四川省棠湖中学2020届高三下学期第四学月考试数学（理）试题

四川省棠湖中学2020届高三下学期第四学月考试数学（理）试题

‎2020年春四川省棠湖中学高三第四学月考试 理科数学 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合，则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.若，则 A. B. C. D. ‎ ‎3.已知实数、满足约束条件，则的最大值为 A. B. C. D.‎ ‎4.“”是“直线的倾斜角大于”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎5.如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺. ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.在精准扶贫工作中，有6名男干部、5名女干部，从中选出2名男干部、1名女干部组成一个扶贫小组分到某村工作，则不同的选法共有 ‎ A．60种 B．70种 C．75种 D．150种 ‎7.已知，是两条不重合的直线，是一个平面，则下列命题中正确的是 ‎ A.若，，则 B.若，，则 10‎ C.若，，则 D.若，，则 ‎8.函数（其中，，）的图象如图，则此函数表达式为 ‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎9.已知，则 ‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎10.已知向量=，.若，则的取值范围是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎11.正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成角，则正三棱锥的外接球的体积为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎12.若关于的不等式在内恒成立，则满足条件的整数的最大值为 ‎ A. B. C. D.‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13.求值：_________．‎ ‎14.若等比数列的前项和为,且，，则____．‎ ‎15．已知多项式的各项系数之和为32，则展开式中含项的系数为______．‎ ‎16.已知抛物线：的焦点为，且到准线的距离为2，直线：与抛物线交于，两点（点在轴上方），与准线交于点，若 10‎ ‎，则________.‎ 三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17.（12分）在中，是上的点，平分，.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（II）若，求的长．‎ ‎18．（12分）某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分．现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下：‎ 等级 不合格 合格 得分 频数 ‎6‎ ‎24‎ ‎（Ⅰ）由该题中频率分布直方图求测试成绩的平均数和中位数；‎ ‎（II）其他条件不变，在评定等级为“合格”的学生中依次抽取2人进行座谈，每次抽取1人，求在第1次抽取的测试得分低于80分的前提下，第2次抽取的测试得分仍低于80分的概率；‎ ‎（III）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈．现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为，求的数学期望．‎ ‎19.（12分）如图，矩形中，，，在边上，且，将沿折到的位置，使得平面平面.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值.‎ 10‎ ‎20.（12分）已知，动点在：上运动.线段的中垂线与交于.‎ ‎（Ⅰ）求点的轨迹的方程；‎ ‎（II）设、、三点均在曲线上，且，（为原点），求的范围.‎ ‎21.（12分）已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的导函数的单调性；‎ ‎（II）若函数在处取得极大值，求a的取值范围．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ 10‎ ‎（II）设P（0，-1），直线l与C的交点为M，N，线段MN的中点为Q，求.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知，，；‎ ‎（Ⅰ）若，，求的解集.‎ ‎（II）若最小值为1，求最大值.‎ 10‎ ‎2020年春四川省棠湖中学高三第四学月考试 理科数学答案 ‎1.B 2.D ‎3.C 4.A 5.B ‎6.C 7.D 8.B ‎9.C 10.D 11.D ‎‎12.C ‎13.1 14.511 15 -3 16.‎ ‎17.在中，，又因为，.‎ ‎（2），由正弦定理得，设，则，则.‎ 因为，‎ 所以，解得. .‎ ‎18.由题意知，样本容量为，‎ ‎．‎ ‎（1）平均数为，‎ 设中位数为，因为，所以，则，‎ 解得．‎ ‎（2）由题意可知，分数在内的学生有24人，分数在内的学生有12人．设“第1次抽取的测试得分低于80分”为事件，“第2次抽取的测试得分低于80分”为事件，‎ 则，所以．‎ ‎（3）在评定等级为“合格”和“不合格”的学生中用分层抽样的方法抽取10人，则“不合格”的学生人数为，“合格”的学生人数为．由题意可得的所有可能取值为0,5,10,15,20．‎ ‎，‎ ‎．‎ 10‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎．‎ ‎19.（Ⅰ）连接交于点，依题意得，所以 ，‎ 所以，所以，所以，‎ 即，，又，,平面.‎ 所以平面.又平面，所以.‎ ‎（Ⅱ）因为平面平面，由（Ⅰ）知，平面，‎ 以为原点，建立空间直角坐标系如图所示.‎ 在中，易得，，，‎ 所以，，，则，，‎ 设平面的法向量，则，即，解得，‎ 令，得， 显然平面的一个法向量为.‎ 所以 ，所以二面角的余弦值为.‎ ‎20.（1）‎ 点轨迹是以、为焦点椭圆.，，，.‎ 10‎ ‎（2）当斜率存在时，设，令两根为，.由.，.‎ 代入，，即.‎ 故.‎ ‎，，.‎ 当轴时，易求，范围是.‎ ‎21.（1）∵，∴，∴，‎ ‎①当时，，∴函数在上单调递增；‎ ‎②当时，若，则；若，则，‎ ‎∴函数在上单调递增，在上单调递减．综上所述，当时．函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，在上单调递减．‎ ‎（2）∵，∴．①由（1）知，当时，在上单调递增，‎ 若，则；若，则，‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减，∴在处取得极小值；不合题意；‎ 10‎ ‎②当时，在上单调递增，在上是单调递减，∴，‎ ‎∴在上单调递减．∴无极值，不合题意；‎ ‎③当时，，由（1）知，在上单调递增，∵，‎ ‎∴若，则；若，则，‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减，∴在处取得极小值，不合题意；‎ ‎④当时，，由（1）知，在上单调递减，∵，‎ ‎∴若，则；若，则．∴在上单调递增，在上单调递减，∴在处取得极大值，符合题意．综上所述，a的取值范围是．‎ ‎22.（1）直线l的参数方程为（t为参数）．消去参数t可得直线l的普通方程为 ‎ 由，得，则，即，曲线C普通方程为 （2）将l的参数方程代入，得，设两根为， ‎ 则，为M，N对应的参数，且 所以，线段MN的中点为Q对应的参数为，所以，‎ ‎23.（1），时，，解： 解得：.‎ 10‎ ‎（2）当时，，.‎ ‎.当即时. 最大值为.‎ 10‎