曲线极坐标方程得：‎ 曲线的直角坐标方程为，即．………………………………………………5分 数学试题 第15页（共16页） 数学试题 第16页（共16页）‎ ‎ ‎ ‎（2）将直线的参数方程代入曲线方程：，‎ 整理得，‎ 设点，对应的参数为，，解得，，‎ 则，‎ ‎∵，∴和，∴直线的普通方程为和．…………………………………….10分 ‎[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ ‎23. 已知函数，．‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）当时，，∴，‎ 即求不同区间对应解集，∴的解集为．……………………………………………….5分 ‎（2）由题意，对任意的恒成立，‎ 即对任意的恒成立，‎ 令，‎ ‎∴函数的图象应该恒在的下方，数形结合可得．…………………………………………10分 数学试题 第15页（共16页） 数学试题 第16页（共16页）‎