福建省福州第一中学2019届高三上学期开学质检数学（文）试题

福建省福州第一中学2019届高三上学期开学质检数学（文）试题

福州一中2018- -2019 学年第一学期高三开学初质量检查考试 数学(文)‎ 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.每小题5分，共60分）‎ ‎1．已知，则复数z的虚部为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若集合A＝{x|x（x﹣1）＜2}，且A∪B＝A，则集合B可能是（　　）‎ A．{﹣1，2} B．{0，1} C．{﹣1，0} D．{0，2}‎ ‎3．若实数x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的最大值是（　　）‎ A．2 B．1 C．0 D．﹣4‎ ‎4．已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞x2；q：“ab＞4”是“a＞2，b＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（　　）‎ A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q ‎5．如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍．若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知tanθ＝2，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（　　）‎ A．7 B．9 C．10 D．11‎ ‎8．若某多面体的三视图（单位：cm）如图所示，则此多面体的体积是（　　）‎ A． cm3 B． cm3 C． cm3 D． cm3‎ ‎9．把曲线上所有点向右平移个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，得到曲线C2，则C2（　　）‎ A．关于直线对称 B．关于直线对称 ‎ C．关于点对称 D．关于点（π，0）对称 ‎10．定义在R上的函数f（x）＝2|x﹣m|﹣1为偶函数，记a＝f（log0.53），b＝f（log25），c＝f（2m），则（　　）‎ A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a ‎11．已知函数，若关于x的方程恰有四个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．设椭圆（a＞b＞0）的一个焦点F（2，0）点A（﹣2，1）为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得|PA|+|PF|＝8，则椭圆E的离心率的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知非零向量，的夹角是60°，||＝||，⊥（λ），则λ＝　 　．‎ ‎14．已知双曲线Γ过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线Γ的标准方程为　 　．‎ ‎15．在各项都为正数的等比数列{an}中，已知a1＝2，，则数列{an}的通项公式an＝　 　．‎ ‎16．已知三棱锥A﹣BCD中，AB＝AC，AB⊥AC，BD⊥DC，∠DBC，若三棱锥A﹣BCD的最大体积为，则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为　 　．‎ 三.解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤本大题共5小题，共70分）‎ ‎17．△ABC中的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b＝4c，B＝2C ‎（Ⅰ）求cosB ‎（Ⅱ）若c＝5，点D为边BC上一点，且BD＝6，求△ADC的面积 ‎18．在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示．‎ ‎（1）求这4000名考生的竞赛平均成绩（同一组中数据用该组区间中点作代表）；‎ ‎（2）记70分以上为优秀，70分及以下为合格，结合频率分布直方图完成下表，并判断是否有99%的把握认为该学科竞赛成绩与性别有关？‎ 合格 优秀 合计 男生 ‎720‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ 女生 ‎　 　‎ ‎1020‎ ‎　 　‎ 合计 ‎　 　‎ ‎　 　‎ ‎4000‎ 附：‎ p（k2≥k0）‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎．‎ ‎19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AC，PC⊥BC，M为PB的中点，D为AB的中点，且△AMB为正三角形 ‎（1）求证：BC⊥平面PAC ‎（2）若PA＝2BC，三棱锥P﹣ABC的体积为1，求点B到平面DCM的距离．‎ ‎20．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，且该抛物线经过点A（2，2），其焦点F在x轴上．‎ ‎（Ⅰ）求过点F且与直线OA垂直的直线的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点M（m，0）（m＞0）的直线交抛物线C于D，E两点，|ME|＝2|DM|，求的最小值．‎ ‎21．已知函数f（x）＝3ex+x2，g（x）＝9x﹣1．‎ ‎（1）求函数φ（x）＝xex+4x﹣f（x）的单调区间；‎ ‎（2）求证：f（x）＞g（x）．‎ 选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.‎ ‎22．点P是曲线C1：（x﹣2）2+y2＝4上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点P逆时针旋转90°得到点Q，设点Q的轨迹为曲线C2．‎ ‎（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；‎ ‎（2）射线θ，（ρ＞0）与曲线C1，C2分别交于A，B两点，设定点M（2，0），求△MAB的面积．‎ ‎23．已知函数f（x）＝|x+2a|+|x﹣1|．‎ ‎（1）若a＝1，解不等式f（x）≤5；‎ ‎（2）当a≠0时，，求满足g（a）≤4的a的取值范围．‎ 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.每小题5分，共60分）‎ ‎1．‎ ‎2．B ‎3．B ‎4．D ‎5．C ‎6．D ‎7．B ‎8．A ‎9．B ‎10．C ‎11．D ‎12．A 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13． ．‎ ‎14． ．‎ ‎15． ．‎ ‎16．解：设BD＝a，取BC中点O，连结AO、DO，‎ ‎∵三棱锥A﹣BCD中，AB＝AC，AB⊥AC，BD⊥DC，∠DBC，‎ ‎∴OA＝OB＝OC＝OA＝a，CD，‎ 当三棱锥A﹣BCD体积最大时，面ABC⊥面BCD，‎ ‎∵三棱锥A﹣BCD的最大体积为，∴，‎ ‎∴，解得a，‎ ‎∴三棱锥A﹣BCD外接球的球心为O，半径r＝a，‎ ‎∴三棱锥A﹣BCD外接球的表面积S＝4πr2＝4π×3＝12π．‎ 三.解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤本大题共5小题，共70分）‎ ‎17．（Ⅰ）由题意B＝2C，‎ 则sinB＝sin2C＝2sinCcosC 又，‎ 所以 所以（6分）‎ ‎（Ⅱ）因为c＝5，，‎ 所以（7分）‎ 由余弦定理得，b2＝a2+c2﹣2accosB，‎ 则，‎ 化简得，a2﹣6a﹣55＝0，‎ 解得a＝11，或a＝﹣5（舍去），…（9分）‎ 由BD＝6得，CD＝5，‎ 由，‎ 得 所以△ADC的面积 ‎18．（1）由题意，得：‎ 中间值 ‎45‎ ‎55‎ ‎65‎ ‎75‎ ‎85‎ ‎95‎ 概率 ‎0.1‎ ‎0.15‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.15‎ ‎0.1‎ ‎∴85×0.15+95×0.1＝70.5．‎ ‎∴4000名考生的竞赛平均成绩为70．．‎ ‎（2）‎ 合格 优秀 合计 男生 ‎720‎ ‎1180‎ ‎1900‎ 女生 ‎1080‎ ‎1020‎ ‎2100‎ 合计 ‎1800‎ ‎2200‎ ‎4000‎ ‎．‎ 故有99%的把握认为有关．‎ ‎19．（1）证明：在正△AMB中，D是AB的中点，所以MD⊥AB．…（1分）‎ 因为M是PB的中点，D是AB的中点，所以MD∥PA，故PA⊥AB．…（2分）‎ 又PA⊥AC，AB∩AC＝A，AB，AC⊂平面ABC，‎ MCBPAD 所以PA⊥平面ABC．…‎ 因为BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC．…‎ 又PC⊥BC，PA∩PC＝P，PA，PC⊂平面PAC，‎ 所以BC⊥平面PAC．…（6分）‎ ‎（2）设AB＝x，则 三棱锥P﹣ABC的体积为，得x＝2…‎ 设点B到平面DCM的距离为h． 因为△AMB为正三角形，所以 AB＝MB＝2．‎ 因为，所以AC＝1．‎ 所以．‎ 因为，由（1）知MD∥PA，所以MD⊥DC．‎ 在△ABC中，，所以．‎ 因为VM﹣BCD＝VB﹣MCD，…‎ 所以，即．‎ 所以．故点B到平面DCM的距离为．…‎ ‎20．（Ⅰ）由题意可知抛物线开心向右，‎ 设抛物线方程为y2＝2px（p＞0），把A（2，2）代入抛物线方程可得：4＝4p，‎ 即p＝1，于是F．‎ 又直线OA的斜率为1，故而所求直线斜率为﹣1，‎ ‎∴所求直线方程为．‎ ‎（Ⅱ）设点D和E的坐标为（x1，y1）和（x2，y2），直线DE的方程是y＝k（x﹣m），k≠0．‎ 将代入y2＝2x，有ky2﹣2y﹣2km＝0，解得y1，y2．‎ 由|ME|＝2|DM|得：，化简得．‎ ‎∴|DE|2＝（1）[（y1+y2）2﹣4y1y2]．‎ ‎∴，当且仅当时取等号，‎ ‎∴的最小值为12．‎ ‎21．（1）φ（x）＝（x﹣3）ex+4x﹣x2，‎ φ'（x）＝（x﹣2）（ex﹣eln2），‎ 令φ'（x）＞0有x＞2或x＜ln2，‎ 令φ'（x）＜0有ln2＜x＜2，‎ 因此φ（x）的单调递增区间为（﹣∞，ln2）和（2，+∞），‎ φ（x）的单调递减区间为（ln2，2）．‎ ‎（2）设h（x）＝f（x）﹣g（x），‎ 则h'（x）＝3ex+x2﹣9x+1，‎ h'（x）＝3ex+2x﹣9，‎ h“（x）＝3ex+2，‎ ‎∵h“（（x）＞0，‎ ‎∴h'（x）单调递增，‎ 又h'（0）＝﹣6＜0，‎ h'（1）＝3e﹣7＞0，‎ 因此存在m∈（0，1）使得h'（m）＝0，‎ 所以h（x）在（0，m）上单调递减，在（m，+∞）上单调递增，‎ ‎∴h（x）≥h（m）＝3em+m2﹣9m+1，‎ 又h'（m）＝0，‎ ‎∴3em＝9﹣2m，‎ 所以h（x）≥h（m）＝m2﹣11m+10＝（m﹣1）（m﹣10）＞0，‎ 因此f（x）＞g（x）．‎ 选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.‎ ‎22．（1）曲线C1：（x﹣2）2+y2＝4上，把互化公式代入可得：曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ．‎ 设Q（ρ，θ），则，则有．‎ 所以，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ．‎ ‎（2）M到射线的距离为，，‎ 则．‎ ‎23．（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝|x+2|+|x﹣1|，故f（x）表示数轴上的点x到﹣2和1对应点的距离之和，‎ 因为x＝﹣3或2时，f（x）＝5，依据绝对值的几何意义可得f（x）≤5的解集为{x|﹣3≤x≤2}．‎ ‎（Ⅱ）∵，∴，‎ 当a＜0时，，等号当且仅当a＝﹣1时成立，所以g（a）≤4无解；‎ 当0＜a≤1时，，‎ 由g（a）≤4得2a2﹣5a+2≤0，解得，又因为0＜a≤1，所以；‎ 当a＞1时，由g（a）＝2a+1≤4，解得，‎ 综上，a的取值范围是．‎