数学文卷·2018届江西省临川二中、新余四中高三1月联合考（2018

数学文卷·2018届江西省临川二中、新余四中高三1月联合考（2018

临川二中、新余四中 2018 届高三年级联考 数学试题（文科）‎ 命题人：邱文丁 学校：临川二中 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合 A={x|x2﹣ 2x﹣ 3≤0}，B={x|y=ln（2﹣ x）}，则 A∩ B=（ ）‎ A．（1，3） B．（1，3] C．[﹣ 1，2） D．（﹣ 1，2）‎ ‎2．已知是虚数单位，若互为共轭复数，则 A． B．5+4i C．3+4i D．5－4i ‎3.若，且为第三象限角，则的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎4. 设 p：在（2，+∞）内单调递增，q：，则 p 是 q 的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5.已知数列{an}为等差数列，Sn 为前 n 项和，公差为 d，若﹣ =100，则 d 的值为 ‎（ ）‎ A． B． C．10 D．20‎ ‎6．如图，格纸上小正方形的边长均为 1，粗实线画出的是某几何体的三 视图，则该几何体的体积为 A． B． C． D．‎ ‎7.已知实数 x，y 满足条件，则 z=x+y 的最小值为（ ）‎ A． B．4 C．2 D．3‎ ‎8,.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺， 竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的 一个程序框图，若输入的 a，b 分别为 5，2，则输出的 n=（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎9,.已知点 分别是椭圆 的左，右焦点，过 且垂直于轴的 直线与椭圆交于， 两点，若△ABF2 是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．已知函数和函数在区间上的图象交 于，则的面积是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11.对正整数 n，有抛物线 y2=2（2n﹣ 1）x，过 P（2n，0）任作直线 l 交抛物线于 A ，B n n 两点，设数列{an}中，a1=﹣ 4，且 （其中 n＞1，n∈ N），则数列{an}的前 n 项和 Tn=（ ）‎ A．4n B．﹣ 4n C． 2n（n+1） D．﹣ 2n（n+1）‎ ‎12.已知函数 f(x )＝|2x－m |的图象与函数 y＝g(x )的图象关于 y 轴对称，若函数 y＝f(x )与函 数 y＝g(x )在区间[1，2]上同时单调递增或同时单调递减，则实数 m 的取值范围是 ( )‎ A. ∪ [4，＋∞) B. C.[2，4]‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共 4 小题 ，每小题 5 分,共 20 分.‎ D.[4，＋∞)‎ ‎13．已知向量 ， ，则 与 的夹角的大小为 ．‎ ‎14．在△ABC 中，a=4，b=5，c=6，则= ．‎ ‎15.三棱锥 P﹣ ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上，已知 PA，PB，PC 两两垂直，且 PA=1，‎ PB+PC=4，则当三棱锥的体积最大时，球 O 的表面积为 ．‎ ‎16.已知函数 f（x）的定义域是 R，f（x）= （a 为小于 0 的常数）‎ 设 x1＜x2 且 f′（x1）=f′（x2），若 x2﹣ x1 的最小值大于 5，则 a 的范围是 ．‎ ‎ 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.）‎ ‎17.(本小题满分 12 分)‎ 已知数列中，，且.‎ ‎（1）求的值及数列的通项公式；‎ ‎（2）设，且数列的前 项和为，求．‎ ‎18．(本小题满分 12 分)‎ 我市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿 者．现从符合条件的志愿者中随机抽取 100 名按年龄分组：第 1‎ 组，第 2 组，第 3 组，第 4 组， 第 5 组，得到的频率分布直方图如图所示．‎ ‎（1）分别求第 3，4，5 组的频率．‎ ‎（2）若从第 3，4，5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参加 广场宣传活动，应从第 3，4，5 组各抽取多少名志愿者？‎ ‎（3）在（2）的条件下，我市决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验， 求第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率．‎ ‎19．(本小题满分 12 分)如图，多面体是由三棱柱截去一部分 而成， 是的中点.‎ ‎（1）若平面，‎ 求点到面的距离；‎ ‎（2）若 为 的中点， 在 上，且，‎ 问 为何值时， 直线 平面 ‎20．(本小题满分 12 分)已知椭圆： （）的离心率为 ，点是 椭圆的上顶点，点 在椭圆 上（异于 点）．‎ ‎（1）若椭圆过点 ，求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线： 与椭圆交于、两点，若以为直径的圆过点， 证明：存在， ．‎ ‎21．(本小题满分 12 分)已知函数（ ）.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若存在两条直线、（）都是曲线的切线， 求实数 的取值范围；‎ ‎（3）若 ，求实数的取值范围.‎ ‎(二) 选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分．‎ ‎22．(本小题满分 10 分)选修 4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 中，曲线 ；曲线( 为参数)．以坐 标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求曲线 C1，C2 的极坐标方程；‎ ‎(2)若射线 分别交 于 A，B 两点(B 点不同于坐标原 点 O)，求的 最大值．‎ ‎23．(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲 已知函数． (1)求不等式的解集；‎ ‎(2)若存在 ，使得 ，求实数 a 的取值范围．‎ 参考答案 ‎1--5 CCBBB 6--10 ACCBD 11--12 DB ‎13.π/6 14.1 15.9π 16.（﹣ ∞，﹣ 4）‎ ‎17.【解析】（1）∵ ，且，‎ ‎∴ ，解得，‎ ‎∴ ，∴ ；‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎18．解析:（1）由题设可知,第 3 组的频率为 0．06×5=0．3， 第 4 组的频率为 0．04×5=0．2，‎ 第 5 组的频率为 0．02×5=0．1．。。。。。。。。。。。。。。。。3 分（每对一个记 1 分）‎ ‎（2）因为第 3，4，5 组的人数之比为,‎ 所以利用分层抽样的方法在三个组中总共抽取 6 名志愿者,每组抽取的人数分别为：‎ 第 3 组：；第 4 组：；第 5 组：． 所以应从第 3，4，5 组中分别抽取 3 人，2 人，1 人．。。。。。。。。6 分 ‎（3）设“第 4 组的 2 名志愿者中至少有一名志愿者被抽中”为事件 A。。。。。。7 分 记第 3 组的 3 名志愿者为 A1，A2，A3，第 4 组的 2 名志愿者为 B1，B2，第 5 组的 1 名志愿 者为 C1．则从 6 名志愿者中抽取 2 名志愿者有：‎ ‎（A1,A2）, （A1,A3）,（A1,B1）,（A1,B2）,（A1,C1）,（A2,A3）,（A2,B1）,（A2,B2）,（A2,C1）,‎ ‎（A3,B1）,（A3,B2）,‎ ‎（A3,C1）,（B1,B2）,（B1,C1）,（B2,C1），共有 15 种。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8 分． 其中第 4 组的 2 名志愿者 B1,B2 至少有一名志愿者被抽中的有：‎ ‎（A1,B1）, （A1,B2）, （A2,B1）, （A2,B2）, （A3,B1）, （A3,B2）, （B1,B2）, （B1,C1）,‎ ‎（B2,C1），共有 9 种．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。9 分 由古典概率公式得 P（A）=…………………………………….11 分 所以第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率为．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12 分 ‎19．解：（1）连接 设所求为，易知 ，设 ，‎ 所以，得 另解：证明平面，则即为所求.‎ ‎（2） 时，直线 .证明如下：‎ 取的中点为 的中点为，连接 因为 ，所 以四边形为平行四边形，所以又 是的中点，是的中 点，所以，所以 又平面，所以，‎ 又分别是的中点，所以，又平面， 所以 又，所以平面平面，又 平面，所以 平面，此时 ‎20.（Ⅰ）椭圆的离心率，则 ，将点代入 得，解得 ，所以 ，于是椭圆 的方程为 ；‎ ‎（Ⅱ）由题意的对称性可知：设存在 ，，由 得椭圆方程为，‎ 将直线方程 代入椭圆方程，整理得 ，解得， ，则（或直接用弦 长公式得）．‎ 因为以 为直径的圆过点，所以 ，将 中的 用 代换得 ‎，由 得 ，即 ‎，设（），由 ， 知函数 （ ）存在零点，∴ 存在 ，使得．‎ ‎21.（Ⅰ）（ ）.‎ 当时，，的递减区间为； 当 时，由 得，列表得：‎ 所以，函数 的递减区间为，递增区间为；‎ ‎（Ⅱ）因为存在两条直线、 （）都是曲线的切线，所以 至少有两个不等的正根，令，得 ，记其两个根为 、 （ ），‎ 则，解得 ，而当 时，曲线 在点 、 处的 切线分别为、，设（），由 知，当 时， 即 在区 间上是单调函数，因此，所以、不重 合，即、（）是曲线的两条不同的切线，故；‎ ‎（Ⅲ）当 时，函数 是 内的减函数，因为 ，而 ‎，不符合题意；‎ 当 时，由（Ⅰ）知 的最小值为 .‎ 若即 时， ，所以 符合题意； 若即 时，，所以 符合题意； 若即 时，，而 ，函数 在内递增，所以当 时，，又因为的定义域为，所以，符合题意.‎ 综上，实数的取值范围为 ‎