2019-2020学年贵州省遵义市南白中学高二上学期期中数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年贵州省遵义市南白中学高二上学期期中数学（理）试题（解析版）

‎2019-2020学年贵州省遵义市南白中学高二上学期期中数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】解出集合，再由并集的定义写出即可。‎ ‎【详解】‎ 由，‎ 则．故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的并集，正确求解一元二次不等式，是首要条件。属于基础题 ‎2．已知为等差数列的前项和，，，则（ ）‎ A．2019 B．1010 C．2018 D．1011‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用基本元的思想，将已知条件转化为和的形式，列方程组，解方程组求得，进而求得的值.‎ ‎【详解】‎ 由于数列是等差数列，故，解得，故.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查等差数列通项公式和前项和公式的基本量计算，属于基础题.‎ ‎3．若向量满足，且，则向量的夹角为（ ）‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ ‎【答案】C ‎【解析】将两边同时平方，利用数量积的定义，即可求出夹角。‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ 即，解得，向量的夹角为120°，‎ 故选：C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查已知向量的模求夹角，属于基础题．‎ ‎4．设，，，则（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】通过对数的运算性质对对数的底数变形,化为同底,利用对数函数的单调性可得 ,通过指数函数的性质可得 .‎ ‎【详解】‎ ‎，，，∴，，故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用指数函数和对数函数的性质比较大小,属基础题.‎ ‎5．已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为，则该圆柱的侧面积为()‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由圆柱的轴截面为正方形可知，底面圆直径与圆柱的高相等，根据圆柱的体积公式，可求得底面圆的半径，再由圆柱的侧面积公式即可求解.‎ ‎【详解】‎ 设圆柱的底面半径为．因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为．因为该圆柱的体积为，，解得，所以该圆柱的侧面积为．‎ ‎【点睛】‎ 设圆柱的底面圆半径为r,高为h,则侧面积，体积.‎ ‎6．函数的图象是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先求出函数的定义的域，然后判断函数的奇偶性，最后判断当时，函数值的正负性，通过排除法，选出正确答案.‎ ‎【详解】‎ 函数的定义域为：，‎ 是奇函数，图象关系原点对称，故可排除B;‎ ‎，显然当时，，因此可排除AD，故本题选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数图象的识别，运用函数的定义域、奇偶性、单调性、周期性等性质是常见的解题的方法，排除法是经常用的解决方法.‎ ‎7．已知两直线、和平面，若，，则直线、的关系一定成立的是（ ）‎ A．与是异面直线 B． C．与是相交直线D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】当一条直线垂直于一个平面，则此直线垂直于这个平面内的所有直线。‎ 故答案选 ‎8．已知直线与垂直，则（ ）‎ A． B． C．-2 D．2‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意结合直线垂直的充分必要条件确定m的值即可.‎ ‎【详解】‎ 很明显直线的斜率存在，直线方程即：，，‎ 由直线垂直的充分必要条件可得：，解得：.‎ 本题选择D选项.‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．‎ ‎(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．‎ ‎9．(2015新课标全国I理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：设圆锥底面半径为r，则，所以，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B.‎ ‎【考点】圆锥的性质与圆锥的体积公式 ‎10．已知圆与圆外切，则（ ）．‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为两圆相外切，故圆心距为半径之和，故可得的关系.‎ ‎【详解】‎ 因为两圆相外切，故圆心距为半径之和，‎ 故即，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两圆的位置关系，注意利用圆心距与半径之和、半径之差的绝对值的关系来判断不同的位置关系，此类问题属于基础题.‎ ‎11．如图所示，已知四棱锥的高为3，底面ABCD为正方形，且，则四棱锥外接球的半径为　　‎ A． B．2 C． D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知，四棱锥为正四棱锥，外接球的球心在四棱锥的高上，根据已知条件，求出，在中即可求出外接球半径.‎ ‎【详解】‎ 由已知，四棱锥为正四棱锥，设外接球半径为 连接、交于点，连接，外接球的球心在高上，连接，则 四棱锥的高为，，即 ‎，，‎ 又为直角三角形 ‎，即，解得.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查棱锥外接球的计算，考查正四棱锥的特征，考查推理能力、运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想.‎ ‎12．己知函数，函数有四个不同的零点，从小到大依次为，，，，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】画出函数的草图，结合题意得到。且，‎ 则可解出，，，即可求出的取值范围。‎ ‎【详解】‎ 当时，令 ，单调递增 又，在单调递减，在单调递增，‎ 所以，在单调递减，在单调递增，且。‎ 当时，，在单调递减，在单调递增，且。‎ 画出函数的图像，如图所示：‎ 又有四个不同的零点，等价于与有四个不同的交点。‎ 所以。且。‎ 当时，，，即 所以 当时， 解，化简得，所以，‎ 又，‎ 所以 所以 故选D ‎【点睛】‎ 本题考查函数的性质，画出草图，判断出交点的位置，是首要任务。属于难题。‎ 二、填空题 ‎13．已知，则____________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】,得出方程,即可求出.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故答案为: ‎ ‎【点睛】‎ 考查同角间的三角函数关系,化弦为切,重点考查计算能力,属于基础题.‎ ‎14．函数的最小值为____________.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】由基本不等式得,求出函数的最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎,,当且仅当,等号成立,.‎ 故答案为: 8‎ ‎【点睛】‎ 利用基本不等式求最值,要注意条件,一“正”,二“定”,三“等”,缺一不可.‎ ‎15．已知实数满足，则的最大值为_______。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据约束条件，画出可行域，目标函数可以看成是可行域内的点和的连线的斜率，从而找到最大值时的最优解，得到最大值.‎ ‎【详解】‎ 根据约束条件可以画出可行域，‎ 如下图阴影部分所示，‎ 目标函数可以看成是可行域内的点和的连线的斜率，‎ 因此可得，当在点时，斜率最大 联立，得 即 所以此时斜率为 ，‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查简单线性规划问题，求目标函数为分式的形式，关键是要对分式形式的转化，属于中档题.‎ ‎16．如图，在直角梯形中，，若分别是边上的动点，满足，其中，若，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据向量的运算，求得，，又由，化简得到，再由，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由图可知，向量，，‎ 又，所以，‎ 所以,‎ 又，可得，‎ 又由，解得，‎ 故答案为：．‎ ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量的线性运算，以及向量的数量积的运算及性质的应用，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及利用向量的数量积的运算公式和向量的投影的定义，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．‎ 三、解答题 ‎17．已知等差数列满足，前7项和为 ‎（Ⅰ）求的通项公式 ‎（Ⅱ）设数列满足，求的前项和.‎ ‎【答案】(1) ‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据等差数列的求和公式可得，得，然后由已知可得公差，进而求出通项；（2）先明确=，为等差乘等比型通项故只需用错位相减法即可求得结论.‎ 解析：‎ ‎（Ⅰ）由，得 因为所以 ‎（Ⅱ）‎ ‎18．某校举行汉字听写比赛，为了了解本次比赛成绩情况，从得分不低于50分的试卷中随机抽取100名学生的成绩(得分均为整数，满分100分)进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若从成绩较好的第3、4、5组中按分层抽样的方法抽取6人参加市汉字听写比赛，并从中选出2人做种子选手，求2人中至少有1人是第4组的概率.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（2）‎ ‎【解析】（1）由频数和为100,求出;再由频率和为1,求出;‎ ‎（2）根据分层抽样按比例分配,求出第3,4,5组分别抽取的学生人数,并把6人编号,列出所有基本事件,查出2人至少1人来自第4组的事件个数,然后利用古典概型的概率计算公式求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）＝100－5－30－20－10＝35·‎ ‎＝1－0.05－0.35－0.20－0.10＝0.30·‎ ‎（2 ）因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，‎ 每组分别为，第3组：×30＝3人，第4组：×20＝2人，第5组：×10＝1人，‎ 所以第3、4、5组应分别抽取3人、2人、1人·‎ 设第3组的3位同学为A1、A2、A3，第4组的2位同学为B1、B2，第5组的1位同学为C1，则从6位同学中抽2位同学有15种可能，如下：‎ ‎(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2‎ ‎)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)．其中第4组被入选的有9种，‎ 所以其中第4组的2位同学至少有1位同学入选的概率为＝‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了频率分布表,考查了古典概型及其概率计算公式,解答的关键是正确求出事件总数和基本事件个数,属于基础题.‎ ‎19．如图，是平行四边形，平面，，，，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）证明平面平面，然后利用平面与平面平行的性质得出平面；‎ ‎（2）作于点，连接，证明出平面，可得出直线与平面所成的角为，并计算出三边边长，并利用锐角三角函数计算出的正弦值，即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：，平面，平面，平面.‎ 同理可证平面.‎ ‎，平面平面.‎ 平面，平面；‎ ‎（2）作于点，连接，‎ 平面，平面，.‎ 又，，平面.‎ 则为与平面所成角，‎ 在中，，，，，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，因此，直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与平面平行的证明，同时也考查了直线与平面所成角的计算，在计算空间角时要遵循“一作、二证、三计算”的原则来求解，考查逻辑推理能力，属于中等题.‎ ‎20．已知函数的最小正周期为．‎ 求的值；‎ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，面积，求b．‎ ‎【答案】(1)(2)3‎ ‎【解析】（1）化简 ，根据函数的最小正周期即可求出的值 ‎2）由（1）知，.由，求得，再根据的面积，解得，最后由余弦定理可求出.‎ ‎【详解】‎ ‎（1） ‎ 故函数的最小正周期，解得. ‎ ‎（2）由（1）知，.由，得（）.所以（）.又，所以.的面积，解得.由余弦定理可得 ，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识；考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题．‎ ‎21．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∠BAC=90°，AC=AB=AA1，E是BC的中点．‎ ‎（1）求证：AE⊥B1C；‎ ‎（2）若G为C1C中点，求二面角C-AG-E的正切值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）证明AE⊥BB1和AE⊥BC得到AE⊥面BB1C1C，进而得到证明.‎ ‎（2）连接AG，设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q，连EP，EQ，证明EP⊥平面ACC1A1得到∠PQE是二面角C-AG-E的平面角，计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为BB1⊥面ABC，AE⊂面ABC，所以AE⊥BB1‎ 由AB=AC，E为BC的中点得到AE⊥BC·‎ ‎∵BC∩BB1=B∴AE⊥面BB1C1C ‎∴AE⊥B1C ‎ ‎（2）如图所示：连接AG，设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q，连EP，EQ，‎ 则EP⊥AC，又∵平面ABC⊥平面ACC1A1‎ ‎∴EP⊥平面ACC1A1，而PQ⊥AG∴EQ⊥AG．‎ ‎∴∠PQE是二面角C-AG-E的平面角． ‎ 不妨设AB=AC=AA1=2，‎ 则EP=1，AP=1，PQ=，得tan∠PQE==‎ 所以二面角C-AG-E的平面角正切值是 ‎【点睛】‎ 本题考查了线线垂直和二面角的计算，意在考查学生的空间想象能力和计算能力，也可以建立空间直角坐标系求解.‎ ‎22．已知两个定点，动点满足.设动点的轨迹为曲线 ‎，直线.‎ ‎（1）求曲线的轨迹方程；‎ ‎（2）若， 是直线上的动点，过作曲线的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点.‎ ‎【答案】（1）；（2）直线是过定点 ‎【解析】（1）设点的坐标为，根据代入数据化简得到答案.‎ ‎（2）判断都在以为直径的圆上，圆方程为，联立得到，解得直线方程为得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设点的坐标为，由可得，，‎ 整理可得，‎ 所以曲线的轨迹方程为. ‎ ‎（2）依题意，，则都在以为直径的圆上 是直线上的动点，设 则圆的圆心为，且经过坐标原点 即圆的方程为 ‎ 又因为在曲线上 由，可得 即直线的方程为 由且可得，解得 所以直线是过定点.·‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了轨迹方程，定点问题，意在考查学生的计算能力和转化思想.‎