数学（理）卷·2018届天津市五校（宝坻一中、静海一中等）高二上学期期末考试（2017-01）

数学（理）卷·2018届天津市五校（宝坻一中、静海一中等）高二上学期期末考试（2017-01）

‎2016-2017学年度第一学期期末五校联考 高二数学（理）试卷 命题人：静海一中　翟建柱　　芦台一中 张振山 第I卷(选择题 共40分)‎ 一、选择题:每小题5分,共40分,把答案涂在答题卡上．‎ ‎1．命题“”的否定是 A． B．‎ C． D．‎ ‎2．如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是 A．直线AA1 　　　　　　　　　　B．直线A1B1 ‎ C．直线A1D1 　　　　D．直线B1C1‎ ‎3．如图，在三棱柱中，为的中点，若，，，则可表示为 A． B．‎ C． D．‎ ‎4．直线与的位置关系 ‎ A．相离或相切 B．相切 C．相交 D．相切或相交 ‎5．方程表示的曲线是 A．一个圆和一条直线 B．一个圆和一条射线 C．一个圆 D．一条直线 ‎6．设是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：‎ ‎（1）如果，那么．‎ ‎（2）如果，那么．‎ ‎（3）如果，那么．‎ 其中正确命题的个数 A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎7．条件；条件直线与圆相切，则是的 A．充分必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8．已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，是抛物线的一动点，到双曲线的上焦点的距离与到直线的距离之和的最小值为，则该双曲线的方程为 ‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共110分)‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9．双曲线的实半轴长与虚轴长之比为 ▲ ．‎ ‎10．由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为 ▲ ．‎ ‎11．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是 ▲ ．‎ ‎12．如图，椭圆E的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率为的直线交椭圆E于P，Q两点，若△PF1F2为直角三角形，则椭圆E的离心率为 ▲ ．‎ ‎13．若关于的方程只有一个解， 则实数的取值范围是 ▲ ．‎ ‎14．在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦的中点为，且满足，当取得最大值时，直线的方程是 ▲ ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． ‎ ‎15． (本小题满分13分) ‎ 已知圆锥曲线．命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：圆锥曲线的离心率，若命题为真命题，求实数的取值范围．‎ ‎16．(本小题满分13分)‎ 如图，四棱锥的底面为正方形，底面，分别是的中点，．‎ ‎（Ⅰ）求证平面；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成的角；‎ ‎（Ⅲ）求四棱锥的外接球的体积．‎ ‎17． (本小题满分13分)‎ 已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为． ‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过两点，求椭圆的方程．‎ ‎18． (本小题满分13分)‎ 已知曲线在的上方，且曲线上的任意一点到点的距离比到直线的距离都小1．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）设，过点的直线与曲线相交于两点．‎ ‎①若△是等边三角形，求实数的值；　　‎ ‎②若，求实数的取值范围．‎ ‎19．(本小题满分14分)‎ 如图所示的多面体中， 是菱形，是矩形，平面，，，．‎ ‎（Ⅰ）异面直线与所成的角余弦值；‎ ‎（Ⅱ）求证平面平面；‎ ‎（Ⅲ）在线段取一点，当二面角的大小为时，求．‎ ‎20．(本小题满分14分)‎ 已知椭圆（）的左、右焦点分别为、，短轴两个端点为，，且四边形是边长为2的正方形． ‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程； ‎ ‎（Ⅱ）若，分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连结，交椭圆于点．证明：‎ 为定值；‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问轴上是否存在异于点的定点Q，使得以为直径的圆恒过直线的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． ‎ ‎2016-2017学年度第一学期期末五校联考 高二数学（理）答题纸 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9． 10． 11． ‎ ‎12． 13． 14． ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分． ‎ ‎15． (本小题满分13分) ‎ ‎16．(本小题满分13分)‎ ‎17．(本小题满分13分)‎ ‎18． (本小题满分13分)‎ ‎2016-2017学年度第一学期期末五校联考高二数学（理）试卷 一、选择题 (每小题5分,共40分．把答案涂在答题卡上．)‎ ‎1．A 2．D 3．A 4．C 5．D 6．C 7．B 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9． ; 10．; 11．; 12．; ‎ ‎13．或; 14．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． ‎ ‎15．解：因为表示曲线，所以．‎ 命题是真命题，则；……………………………………2分 命题是真命题时，因为，所以，解得．…………………………………………5分 因为命题为真命题，所以，均为真命题，……………………7分 当为真命题时，或．…………………………………………10分 于是命题为真命题时，‎ 满足解得．……………13分 ‎16.（Ⅰ）如图,连结，则是的中点，又是的中点，∴．又 ∵平面，面 ‎∴平面．……4分 ‎（Ⅱ）取的中点，连接，．‎ 在正方形中，是的中点，有．‎ ‎∵ 平面，平面，∴ ，‎ ‎∵，∴平面，‎ ‎∴是直线在平面的射影，∴是直线与平面所成的角．‎ 在直角三角形中，，所以=1．‎ ‎∴直线与平面所成的角为．…………………………9分 ‎（Ⅲ）设四棱锥的外接球半径为，，则，即．‎ 所以外接球的体积为．…………13分 ‎17．（Ⅰ）过点，的直线方程为，‎ 则原点到直线的距离，‎ 由，得，解得离心率．………………5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆的方程为． (1)‎ 依题意，圆心是线段的中点，且．‎ 易知，不与轴垂直．‎ 设其直线方程为，代入(1)得 ‎．…………………………7分 设则……8分 由，得解得．‎ 从而．‎ 于是．……10分 由，得，解得．‎ 故椭圆的方程为．……………………………………………13分 ‎18． （Ⅰ）设点曲线上的任意一点，由题设有，于是，整理得．…………………………………2分 由于曲线在的上方，所以．‎ 所以曲线的方程．………………………………………3分 ‎（Ⅱ）设． ‎ ‎①由题意，即，‎ 于是，‎ 将代入，得，由，得．‎ 从而，‎ 所以．‎ 因为△是等边三角形，所以．‎ 将代入，,解得．此时．…8分 ‎（此题也可结合抛物线性质求解，其它解法酌情给分）‎ ‎②设直线，‎ 联立得，，‎ ‎．‎ ‎，‎ 于是 ‎．‎ 因为，即．‎ 因，从而．‎ 解得．………………………………………………13分 ‎19．（Ⅰ）因为，所以就是异面直线与所成的角，连接，在中，，于是，所以异面直线与所成的角余弦值为．……………4分 ‎（Ⅱ）取的中点．由于面,∥,，又是菱形，是矩形，所以，是全等三角形，所以，就是二面角的平面角 …6分 经计算，，所以，即．‎ 所以平面平面．…………………8分 ‎（Ⅲ）建立如图的直角坐标系，由则，，，，．‎ 平面的法向量．10分 设，则，‎ 设平面的法向量，则得，令，则，得．11分 因为二面角的大小为，‎ 所以，……………………12分 整理得，解得，……………………………13分 所以……………………………………………………14分 ‎20．解：（Ⅰ）如图，由题意得，．，．‎ · 所求的椭圆方程为． …………………………………3分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，（，0），（2，0）． ……………………4分 由题意可设：，（，）． ‎ ‎ ，（2，）………………………………………5分 ‎ 由整理得． ‎ ‎ ，得．……7分 ‎∴，‎ ‎．………………8分 ‎ ∴． …………………9分 ‎（Ⅲ）设，则．‎ 若以为直径的圆恒过，的交点，则，‎ 即……10分 由（Ⅱ）可知，． …………12分 ‎∴．即恒成立．‎ ‎∴．‎ ‎∴存在使得以为直径的圆恒过直线，的交点．… 14分 ‎19．(本小题满分14分)‎ ‎20．(本小题满分14分)‎