数学卷·2017届江西省抚州市临川区第一中学高三4月模拟检测理科数学（详细答案版）（解析版）

数学卷·2017届江西省抚州市临川区第一中学高三4月模拟检测理科数学（详细答案版）（解析版）

江西省抚州市临川区第一中学2017届高三4月模拟检测理科数学 一、选择题：共12题 ‎1．已知集合，集合，则中元素的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题主要考查集合的基本运算、对数函数.，集合，则中元素的个数为3‎ ‎ ‎ ‎2．已知为虚数单位，且复数满足，若为实数，则实数的值为 A.4 B.3 C.2 D.1‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题主要考查复数的四则运算.,因为为实数，所以，则 ‎ ‎ ‎3．已知函数为定义在上的偶函数，且在上单调递增，则的解集为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题主要考查抽象函数的性质，考查了逻辑推理能力.因为函数为定义在上的偶函数，所以=0，，又因为函数 在上单调递增，且，所以，故答案为C ‎ ‎ ‎4．将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，再把所得函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，则函数图象的一条对称轴的方程为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题主要考查三角函数的图像与性质，考查了学生对三角函数的图像与性质的掌握情况.由题意可得,因为,故答案为B ‎ ‎ ‎5．已知焦点在轴上，渐近线方程为的双曲线的离心率和曲线的离心率之积为1，则的值为 A. B. C.3或4 D.或 ‎【答案】D ‎【解析】本题主要考查椭圆与性质，考查了逻辑推理能力与计算能力.因为双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，所以双曲线的离心率e=，所以椭圆的离心率为，当椭圆的焦点在x轴上时，，则b=，当焦点在y轴上时，,b=,故答案为D.‎ ‎ ‎ ‎6．运行如图所示的程序框图，输出的值为 A.0 B. C.-1 D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题主要考查当型循环结构程序框图，考查了逻辑思维能力.由程序框图可知，的周期是6，且在一个周期内的函数值为0，所以当i=2017时，S=‎ ‎ ‎ ‎7．下列说法正确的个数为 ‎①对于不重合的两条直线，“两条直线的斜率相等”是“两条直线平行”的必要不充分条件；‎ ‎②命题“”的否定是“”；‎ ‎③“且为真”是“或为真”的充分不必要条件；‎ ‎④已知直线和平面，若，则.‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题主要考查常用逻辑用语，考查了逻辑思维能力.①错误，因为当“两条直线的斜率相等”，则“两条直线平行”，即充分性成立，故；②显然错误，因为特称命题否定时，任意符号要化为存在符号；③正确，因为“且为真”，则与均为真，“或为真”，则与至少有一个真；由直线与平面垂直的定理可知，④正确，故答案为B ‎ ‎ ‎8．已知直线与圆相切，则的最大值为 A.1 B.-1 C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了逻辑推理能力与计算能力.因为直线与圆相切，所以,即，令是参数)，即，令,则,即，由二次函数的性质可知，当时，的最大值为 ‎ ‎ ‎9．已知等比数列的前项和为，则的极大值为 A.2 B.3 C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题主要考查等比数列的通项公式与前项和公式、导数、函数的性质与极值，考查了逻辑推理能力与计算能力.令n=1,2,3可得，,,因为等比数列是等比数列，则a1a3=a22,所以，,,易得函数在上是增函数，在上是减函数，所以函数极大值是 ‎ ‎ ‎10．“今有垣厚七尺八寸七有五，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”，意思是“今有土墙厚7.875尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢需要的天数为 A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题主要考查等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了分析问题与解决问题的能力.由题意可知，大鼠打洞成等比数列，首项为1，公比为2，小鼠打洞成等比数列，首项与公比均为，设n天两鼠相逢，因此，由等比数列的前n项和可得,求解可得n=3.‎ ‎ ‎ ‎11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题主要考查空间几何体的三视图、球的表面积与体积，考查了空间想象能力与逻辑推理能力.由三视图可知，该几何体是三棱锥：底面是两腰长为3、底边长为4的等腰三角形，过底面等腰三角形顶点的侧棱长为4且垂直于底面，设等腰三角形的顶角为，由余弦定理可得，，由正弦定理可得底面三角形外接圆的直径2r=，则球的直径2R=,所以外接球表面积为 ‎ ‎ ‎12．已知函数，若，则方程有五个不同根的概率为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题主要考查函数的图像与性质、几何概型，考查了数形结合思想与逻辑思维能力.作出函数的图像，如图(1)，令,因为方程有五个不同根，所以方程有两个不同根t1,t2，由函数的图像易知,令,由二次函数的性质可得,表示边长为2的正方形，面积为4，如图(2)，不等式组表示的平面区域的面积为，所以方程有五个不同根的概率为 二、填空题：共4题 ‎13．已知直线与抛物线围成的区域的面积为，则的展开式的常数项为         .‎ ‎【答案】160‎ ‎【解析】本题主要考查定积分、二项式定理，考查了计算能力. 直线与抛物线交点坐标为(0,0),(1,1),则,所以n=6，的展开式的常数项即为的展开式项的系数与常数项的系数之和，通项,令，无解；令=0得r=3，故答案为160.‎ ‎ ‎ ‎14．已知满足约束条件，且目标函数的最大值为4，则的最小值为         .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题主要考查线性规划与基本不等式，考查了数形结合思想与计算能力.作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，由目标函数z与直线在y轴上的截距之间的关系可知，当直线过点A(2,2)时目标函数z取得最大值4，即a+b=2,则,当且仅当，即,时，等号成立.‎ ‎ ‎ ‎15．已知直线与抛物线交于两点，抛物线的焦点为，则的值为         .‎ ‎【答案】-11‎ ‎【解析】本题主要考查直线与抛物线的位置关系、平面向量的数量积，考查了计算能力.令点A在第一象限，点B在第四象限，联立与，求解可得交点A(),B(),又F(2,0), 则 ‎ ‎ ‎16．已知数列中，，若对于任意的，不等式恒成立，则的取值范围为         .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题主要考查数列通项公式、递推公式的应用，考查了恒成立问题与函数的思想、逻辑推理能力与计算能力.由可得,则 ‎,,,,以上各式相加可得,因为不等式恒成立，所以,即对于任意的恒成立，则，求解可得，故答案为 三、解答题：共7题 ‎17．若函数，其中，函数的图象与直线相切，切点的横坐标依次组成公差为的等差数列，且为偶函数.‎ ‎(1)试确定函数的解析式与的值；‎ ‎(2)在中，三边的对角分别为，且满足，的面积为，试求的最小值.‎ ‎【答案】(1)‎ ‎，‎ 由函数的图象与直线相切可得.‎ ‎∵为偶函数，∴，∴，∵，‎ ‎∴，由题意可得，∴，‎ ‎∴函数的解析式为.‎ ‎(2)由(1)知函数，∵，‎ ‎∴，又，∴，‎ ‎∵，∴，‎ 根据余弦定理可得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，当且仅当时，取等号，故的最小值为.‎ ‎【解析】本题主要考查三角函数的性质、二倍角公式、两角和与差公式、正弦定理与余弦定理、三角形的面积公式，考查了逻辑推理能力与计算能力.(1)利用二倍角公式、两角和与差公式化简可得，易，由偶函数可得，由题意可知周期为，则可得的值，即可得出结果；(2) 由(1)的结论与，求出角C；利用三角形的面积公式可得，再利用余弦定理，结论基本不等式求解可得结论.‎ ‎ ‎ ‎18．某相关部门推出了环境执法的评价与环境质量的评价系统，每项评价只有满意和不满意两个选项，市民可以随意进行评价，某工作人员利用随机抽样的方法抽取了200位市民的信息，发现对环境质量满意的占60%，对执法力度满意的占75%，其中对环境质量与执法力度都满意的为80人.‎ ‎(1)是否可以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为环境质量与执法力度有关？‎ ‎(2)为了改进工作作风，从抽取的200位市民中对执法力度不满意的再抽取3位进行家里访征求意见，用表示3人中对环境质量与执法力度都不满意的人数，求的分布列与期望.‎ 附：.‎ ‎【答案】(1)对环境质量满意的为人，对执法力度满意的为人，对环境质量与执法力度都满意的为80人，列出列联表如下：‎ 所以，所以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，可以认为环境质量与执法力度有关.‎ ‎(2)随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，‎ ‎；，‎ ‎∴的分布列为 ‎.‎ ‎【解析】本题主要考查独立性检验及其应用、离散型随机变量的分布列与期望，考查了分析问题与解决问题的能力.(1)由题意易得列联表，将表中数据代入公式可得的观测值，再对照概率对照表，即可得出结论；(2) 随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，求出每一个变量的概率，即可得分布列与期望.‎ ‎ ‎ ‎19．如图，在梯形中，，.，且平面，，点为上任意一点.‎ ‎(1)求证：；‎ ‎(2)点在线段上运动(包括两端点)，若平面与平面所成的锐二面角为60°，试确定点的位置.‎ ‎【答案】(1)证明：∵，，∴，‎ 连接，在中，，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∵平面，∴，又，‎ ‎∴平面，∵平面，∴.‎ ‎(2)以为坐标原点，分别以直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，‎ 设，则，‎ ‎∴，故，‎ ‎∴，‎ 设平面的法向量为，则，‎ 即，‎ 令，可得，∴.‎ 易知平面的一个法向量为，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴点与点重合.‎ ‎【解析】本题主要考查线面垂直的判定与性质、二面角、空间向量的应用，考查了空间想象能力与逻辑思维能力.(1)证明，即可得平面，则结论可得；(2) 以为坐标原点，分别以直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，得，求出平面的一个法向量，易知平面的一个法向量为，由向量的夹角公式可得，求解可得结果.‎ ‎ ‎ ‎20．已知动圆与圆外切，与圆内切.‎ ‎(1)试求动圆圆心的轨迹方程；‎ ‎(2)过定点且斜率为的直线与(1)中轨迹交于不同的两点，试判断在轴上是否存在点，使得以为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数的范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】(1)由得，由得，设动圆的半径为，两圆的圆心分别为，则，∴，根据椭圆的定义可知，点的轨迹为以为焦点的椭圆，∴，‎ ‎∴，∴动圆圆的轨迹方程为.‎ ‎(2)存在，直线的方程为，设，的中点为.假设存在点，使得以为邻边的平行四边形为菱形，则，‎ 由，得，‎ ‎，∴，，‎ ‎∵，∴，即，‎ ‎∴，‎ 当时，，∴；‎ 当时，，∴.‎ 因此，存在点，使得以为邻边的平行四边形为菱形，且实数的取值范围为.‎ ‎【解析】本题主要考查两个圆的位置关系、椭圆的定义、方程与性质、直线的斜率与方程，考查了方程思想与分类讨论思想、逻辑推理能力与计算能力.(1) 设动圆的半径为，两圆的圆心分别为，由题意可得，根据椭圆的定义易得结论；(2) 由，得，利用韦达定理，根据题意可得，化简可得，再分、两种情况讨论求解即可.‎ ‎ ‎ ‎21．已知函数.‎ ‎(1)求函数的单调区间；‎ ‎(2)若对于任意，，恒有成立，试求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)函数的定义域为，，‎ 当时，函数在上单调递减，在上单调递增；‎ 当时，函数在上单调递增，在上单调递减；‎ 当时，函数的上单调递增；‎ 当时，函数在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎(2)恒成立，即恒成立，‎ 不妨设，因为当时，在上单调递减，则，可得，设，‎ ‎∴对于任意的，，恒成立，∴在上单调递增，在上恒成立，‎ ‎∴在上恒成立，‎ 即在上恒成立，‎ ‎∵当时，，∴只需在上恒成立，‎ 即在上恒成立，‎ 设，则，‎ ‎∴，故实数的取值范围为.‎ ‎【解析】本题主要考查导数与函数的性质，考查了恒成立问题、分类讨论思想、逻辑思维能力与计算能力.(1) 函数的定义域为，，分、、、四种情况讨论的符号，即可得出结论；(2)由题意，‎ 恒成立，不妨设，由(1)知，在上单调递减，则，设，∴对于任意的，，恒成立，即在上单调递增，求出导数在上恒成立，即在上恒成立，由，所以只需在上恒成立，求出的最小值，即可得出结论.‎ ‎ ‎ ‎22．平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数)，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)写出直线的极坐标方程与曲线的直角坐标方程；‎ ‎(2)已知与直线平行的直线过点，且与曲线交于两点，试求.‎ ‎【答案】(1)把直线的参数方程化为普通方程为，∵，‎ ‎∴直线的极坐标方程为，‎ 由，可得，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为.‎ ‎(2)直线的倾斜角为，‎ ‎∴直线的倾斜角也为，又直线过点，‎ ‎∴直线的参数方程为为参数)，‎ 将其代入曲线的直角坐标方程可得，‎ 设点对应的参数分别为.‎ 由一元二次方程的根与系数的关系知，‎ ‎∴.‎ ‎【解析】本题主要考查参数方程与极坐标，考查了参直与极直互化、方程思想与弦长公式以及参数的几何意义.(1)消去参数t可得直线l的普通方程，再由公式可得直线l的极坐标方程；曲线的极坐标方程整理可得，再由公式可得曲线C的直角坐标方程；(2)由题意可得直线的倾斜角为，可得参数方程为，代入曲线C的直角坐标方程，由韦达定理，利用参数的几何意义求解可得结果.‎ ‎ ‎ ‎23．已知函数.‎ ‎(1)解不等式；‎ ‎(2)若对于任意的，都有，使得，试求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)当时，，解得；‎ 当时，，解得，不符合题意；‎ 当时，，解得，‎ 所以原不等式的解集为.‎ ‎(2)由(1)知，根据函数的图象可知，当时，取得最小值，且，‎ 易知，‎ ‎∵对于任意的，都有，使得，‎ ‎∴，∴，∴的取值范围为.‎ ‎【解析】本题主要考查含绝对值不等式的解法、绝对值不等式的应用，考查了分类讨论思想、恒成立问题与存在问题、逻辑推理能力与计算能力.(1)由题意，分、、三种情况讨论，去绝对值求解即可；(2)利用绝对值三角不等式分别求出的最小值，由题意可得，则结论易得.‎