数学理卷·2019届福建省福州市八县（市）一中高二上学期期末联考（2018-01）

数学理卷·2019届福建省福州市八县（市）一中高二上学期期末联考（2018-01）

‎2017-2018学年第一学期八县（市）一中期末联考 高中 二 年 数学（理） 科试卷 命题学校： 永泰一中 命题教师： 叶长春 审核教师： 林志成 考试时间：1月31日 完卷时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）‎ ‎1．抛物线的准线方程为（ ）‎ ‎. . . .‎ ‎2．已知向量，，且//，则实数（ ）‎ ‎. . . .‎ ‎3．下列命题错误的是（ ）‎ ‎.“若，则”的否命题为“若，则”‎ ‎.若为假命题，则均为假命题；‎ ‎.命题“，”的否定为“，”‎ ‎.命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为：“若方程无实数根，则”；‎ ‎4. 设，满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ ‎.2 . . .6‎ ‎5．“”是“椭圆焦距为”的（ ）‎ ‎.充分不必要条件 .必要不充分条件 ‎ ‎ .充要条件 .既不充分也不必要条件 ‎6．在空间四边形中，点在线段上，且，点为的中点．若，，，则等于（ ）‎ ‎. . . .‎ ‎7．已知数列为等比数列，是它的前项和，若，且与2的等差中项为，则公比的值为 ( )‎ ‎. . . . ‎ ‎8．如图所示，在正方体中，点是棱的中点，点是棱的中点，则异面直线与所成的角为（　 ）‎ ‎.120° .90° .60° .30°‎ ‎9．已知过双曲线焦点的直线与双曲线交于两点，且使的直线恰好有条，则双曲线的离心率为（ ）‎ ‎. . . .‎ ‎10．数列 满足，对任意的都有，则 ( )‎ ‎. . . .‎ ‎11．已知椭圆，直线与椭圆交于两点，是椭圆上异于的点，且直线、的斜率存在，则=（ ）‎ ‎. . ． ． ‎ ‎12．设双曲线的左、右焦点分别为，若在双曲线的右支上存在点，使得的内切圆半径为，记圆心为，的重心为，且满足，则双曲线的渐近线方程为( )‎ ‎. . . .‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13．命题“”是假命题，则实数a的取值范围为_________‎ ‎14．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的方程为_________________‎ ‎15．在中，角所对的边分别为，且成等比数列，则的最小值为______________ ‎ ‎16．在正方体中，若棱长为，点、分别为线段、上的动点，则下列结论中正确结论的序号是__________‎ ‎①面；‎ ‎②面面；‎ ‎③点到面的距离为定值；‎ ‎④线与面所成角的正弦值为定值.‎ 三、解答题（本大题6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知命题无实数解，命题：方程表示焦点在轴上的双曲线.‎ ‎（Ⅰ）若命题为假命题，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若命题“或”为真，命题“且”为假，求实数的取值范围.‎ ‎18．(本小题满分12分)‎ 已知分别是的三个内角所对的边.‎ ‎（Ⅰ）若的面积为，，且成等差数列，求的值； ‎ ‎（Ⅱ）若，且，试判断的形状.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图所示，在直三棱柱中,为等腰直角三角形,‎ ‎,且,分别为、、的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：∥平面；‎ ‎（Ⅱ）求锐二面角的余弦值．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知抛物线上一点到焦点的距离为．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线经过点，求直线与抛物线有两个公共点时的取值范围．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 如图所示，在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得二面角为直二面角.‎ ‎（Ⅰ）求证：AD⊥BM；‎ ‎（Ⅱ）问：在线段DB上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在确定点的位置，若不存在，说明理由.‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知椭圆：的左、右焦点分别为，点在椭圆上，满足.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）已知两点在曲线上，记，，若，为坐标原点，试探求的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.‎ ‎2017-2018学年第一学期八县（市）一中期末联考 高二数学(理科)参考答案 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A B B D A C C B D A C D 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13、 14、 15、 16、①②③‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）‎ ‎17、解： （Ⅰ）命题：，得 ……………………………2分 依题意得为真命题……………………………………………………………………3分 所以，的取值范围为 …………………………………………………………4分 ‎（Ⅱ）命题：，得 ………………………………6分 依题意得p与q必然一真一假…………………………………………………………7分 若真假，则，得或 …………………8分 若假真，则，此时无解 ……………………………………9分 所以，实数的取值范围为 …………………………………………10分 ‎18、解：（Ⅰ）成等差数列，，…………………………1分 又 ………………………………………………………2分 ‎ ，解得 ………………………………4分 由余弦定理得，= …………………………………6分 ‎（Ⅱ）根据余弦定理，由，得， ，‎ 是以的直角三角形， ………………………………………………10分 ‎，=， 故是等腰直角三角形…………12分 ‎19、解: （Ⅰ）方法一：设的中点为，连接，则,‎ ‎∴四边形为平行四边形…………………………………………………………2分 ‎∴………………………………………………………………………………4分 又, ∴面． ……………………………6分 法二：如图，以点为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系 令，则, …2分 ‎，面的一个法向量为 ……………………………3分 G F D E A B C B ‎1‎ C ‎1‎ A ‎1‎ ‎∵，∴ ………………………………………………………5分 又∵，∴∥平面．………………………………… ……6分 ‎（Ⅱ）,,‎ ‎∴ ‎ ‎∴ , ‎ ‎∵ ∴面 ‎ ‎∴平面的一个法向量为…………………………………………8分 ‎ 设平面的法向量为，则由，即.‎ 令，则 …………………………………………9分 ‎ ……………………………………………………11分 ‎ ‎∴锐二面角的余弦值为 ……………………………………………12分 ‎20、解：（1）抛物线 ‎∴抛物线焦点为，准线方程为， …………………………………1分 ‎∵点到焦点距离为，∴，解得， ……………………3分 ‎∴抛物线的方程为 …………………………………………………………4分 ‎（2）设直线方程为： ……………………………………………5分 由得： …………………………………………7分 当，即时，由，即时，直线与抛物线相交，有两个公共点； ……………………………………………11分 所以，当，且时，直线与抛物线有两个公共点. ……………………12分 ‎21、（I）【证明】在图1的长方形ABCD中，AB＝2，AD＝，M为DC的中点，‎ ‎∴AM＝BM＝2，所以AM2＋BM2＝AB2∴BM⊥AM …………………………………1分 在图2中，∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM＝AM，BM⊂平面ABCM ‎ ‎∴BM⊥平面ADM …………………………………………………………………………3分 ‎∵AD⊂平面ADM ∴AD⊥BM …………………………………………………………4分 ‎（II）【解】取AM中点O，连接则 取AB的中点F，连接，则，由（I）得⊥平面ADM 如图，建立空间直角坐标系O－xyz ………………………………………………………6分 则A(1，0，0)，B(－1，2，0)，D(0，0，1)，M(－1，0，0)‎ 则，设 则 …………………………………………………7分 设平面AME的一个法向量为＝(x，y，z)‎ 则，即 …………………………………8分 ‎ 取y＝1，得x＝0，，所以＝(0，1，) ………………………9分 设直线与平面所成角为 则，即 化简得：，解得或（舍） ……………………11分 存在点E为BD的中点时，使直线与平面所成角的正弦值为…12分 ‎22、解：（Ⅰ）设，‎ 则，所以 …… 1分 因为=4，所以 …………………………………………………2分 ‎ ……………………………………………………………………………………3分 椭圆的标准方程为 ……………………………………………………4分 ‎（Ⅱ），直线的斜率存在，设直线的方程为：‎ 与椭圆联立，得：‎ 直线与椭圆有两个交点，‎ 解得： ……………………………………………………………………5分 由韦达定理得： …………………………………………………6分 由（Ⅰ）得，则，‎ 由，得，得，‎ 得：，把韦达定理代入得：…8分 又原点到直线的距离 ……………………………………………9分 所以 为定值…11分 所以的面积为定值1 …………………………………………………………12分