2018-2019学年安徽省淮北市第一中学高二下学期第二次月考数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年安徽省淮北市第一中学高二下学期第二次月考数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年安徽省淮北市第一中学高二下学期第二次月考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．设集合A={x|y=}，集合B={x|y=lg（8-x）}，则A∩B=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，，∴．‎ 故选C．‎ ‎2．命题p：若向量＜0，则与的夹角为钝角；命题q：若cosα•cosβ=1，则sin（α+β）=0．下列命题为真命题的是（　　）‎ A．p B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：命题p：若向量，则与的夹角为钝角或平角，即可判断出真假；命题q：若cosα•cosβ=1，则cosα=cosβ=±1，因此α=2k1π，β=2k2π，或α=（2k1﹣1）π，β=（2k2﹣1）π，k1，k2∈N．可得sin（α+β）=0．即可判断出真假．‎ 详解：命题p：若向量，则与的夹角为钝角或平角，因此为假命题；‎ 命题q：若cosα•cosβ=1，则cosα=cosβ=±1，因此α=2k1π，β=2k2π，‎ 或α=（2k1﹣1）π，β=（2k2﹣1）π，k1，k2∈N．则sin（α+β）=0．为真命题．‎ 下列命题为真命题的是p∨q，其余为假命题．‎ 故答案为：D 点睛：（1）本题主要考查了向量夹角与数量积的关系、三角函数求值、简易逻辑的判定方法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力与计算能力.(2) 若向量，则非零向量与非零向量的夹角为钝角或平角，因为当两个向量的夹角为平角时，，不能说非零向量与非零向量的夹角为钝角.‎ ‎3．下列推理是归纳推理的是 A．已知为定点，动点满足，得动点的轨迹为椭圆 B．由求出，猜想出数列的前项和的表达式 C．由圆的面积为，猜想出椭圆的面积为 D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇 ‎【答案】B ‎【解析】归纳推理则考查的对象是同类的，由个别或特殊的知识概括出一般性的结论，其思维过程是由个别到一般。 由S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式，是由特殊概括出一般。D中不是同类。‎ ‎4．执行下面的程序框图，如果输入的，则输出的 ‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】B ‎【解析】阅读流程图，初始化数值. ‎ 循环结果执行如下：‎ 第一次：；‎ 第二次：；‎ 第三次：；‎ 第四次：；‎ 第五次：；‎ 第六次：；‎ 结束循环，输出.故选B.‎ 点睛:算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.求解时，先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，如：是求和还是求项.‎ ‎5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A．2 B．1 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由已知中的三视图，我们可以判断出该几何体的几何特征，该几何体是一个四棱锥其底面是一个对角线为2的正方形，面积S=,高为1,则体积V=，故选C.‎ ‎【考点】本题考查的知识点是由三视图求体积.‎ 点评：根据已知中的三视图判断该物体是一个底面为对角为2的正方形，高为1的四棱锥是解答本题的关键.‎ ‎6．已知m，n，是直线，α，β，γ是平面，给出下列命题：‎ ‎（1）若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β．‎ ‎（2）若α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m∥n．‎ ‎（3）若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β ‎（4）若α∩β=m，n∥m且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β 其中正确的命题是（　　）‎ A．（1）（2） B．（2）（4） C．（2）（3） D．（4）‎ ‎【答案】B ‎【解析】命题（1）通过正方体中的线面能推翻；命题（2）可根据面面平行的性质定理得到其正确；命题（3）‎ ‎【详解】‎ ‎（1）如图正方体中，平面A1ADD1⊥平面ABCD，交线为AD，AB1⊥AD，但AB1与两个平面均不垂直，此命题错误；‎ ‎（2）由面面平行的性质定理，两个平面平行，第三个平面和这两个平面相交，则交线平行，可知此命题正确；‎ 对于（3）当直线m和n平行时，尽管都平行于平面，但是平面可以是相交的情况；则根据故命题不正确；‎ 对于（4）根据线面平行的判定得到线线平行则线面平行，m是两个平面的交线，故n和两个平面都平行.‎ 故答案为：B.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了立体几何中面面平行的性质定理，以及线面平行的判定定理等，这类题可以放到特殊图形中找反例，可以根据课本定理判正误.‎ ‎7．已知点为抛物线上的动点,点在轴上的射影是,点坐标为,则的最小值是( )‎ A． B．4 C． D．5‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据抛物线定义，将所求最小值转化为的最小值；再利用三角形三边关系得到三点共线时取最小值，求解的长度得到最值.‎ ‎【详解】‎ 由抛物线方程可得焦点坐标为 由抛物线定义可知：，即 根据三角形三边关系可知：‎ 当且仅当三点共线时取等号 即 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线中的距离之和的最值问题，解决此类问题的关键是建立合适的不等关系，常用方式是利用三角形三边关系建立不等关系.‎ ‎8．设数列满足，且对任意整数，总有成立，则数列 的前2018项的和为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由得，根据分别求出数列的前几项，确定数列的周期，进而可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 因为，所以，，，，即数列是以4为周期的数列，‎ 所以 ‎.‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查数列的求和问题，根据题中条件，先确定数列为周期数列即可，属于常考题型.‎ ‎9．的三个内角，，的对边分别为，，，若， ，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据判断出三角形为锐角三角形，再由及正弦定理得；根据三角形内角定理及，且三角形为锐角三角形，求得角A的取值范围，进而得到的取值范围。‎ ‎【详解】‎ 由cosAcosBcosC>0，可知，三角形是锐角三角形，‎ 由题意有sinB=sin2A=2sinAcosA，‎ 结合正弦定理有b=2acosA， ，‎ ‎∵A+B+C=180°，B=2A，‎ ‎∴3A+C=180°， ，‎ ‎∵2A<90°，∴， ，‎ 即的取值范围是．‎ 所以选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的定义与性质，正余弦定理在解三角形中的简单应用，属于基础题。‎ ‎10．已知 ，若有四个不同的实根，且，则的取值范围( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：因为题设有个变量，故利用分段函数的图像可得，，所以就可化成关于的函数，最后根据有四个不同的实数根得到的取值范围即得的取值范围．‎ 详解：由题设，有在上有两个不同的解，在上有两个不同的解．‎ 当时， ，故，‎ 因，故，‎ 所以即且．‎ 当时， ， 且．‎ 所以，故选A ．‎ 点睛：对于多变量函数的范围问题，降低变元的个数是首选方法，故需要利用函数图像找到各变量之间的关系．注意根据零点的个数判断的取值范围．‎ ‎11．倾斜角为30°的直线l经过双曲线的左焦点F1，交双曲线于A、B两点，线段AB的垂直平分线过右焦点F2，则此双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由垂直平分线性质定理可得，运用解直角三角形知识和双曲线的定义，求得，结合勾股定理，可得a，c的关系，进而得到a，b的关系，即可得到所求双曲线的渐近线方程。‎ ‎【详解】‎ 解：如图为线段AB的垂直平分线，‎ 可得，‎ 且，‎ 可得，，‎ 由双曲线的定义可得，，‎ 即有，‎ 即有，，‎ ‎，‎ 由，可得，‎ 可得，即，‎ ‎，则渐近线方程为．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的方程和性质，渐近线方程的求法，考查垂直平分线的性质和解直角三角形，注意运用双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题。‎ ‎12．设函数（，e为自然对数的底数）.定义在R上的函数满足，且当时，.若存在，且为函数的一个零点，则实数a的取值范围为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先构造函数，由题意判断出函数的奇偶性，再对函数求导，判断其单调性，进而可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 构造函数，‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以为奇函数，‎ 当时，，所以在上单调递减，‎ 所以在R上单调递减.‎ 因为存在，‎ 所以，‎ 所以，‎ 化简得，‎ 所以，即 令，‎ 因为为函数的一个零点，‎ 所以在时有一个零点 因为当时，，‎ 所以函数在时单调递减，‎ 由选项知，，‎ 又因为，‎ 所以要使在时有一个零点，‎ 只需使，解得，‎ 所以a的取值范围为，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大.‎ 二、填空题 ‎13．已知曲线在点处的切线与曲线相切,则a= ．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】试题分析：函数在处的导数为，所以切线方程为；曲线的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.‎ ‎【考点】导函数的运用.‎ ‎【方法点睛】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数．‎ ‎14．如图，已知三棱锥中，AD，BD，CD两两垂直，，，E，F分别为AC，BC的中点，则点C到平面DEF的距离为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用体积桥的方式，求解出三棱锥的体积；根据题目中的长度和垂直关系，求解出，然后再求解出所求的距离.‎ ‎【详解】‎ 原题如图所示：‎ 两两互相垂直 平面 又为中点 到底面距离为 ‎，， ‎ 为中点 ‎ ‎，， ‎ 在中，根据余弦定理可知：‎ 设到平面距离为 则 即 ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间几何体中的距离问题，对于三棱锥中的点到面的距离，通常采用体积桥的方式，将所求距离变为几何体的高，从而通过体积求解出结果.‎ ‎15．如图，已知二面角的大小为，其棱上有， 两点，直线， 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知， ， ，则线段的长为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎∵二面角α−l−β的大小为60∘,其棱上有A,B两点,‎ 直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，‎ 且都垂直于AB，AB=2，AC=3，BD=4，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎∴CD的长为.‎ ‎16．对于三次函数，定义：设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；且拐点就是对称中心”.设函数，请你根据这一发现，计算______．‎ ‎【答案】2012‎ ‎【解析】f′（x）=3x2﹣3x+3，‎ 由f′′（x）=6x﹣3=0得x0=，‎ f（x0）=1，‎ 则（，1）为f（x）的对称中心，由于 ，‎ 则f（）+f（）=2，‎ 则f（）+f（）+f（）+…+f（）=2012．‎ 故答案为：2012.‎ 点睛：本题考查抽象函数的对称性的综合应用，在解决抽象函数的题目时可以先观察函数是否具有奇偶性，具有奇偶性的函数在对称区间上的单调性具有特殊性；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集.‎ 三、解答题 ‎17．已知函数，当时，的最小值为. ‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）在中，已知，延长至，使，且，求的面积.‎ ‎【答案】（1）;（2）.‎ ‎【解析】试题分析：利用两角和公式、降幂公式及辅助角公式把函数解析式化为标准形式，根据的范围求出的范围，根据的最小值为，求出的值；‎ 利用，求出角，在根据正弦定理、余弦定理及面积公式解题.‎ 试题解析：（Ⅰ），‎ 当时，，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 由（Ⅰ）知，又,∴，‎ 又∴，‎ 故∴‎ 在中，由余弦定理可得：‎ 解得:∴‎ 在中，又 ‎∴，‎ ‎18．已知函数若函数在处有极值．‎ 求的单调递减区间；求函数在上的最大值和最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ 先求出导函数，根据导数的几何意义得到关于的方程组，求得后再根据导函数的符号求出单调递减区间．‎ 由求出函数的单调区间，可以数判断函数在上的单调性，求出函数在上的极值和端点值，通过比较可得的最大值和最小值．‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵，‎ ‎∴，‎ 依题意有即，解得 ‎∴，‎ 由，得，‎ ‎∴函数的单调递减区间 由知 ‎∴，‎ 令，解得．‎ 当变化时，的变化情况如下表：‎ 由上表知，函数在上单调递减，在上单调递增．‎ 故可得 又．‎ ‎∴‎ 综上可得函数在上的最大值和最小值分别为和．‎ ‎19．已知数列与满足：，且为正项等比数列，，.‎ ‎（Ⅰ）求数列与的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足，为数列的前项和，证明：.‎ ‎【答案】（1）；（2）见证明 ‎【解析】（1）通过作差的方式得到，从而求解出公比，进而得到；可利用等比数列求和推导得到；（2）通过裂项相消的方式，得到，通过放缩得到所证结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由 ……①‎ 时， ……②‎ ‎①-②可得： ‎ ‎，，设公比为 ‎ ‎ ‎ ‎（2）证明：由已知：‎ 当时， ‎ 即：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列以及裂项相消法求和，解题关键在于能够通过通项公式的形式确定可以进行裂项，从而可以前后相消，得到最终关系式.‎ ‎20．在多面体 中， ，四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，.‎ ‎(1)求证:平面平面；‎ ‎(2)求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）先证明面，再证明平面平面.(2)直接利用几何法求二面角的余弦值.‎ 详解：(1)证明：面，故，‎ 又，所以①，‎ 在直角梯形中， ，，可得.‎ 由知②，‎ 由①②知: 面，进而面面.‎ ‎(2)设点到面的距离为，点到直线的距离为，‎ 记二面角的平面角为，‎ 由，即 得.‎ 在△ACE中，，CE=,‎ 解之得，‎ 则，进而，‎ 即二面角的余弦值为.‎ 点睛：（1）本题主要考查空间位置关系的证明和二面角的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力转化能力.(2) 二面角常见的求法有两种，方法一：（几何法）找作（定义法、三垂线法、垂面法）证（定义）指求（解三角形）.方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量；再代入公式（其中分别是两个平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“”号）‎ ‎21．已知椭圆的左右焦点分别为，过 任作一条与坐标轴都不垂直的直线，与交于两点，且的周长为．当直线的斜率为时，与轴垂直 ‎（1）求椭圆的方程 ‎（2）若是该椭圆上位于第一象限的一点，过作圆的切线，切点为，求的值；‎ ‎（3）设为定点，直线过点与轴交于点，且与椭圆交于两点，设，，求的值 ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ ‎【解析】（1）根据椭圆定义可求得；再利用斜率得到，利用的关系求得结果；（2）假设，利用两点间距离公式表示出；再利用直角三角形求解出切线长，作差得到结果；（3）假设直线为和两点坐标，利用向量关系表示出和，将直线代入椭圆方程，利用韦达定理表示出，整理得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）的周长为 根据椭圆定义可知： ‎ 当斜率为时：，，‎ 可得： ‎ 椭圆的方程 ‎（2）设，则 ‎ ‎ 连接，由相切条件知：‎ ‎（3）由题意可知直线的斜率存在且不为，设直线的方程为 令，可得，则 设，‎ 由得，则 即 由，可得，即 将，代入椭圆中，可得：‎ 由韦达定理得，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆标准方程求解、距离问题、直线与椭圆综合应用.解决直线与椭圆综合类问题，通常采用的方式是直线与椭圆方程联立，整理得到一元二次方程，表示出韦达定理的形式，再利用韦达定理表示出距离、变量、等量关系等，再通过整理化简得到所需结果.‎ ‎22．（2018安徽阜阳一中二模）已知函数 为常数， .‎ ‎（1）当 在 处取得极值时，若关于x的方程 在 上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围.‎ ‎（2）若对任意的 ，总存在 ，使不等式 ‎ 成立，求实数 的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ;(2).‎ ‎【解析】试题分析：（1）对函数，令，可得的值，利用导数研究的单调性，然后求得的最值，即可得到的取值范围；（2）利用导数求出在上的最大值，则问题等价于对对任意，不等式成立，然后构造新函数，再对求导，然后讨论，得出的单调性，即可求出的取值范围.‎ 试题解析：（1），即，又所以，此时，所以上递减，上递增，‎ 又，所以 ‎（2）‎ 因为，所以，即 所以在上单调递增，所以 问题等价于对任意，不等式成立 设，‎ 则 当时，，所以在区间上单调递减，此时 所以不可能使恒成立，故必有，因为 若，可知在区间上单调递增，在此区间上有满足要求 若，可知在区间上递减，在此区间上有，与恒成立相矛盾，所以实数的取值范围是.‎