【数学】2018届一轮复习人教A版集合与简单逻辑学案文

【数学】2018届一轮复习人教A版集合与简单逻辑学案文

专题01 集合与简单逻辑 集合知识一般以一个选择题的形式出现，其中以集合知识为载体，集合与不等式、解析几何知识相结合是考查的重点，难度为中、低档；对常用逻辑用语的考查一般以一个选择题或一个填空题的形式出现，以集合、函数、数列、三角函数、不等式及立体几何中的线面关系为载体，考查充要条件或命题的真假判断等，难度一般不大.‎ ‎1．集合的概念、运算和性质 ‎(1)集合的表示法：列举法，描述法，图示法．‎ ‎(2)集合的运算：‎ ‎①交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．‎ ‎②并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．‎ ‎③补集：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．‎ ‎(3)集合的关系：子集，真子集，集合相等．‎ ‎(4)需要特别注意的运算性质和结论．‎ ‎①A∪∅＝A，A∩∅＝∅；‎ ‎②A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U. ‎ A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A ‎2．四种命题 ‎(1)用p、q表示一个命题的条件和结论，¬p和¬q分别表示条件和结论的否定，那么若原命题：若p则q；则逆命题：若q则p；否命题：若¬p则¬q；逆否命题：若¬q则¬p.‎ ‎(2)四种命题的真假关系 原命题与其逆否命题同真同真；原命题的逆命题与原命题的否命题同真同假．‎ ‎3．充要条件 ‎(1)若p⇒q，则p是q成立的充分条件，q是p成立的必要条件．‎ ‎(2)若p⇒q且q⇒/ p，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．‎ ‎(3)若p⇔q，则p是q的充分必要条件．‎ ‎4．简单的逻辑联结词“且”、“或”、“非” ‎ 用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“p∧q”；‎ 用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“p∨q”；‎ 对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作“¬p”．‎ ‎5．全称量词与存在量词 ‎(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)． ‎ 它的否定¬p：∃x0∈M，¬p(x0)． ‎ ‎(2)特称命题(存在性命题)p：∃x0∈M，p(x0)． ‎ 它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x).‎ 考点一　集合的概念及运算 例1、【2017课表1，文1】已知集合A=，B=，则 A．AB= B．AB C．AB D．AB=R ‎【答案】A ‎【解析】由得，所以，选A．‎ ‎ 【变式探究】(2016·高考全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|2x－3＞0}，则A∩B＝(　　)‎ A.　　　　　 B. C. D. ‎【答案】D 当x＝2时，2x－3＝2×2－3＝1＞0，x2－4x＋3＝22－4×2＋3＝－1＜0，所以2∈A,2∈B ‎，所以2∈A∩B，故可排除C项．‎ 综上，选D.‎ ‎【变式探究】 (1)已知集合A＝{－2，－1，0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)<0}，则A∩B＝(　　)‎ A．{－1,0}　 B．{0,1}‎ C．{－1,0,1} D．{0,1,2}‎ ‎【答案】A ‎ (2)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　)‎ A．1 B．3‎ C．5 D．9‎ ‎【答案】C ‎【解析】基本法：用列举法把集合B中的元素一一列举出来．‎ 当x＝0，y＝0时，x－y＝0；当x＝0，y＝1时，x－y＝－1；‎ 当x＝0，y＝2时，x－y＝－2；当x＝1，y＝0时，x－y＝1；‎ 当x＝1，y＝1时，x－y＝0；当x＝1，y＝2时，x－y＝－1；‎ 当x＝2，y＝0时，x－y＝2；当x＝2，y＝1时，x－y＝1；‎ 当x＝2，y＝2时，x－y＝0.根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2,1,2，共5个．故选C.‎ 速解法一：排除法：估算x－y值的可能性，排除不可能的结果．‎ ‎∵x∈A，y∈A，∴x－y＝±1，x－y＝±2.‎ B中至少有四个元素，排除A、B，而D选项是9个元素．‎ 即3×3更不可能．故选C.‎ 速解法二：当x＝y时，x－y＝0；‎ 当x≠y时，x与y可以相差1，也可以相差2，即x－y＝±1，x－y＝±2.‎ 故B中共有5个元素，B＝{0，±1，±2}．故选C.‎ 考点二　充分、必要条件 例2、【2017天津，文2】设，则“”是“”的 ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】，则，，则， ，据此可知：“”是“”的的必要的必要不充分条件，本题选择B选项.‎ ‎ 【变式探究】(2016·高考四川卷)设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x，y满足则p是q的(　　)‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】通解：(画出可行域，数形结合求解)‎ 如图作出p，q表示的区域，其中⊙M及其内部为p表示的区域，△ABC及其内部(阴影部分)为q表示 ‎【变式探究】(1) 函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则(　　)‎ A．p是q的充分必要条件 B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】基本法：利用命题和逆命题的真假来判断充要条件，注意判断为假命题时，可以采用反例法．‎ 当f′(x0)＝0时，x＝x0不一定是f(x)的极值点，‎ 比如，y＝x3在x＝0时，f′(0)＝0，但在x＝0的左右两侧f′(x)的符号相同，因而x＝0不是y＝x3的极值点．‎ 由极值的定义知，x＝x0是f(x)的极值点必有f′(x0)＝0.‎ 综上知，p是q的必要条件，但不是充分条件．‎ ‎ (2)“x∈”是“函数y＝sin为单调递增函数”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【变式探究】已知x∈R，则“x2－3x>‎0”‎是“x－4>‎0”‎的(　　)‎ A．充分不必要条件　　　　B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】基本法：判断x2－3x>0⇒x－4>0还是x－4>0⇒x2－3x>0.‎ 注意到x2－3x>0⇔x<0或x>3，x－4>0⇔x>4.由x2－3x>0不能得出x－4>0；反过来，由x－4>0可得出x2－3x>0，因此“x2－3x>‎0”‎是“x－4>‎0”‎的必要不充分条件．故选B.‎ 速解法：利用反例和实数的运算符号寻找推导关系．如x＝4时，满足x2－3x>0，但不满足x－4>0，即不充分．‎ 若x－4>0，则x(x－3)>0，即必要．故选B.‎ 考点三　命题判定及否定 例3、【2017山东，文5】已知命题p：;命题q：若,则a‎1”‎是“>‎1”‎的（ ） ‎ A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎1. 【2014高考北京卷文第1题】若集合A=，B=，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，所以选C.‎ ‎2. 【2014高考大纲卷文第1题】设集合M={1，2，4，6，8},N={1，2，3，5，6，7},则MN中元素的个数为（ ）‎ A. 2 B. ‎3 C. 5 D. 7‎ ‎【答案】B ‎【解析】MN={1，2， 6，}.故选B. ‎ ‎3.【2014高考福建卷文第1题】若集合则等于 （ ）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知，选.‎ ‎4. 【2014高考广东卷文第1题】已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得，故选B.‎ ‎5. 【2014高考湖北卷文第1题】 已知全集，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】依题意，，故选C.‎ ‎6. 【2014高考湖南卷文第2题】已知集合，则（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由交集的定义可得,故选C.‎ ‎7. 【2014高考江苏卷第1题】已知集合，，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得．‎ ‎8. 【2014高考江西卷文第2题】设全集为，集合 ‎，则( )‎ ‎ ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为 所以 ‎9 【2014高考辽宁卷文第1题】 已知全集，则集合（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由已知得，或，故．‎ ‎10. 【2014高考全国1卷文第1题】已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据集合的运算法则可得：，选B．‎ ‎11. 【2014高考全国2卷文第1题】设集合,则（ ）‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知得，，故，选B．‎ ‎12. 【2014高考山东卷文第2题】设集合则（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知所以，选.‎ ‎13. 【2014高考陕西卷文第1题】已知集合，则（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】D ‎14. 【2014高考四川卷文第1题】已知集合，集合为整数集，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知所以，选.‎ ‎15. 【2014高考浙江卷文第1题】设集合 ，，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】依题意，故选D.‎ ‎16. 【2014高考重庆卷文第11题】已知集合，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 所以答案应填.‎ ‎1．设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝(　　)‎ A．[0,1] B．(0,1]‎ C．[0,1) D．(－∞，1]‎ ‎【答案】A ‎【解析】M＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|lg x≤0}＝‎ ‎{x|0‎2”‎是“a2>‎2a”成立的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】因为a>2，则a2>‎2a成立，反之不成立，所以“a>2”是“a2>‎2a”成立的充分不必要条件．‎ ‎4．已知集合A＝{z∈C|z＝1－2ai，a∈R}，B＝{z∈C||z|＝2}，则A∩B等于(　　)‎ A．{1＋i,1－i} B．{－i}‎ C．{1＋2i,1－2i} D．{1－i}‎ ‎【答案】A ‎【解析】A∩B中的元素同时具有A，B的特征，问题等价于|1－2ai|＝2，a∈R，解得a＝±.故选A.‎ ‎5．设A，B是两个非空集合，定义运算A×B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝2x，x>0}，则A×B＝(　　)‎ A．[0,1]∪(2，＋∞) B．[0,1)∪[2，＋∞)‎ C．[0,1] D．[0,2]‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得A＝{x|2x－x2≥0}＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y>1}，所以A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝(1,2]，所以A×B＝[0,1]∪(2，＋∞)．‎ ‎6．给出下列命题：‎ ‎①∀x∈R，不等式x2＋2x>4x－3均成立；‎ ‎②若log2x＋logx2≥2，则x>1；‎ ‎③“若a>b>0且c<0，则>”的逆否命题；‎ ‎④若p且q为假命题，则p，q均为假命题．‎ 其中真命题是(　　)‎ A．①②③ B．①②④ ‎ C．①③④ D．②③④‎ ‎【答案】A ‎7．设集合P＝，集合T＝{x|mx＋1＝0}，若T⊆P，则实数m的取值组成的集合是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎【解析】由2 x2＋2x＝－x－6，得2x2＋2x＝2x＋6，‎ ‎∴x2＋2x＝x＋6，即x2＋x－6＝0，‎ ‎∴集合P＝{2，－3}．‎ 若m＝0，则T＝∅⊆P.‎ 若m≠0，则T＝，‎ 由T⊆P，得－＝2或－＝－3，‎ ‎∴m＝－或m＝.故选C.‎ ‎8．若“0x2；‎ p4：∀x∈(1，＋∞)，x－1>logx.‎ 其中真命题是(　　)‎ A．p1，p3 B．p1，p‎4 C．p2，p3 D．p2，p4‎ ‎【答案】D ‎11．下列命题正确的个数是(　　)‎ ‎①命题“∃x0∈R，x＋1>3x‎0”‎的否定是“∀x∈R，x2＋1≤3x”；‎ ‎②“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”是“a＝‎1”‎的必要不充分条件；‎ ‎③x2＋2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立⇔(x2＋2x)min≥(ax)max在x∈[1,2]上恒成立；‎ ‎④“平面向量a与b的夹角是钝角”的充要条件是“a·b<‎0”‎．‎ A．1 B．2 ‎ C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】易知①正确；因为f(x)＝cos 2ax，所以＝π，即a＝±1，因此②正确；因为x2＋2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立⇒a≤x＋2在x∈[1,2]上恒成立⇒a≤(x＋2)min，x∈[1,2]，因此③不正确；因为钝角不包含180°，而由a·b<0得向量夹角包含180°，因此“平面向量a与b的夹角是钝角”的充要条件是“a·b<0且a与b不反向”，故④不正确．‎ ‎12．已知命题p：已知实数a，b，则ab>0是a>0且b>0的必要不充分条件，命题q：在曲线y＝cos x上存在斜率为的切线，则下列判断正确的是(　　)‎ A．p是假命题 B．q是真命题 C．p∧(綈q)是真命题 D．(綈p)∧q是真命题 ‎【答案】C ‎【解析】显然命题p为真命题，命题q：y＝cos x的导函数为y′＝－sin x，－1≤y′≤1，故曲线y＝cos x上不存在斜率为的切线，q为假命题，綈q为真命题，所以p∧(綈q)为真命题，故选C.‎ ‎13．已知集合A＝{x||x－1|<2}，B＝{x|log2x<2}，则A∩B＝________.‎ ‎【答案】{x|00，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是________．‎ ‎【答案】[1，＋∞)‎ ‎15．设全集U＝A∪B＝{x∈N*|lg x<1}，若A∩(∁UB)＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}，则集合B＝________.‎ ‎【答案】{2,4,6,8}‎ ‎【解析】U＝A∪B＝{x∈N*|lg x<1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A∩(∁UB)＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}＝{1,3,5,7,9}，所以B＝{2,4,6,8}．‎ ‎16．下列命题中，是假命题的是________．‎ ‎①存在α，β∈R，有tan(α＋β)＝tan α＋tan β；‎ ‎②对任意x>0，有lg2x＋lg x＋1>0；‎ ‎③△ABC，A>B的充要条件是sin A>sin B；‎ ‎④对任意φ∈R，函数y＝sin(2x＋φ)都不是偶函数．‎ ‎【答案】④‎