2017届高考文科数学（全国通用）二轮文档讲义：第2编专题2-5-2点、直线、平面之间的位置关系

2017届高考文科数学（全国通用）二轮文档讲义：第2编专题2-5-2点、直线、平面之间的位置关系

第二讲　点、直线、平面之间的位置关系 ‎ ‎ ‎[必记定理]‎ ‎1．线面平行与垂直的判定定理、性质定理 ‎2.面面平行与垂直的判定定理、性质定理 ‎[重要结论]‎ ‎1．三种平行关系的转化 ‎2．三种垂直关系的转化 ‎[失分警示]‎ ‎1．忽视线面平行判定定理的条件：证明线面平行时，忽视“直线在平面外”“直线在平面内”的条件．‎ ‎2．忽视线面垂直判定定理的条件：证明线面垂直时，忽视“平面内两条相交直线”这一条件．‎ ‎3．关注面面垂直的性质定理的条件：当题目涉及面面垂直的条件时，一般用此定理转化为线面垂直，应用时注意在面面垂直的前提下，过平面内一点，垂直于两平面交线的直线应在其中一个平面内．‎ ‎ ‎ 考点　线、面位置关系与命题真假的判断　　‎ 典例示法 典例1　　(1)[2016·广州五校联考]已知a，b是空间中两条不同的直线，α，β是空间中两个不同的平面，下列命题中正确的是(　　)‎ A．若直线a∥b，b⊂α，则a∥α B．若平面α⊥β，a⊥α，则a∥β C．若平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b D．若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β ‎[解析]　构造长方体ABCD－A1B1C1D1.‎ 对于A，若AB∥CD，CD⊂平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，A错；对于 B，平面ABB1A1⊥平面ABCD，AD⊥平面ABB1A1，但AD⊂平面ABCD，B错；对于C，若平面A1B1C1D1∥平面ABCD，B1C1⊂平面A1B1C1D1，AB⊂平面ABCD，但B1C1不平行于AB，C错；对于D，若A1B1⊥平面BCC1B1，AB⊥平面ADD1A1，AB∥A1B1，则平面BCC1B1∥平面ADD1A1，D正确．故选D.‎ ‎[答案]　D ‎(2)[2015·安徽高考]已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是(　　)‎ A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行 C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面 ‎[解析]　A中，垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行，故A错误；B中，平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，故B错误；C中，若两个平面相交，则一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行，故C错误；D中，若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以若两条直线不平行，则它们不可能垂直于同一个平面，故D正确．‎ ‎[答案]　D 求解空间线面位置关系的组合判断题的两大思路 ‎(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理逐项判断．‎ ‎(2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定．‎ 针对训练 ‎1.[2016·江西南昌调研]已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m，n，则下列四个命题中不正确的是(　　)‎ A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α B．若m⊥α，m⊥β，则α∥β C．若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β D．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n 答案　D 解析　易知A、B正确；对于C，因为m⊥α，m∥n，所以n⊥α，又n⊂β，所以β⊥α，即C正确；对于D，因为m∥α，α∩β＝n，所以m∥n或m与n是异面直线，故D不正确．‎ ‎2. [2016·郑州高三质检]如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是(　　)‎ A．BM是定值 B．点M在某个球面上运动 C．存在某个位置，使DE⊥A1C D．存在某个位置，使MB∥平面A1DE 答案　C 解析　延长CB至F，使CB＝BF，连接A1F，可知MB为△A1FC的中位线，即MB＝A1F，因为在翻折过程中A1F为定值，所以BM为定值．点A1绕DE的中点、以定长为半径做圆周运动，点M运动的轨迹与点A1相似，也是圆周运动，所以点M在某个球面上运动．由题知DE⊥EC，若DE⊥A1C，则直线DE⊥平面ECA1，于是∠DEA1＝90°，又因为∠DAE＝90°，即∠DA1E＝90°，此时在一个三角形中有两个直角，所以DE不可能垂直于A1C.因为MB綊A1F，由图可知A1F在平面A1DE内，所以存在某个位置使得MB∥平面A1DE.‎ 考点　空间平行关系的证明　　‎ 典例示法 题型1　线面平行的判定与性质 典例2　　如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．‎ ‎(1)证明：BC1∥平面A1CD；‎ ‎(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2，求三棱锥C－A1DE的体积．‎ ‎[解]　(1)证明：连接AC1交A1C于点F，则F为AC1中点．‎ 由D是AB中点，连接DF，则BC1∥DF.‎ 因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.‎ ‎(2)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，‎ 所以AA1⊥CD.由已知AC＝CB，D为AB的中点，‎ 所以CD⊥AB.‎ 又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1.‎ 由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2得 ‎∠ACB＝90°，CD＝，A1D＝，DE＝，A1E＝3，‎ 故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D.‎ 所以VC－A1DE＝××××＝1.‎ 题型2　面面平行的判定与性质 典例3　　如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：‎ ‎(1)平面EFG∥平面ABC；‎ ‎(2)BC⊥SA.‎ ‎[证明]　(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.‎ 因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，‎ 所以EF∥平面ABC.‎ 同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，‎ 所以平面EFG∥平面ABC.‎ ‎(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.‎ 因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.‎ 又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB⊂平面SAB，‎ 所以BC⊥平面SAB.‎ 因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.‎ 立体几何中证明平行关系的常用方法 ‎(1)证明线线平行的常用方法 ‎①利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行．‎ ‎②利用平行四边形进行转换．‎ ‎③利用三角形中位线定理证明．‎ ‎④利用线面平行、面面平行的性质定理证明．‎ ‎(2)证明线面平行的常用方法 ‎①利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证明线线平行．‎ ‎②利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证明面面平行．‎ ‎(3)证明面面平行的方法 证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行．‎ 考点　空间垂直关系的证明　　‎ 典例示法 题型1　线线、线面垂直的判定与性质 典例4　　[2016·山西四校联考] ‎ 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是正三角形，点D是A1B1的中点，AC＝2，CC1＝.‎ ‎(1)求三棱锥C－BDC1的体积；‎ ‎(2)证明：A1C⊥BC1.‎ ‎[解]　(1)依题意，VC－BDC1＝VD－BCC1，‎ 过点D作DH⊥C1B1，垂足为H，在直三棱柱中C1C⊥平面A1B1C1，∴C1C⊥DH，‎ ‎∴DH⊥平面BCC1，∴DH是三棱锥D－BCC1在平面BCC1上的高，∴DH＝，‎ 又S△BCC1＝×2×＝，∴VC－BDC1＝VD－BCC1＝××＝.‎ ‎(2)证明：取C1B1的中点E，连接A1E，CE，‎ ‎∵底面是正三角形，∴A1E⊥B1C1，易知A1E⊥BC1，‎ Rt△C1CE中，C1C＝，C1E＝1，‎ Rt△BCC1中，BC＝2，CC1＝，∴＝，‎ ‎∴△CC1E∽△BCC1，‎ ‎∴∠C1BC＝∠ECC1，∠C1BC＋∠BC1C＝90°，‎ ‎∴∠ECC1＋∠BC1C＝90°，‎ ‎∴CE⊥BC1，‎ ‎∴BC1⊥平面A1CE，∴A1C⊥BC1.‎ 题型2　面面垂直的判定与性质 典例5　　[2015·山东高考]如图，三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．‎ ‎(1)求证：BD∥平面FGH；‎ ‎(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.‎ ‎[证明]　(1)证法一：连接DG，CD，设CD∩GF＝M，连接MH.在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，‎ 所以四边形DFCG为平行四边形，‎ 则M为CD的中点，又H为BC的中点，‎ 所以HM∥BD.‎ 又HM⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，‎ 所以BD∥平面FGH.‎ 证法二：在三棱台DEF－ABC中，‎ 由BC＝2EF，H为BC的中点，‎ 可得BH∥EF，BH＝EF，‎ 所以四边形HBEF为平行四边形，‎ 可得BE∥HF.‎ 在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，‎ 所以GH∥AB.‎ 又GH∩HF＝H，所以平面FGH∥平面ABED.‎ 因为BD⊂平面ABED，‎ 所以BD∥平面FGH.‎ ‎(2)连接HE，GE.‎ 因为G，H分别为AC，BC的中点，‎ 所以GH∥AB，‎ 由AB⊥BC，得GH⊥BC.‎ 又H为BC的中点，‎ 所以EF∥HC，EF＝HC，‎ 因此四边形EFCH是平行四边形，‎ 所以CF∥HE.‎ 又CF⊥BC，所以HE⊥BC.‎ 又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H，‎ 所以BC⊥平面EGH.‎ 又BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH.‎ 立体几何中证明垂直关系的常用方法 ‎(1)证明线线垂直的常用方法 ‎①利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直．‎ ‎②利用勾股定理逆定理．‎ ‎③利用线面垂直的性质，即要证明线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可．‎ ‎(2)证明线面垂直的常用方法 ‎①利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直．‎ ‎②利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证明面面垂直．‎ ‎③利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面等．‎ ‎(3)证明面面垂直的方法 证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决．‎ ‎ ‎ ‎ [全国卷高考真题调研]‎ ‎1．[2016·全国卷Ⅰ]平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　因为过点A的平面α与平面CB1D1平行，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，所以m∥B1D1∥BD，又A1B∥平面CB1D1，所以n∥A1B，则BD与A1B所成的角为所求角，所以m，n所成角的正弦值为，选A.‎ ‎2．[2015·全国卷Ⅰ]如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.‎ ‎(1)证明：平面AEC⊥平面BED；‎ ‎(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E－ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．‎ 解　(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.‎ 因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE.故AC⊥平面BED.‎ 又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.‎ ‎(2)设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝x，GB＝GD＝.‎ 因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝x.‎ 由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE＝x.‎ 由已知得，三棱锥E－ACD的体积VE－ACD＝×AC·GD·BE＝x3＝.故x＝2.‎ 从而可得AE＝EC＝ED＝.‎ 所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为.‎ 故三棱锥E－ACD的侧面积为3＋2.‎ ‎3. [2016·全国卷Ⅰ]如图，已知正三棱锥P－ABC的侧面是直角三角形，PA＝6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.‎ ‎(1)证明：G是AB的中点；‎ ‎(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积．‎ 解　(1)证明：因为P在平面ABC内的正投影为D，所以AB⊥PD.‎ 因为D在平面PAB内的正投影为E，所以AB⊥DE.‎ 又PD∩DE＝D，所以AB⊥平面PED，故AB⊥PG.‎ 又由已知可得，PA＝PB，从而G是AB的中点．‎ ‎(2)在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影．‎ 理由如下：由已知可得PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC，又PA∩PC＝P，因此EF⊥平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影．‎ 连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心，由(1)知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD＝CG.‎ 由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此PE＝PG，DE＝PC.‎ 由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA＝6，可得DE＝2，PE＝2.‎ 在等腰直角三角形EFP中，可得EF＝PF＝2，‎ 所以四面体PDEF的体积V＝××2×2×2＝.‎ ‎[其它省市高考题借鉴]‎ ‎4．[2016·浙江高考]已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(　　)‎ A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n 答案　C 解析　因为α∩β＝l，所以l⊂β，又n⊥β，所以n⊥l.故选C.‎ ‎5．[2015·广东高考]若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(　　)‎ A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交 C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交 答案　D 解析　解法一：如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确，选D.‎ 解法二：因为l分别与l1，l2共面，故l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交．若l与l1，l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，从而l1∥l2，与l1，l2是异面直线矛盾，故l至少与l1，l2中的一条相交，选D.‎ ‎6．[2014·辽宁高考]已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是(　　)‎ A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α 答案　B 解析　A选项m、n也可以相交或异面，C选项也可以n⊂α，D选项也可以n∥α或n与α斜交．根据线面垂直的性质可知选B.‎ ‎ ‎ 一、选择题 ‎1．[2016·银川一中一模]已知直线m、n和平面α，则m∥n的必要非充分条件是(　　)‎ A．m、n与α成等角 B．m⊥α且n⊥α C．m∥α且n⊂α D．m∥α且n∥α 答案　A 解析　m∥n⇒m、n与α成等角，若m、n与α成等角，m、n不一定平行，故选A.‎ ‎2．[2016·“江南十校”高三联考]下列结论正确的是(　　)‎ A．若直线l∥平面α，直线l∥平面β，则α∥β B．若直线l⊥平面α，直线l⊥平面β，则α∥β C．若两直线l1、l2与平面α所成的角相等，则l1∥l2‎ D．若直线l上两个不同的点A、B到平面α的距离相等，则l∥α 答案　B 解析　A选项，α与β可能相交；C选项，l1，l2可能相交或异面；D选项，l可能与α相交，A、B在平面α两侧；B正确，故选B.‎ ‎3．[2015·广东高考]若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值(　　)‎ A．至多等于3 B．至多等于4‎ C．等于5 D．大于5‎ 答案　B 解析　首先我们知道正三角形的三个顶点满足两两距离相等，于是可以排除C、D.又注意到正四面体的四个顶点也满足两两距离相等，于是排除A，故选B.‎ ‎4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是(　　)‎ A．MN与CC1垂直 B．MN与AC垂直 C．MN与BD平行 D．MN与A1B1平行 答案　D 解析　如图，连接C1D，BD，AC，在△C1DB中，易知MN∥BD，故C正确；∵CC1⊥平面ABCD，‎ ‎∴CC1⊥BD，‎ ‎∴MN与CC1垂直，故A正确；∵AC⊥BD，MN∥BD，‎ ‎∴MN与AC垂直，故B正确；‎ ‎∵A1B1与BD异面，MN∥BD，∴MN与A1B1不可能平行，故D错误，选D.‎ ‎5．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，点H在棱AA1上，且HA1＝1.点E，F分别为棱B1C1，C1C的中点，P是侧面BCC1B1内一动点，且满足PE⊥PF.则当点P运动时，HP2的最小值是(　　)‎ A．7－ B．27－6 C．51－14 D．14－2 答案　B 解析　如图所示，以EF为直径，在平面BCC1B1内作圆，易知点P在该圆上，该圆的半径为EF＝，再过点H引BB1的垂线，垂足为G，连接GP，∴HP2＝HG2＋GP2，其中HG为4，因此当GP最小时，HP取得最小值，此时GP＝3－，∴HP2＝(3－)2＋42＝9－6＋2＋16＝27－6，∴HP2的最小值为27－6.故选B.‎ ‎6. 如图，在Rt△AOB中，∠OAB＝，斜边AB＝4.Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B－AO－C是.点D为斜边AB的中点，则异面直线AO与CD所成角的大小为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　如图，∵AO⊥OB，AO⊥OC，∴∠BOC＝，∵AB＝4，∠OAB＝，∴OB＝OC＝2，过点D作DE⊥OB，垂足为E，连接CE，则DE∥AO，∴∠CDE为异面直线AO与CD所成的角，∵OE＝1，OC＝2，∠BOC＝，∴CE＝，∵点D为AB的中点，∴DE＝，∴Rt△DEC是等腰直角三角形，∴∠CDE＝，即异面直线AO与CD所成角的大小为.‎ 二、填空题 ‎7．给定下列四个命题：‎ ‎①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；‎ ‎②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；‎ ‎③垂直于同一直线的两条直线相互平行；‎ ‎④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．‎ 其中，为真命题的是________．(写出所有真命题的序号)‎ 答案　②④‎ 解析　对于①，若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行或相交，所以①不正确．对于②，若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，这是判定定理，②正确．对于③，垂直于同一直线的两条直线可能相互平行，也可能是异面直线，③不正确．对于④，若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直，④正确．‎ ‎8．[2016·江南十校联考]已知△ABC的三边长分别为AB＝5，BC＝4，AC＝3，M 是AB边上的点，P是平面ABC外一点．给出下列四个命题：‎ ‎①若PA⊥平面ABC，则三棱锥P－ABC的四个面都是直角三角形；‎ ‎②若PM⊥平面ABC，且M是AB边的中点，则有PA＝PB＝PC；‎ ‎③若PC＝5，PC⊥平面ABC，则△PCM面积的最小值为；‎ ‎④若PC＝5，P在平面ABC上的射影是△ABC内切圆的圆心，则点P到平面ABC的距离为.‎ 其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)‎ 答案　①②④‎ 解析　由题意知AC⊥BC，对于①，若PA⊥平面ABC，则PA⊥BC，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，因此该三棱锥P－ABC的四个面均为直角三角形，①正确；对于②，由已知得M为△ABC的外心，所以MA＝MB＝MC.∵PM⊥平面ABC，则PM⊥MA，PM⊥MB，PM⊥MC，由三角形全等可知PA＝PB＝PC，故②正确；对于③，要使△PCM的面积最小，只需CM最短，在Rt△ABC中，(CM)min＝，∴(S△PCM)min＝××5＝6，故③错误；对于④，设P点在平面ABC内的射影为O，且O为△ABC的内心，由平面几何知识得△ABC的内切圆半径r＝1，且OC＝，在Rt△POC中，PO＝＝，‎ ‎∴点P到平面ABC的距离为，故④正确．‎ ‎9. [2015·大连高三双基测试]如图，∠ACB＝90°，DA⊥平面ABC，AE⊥DB交DB于E，AF⊥‎ DC交DC于F，且AD＝AB＝2，则三棱锥D－AEF体积的最大值为________．‎ 答案　 解析　因为DA⊥平面ABC，所以DA⊥BC，又BC⊥AC，所以BC⊥平面ADC，BC⊥AF，又AF⊥CD，所以AF⊥平面DCB，AF⊥DB，又DB⊥AE，所以DB⊥平面AEF，所以DE为三棱锥D－AEF的高，且AF⊥EF.AE为等腰三角形ABD斜边上的高，所以AE＝，设AF＝a，FE＝b，则底面△AEF的面积S＝ab≤·＝×＝，所以三棱锥D－AEF的体积V≤××＝(当且仅当a＝b＝1时等号成立)．‎ 三、解答题 ‎10．[2016·湖南六校联考]如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝CD＝1.现以AD为一边向梯形外作矩形ADEF，然后沿边AD将矩形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直．‎ ‎(1)求证：BC⊥平面BDE；‎ ‎(2)若点D到平面BEC的距离为，求三棱锥F－BDE的体积．‎ 解　(1)证明：在矩形ADEF中，ED⊥AD，‎ 因为平面ADEF⊥平面ABCD，‎ 所以ED⊥平面ABCD，所以ED⊥BC.‎ 又在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝1，CD＝2，∠BDC＝45°，所以BC＝，‎ 在△BCD中，BD＝BC＝，CD＝2，‎ 所以BD2＋BC2＝CD2，‎ 所以BC⊥BD，所以BC⊥平面BDE.‎ ‎(2)由(1)得，平面DBE⊥平面BCE，‎ 作DH⊥BE于点H，则DH⊥平面BCE，‎ 所以DH＝.‎ 在△BDE中，BD·DE＝BE·DH，‎ 即·DE＝()，解得DE＝1.‎ 所以VF－BDE＝VB－EFD＝××1×1×1＝.‎ ‎11．[2016·广州五校联考]如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，PA＝PD，∠BAD＝60°，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上．‎ ‎(1)求证：AD⊥平面PBE；‎ ‎(2)若Q是PC的中点，求证：PA∥平面BDQ；‎ ‎(3)若VP－BCDE＝2VQ－ABCD，试求的值．‎ 解　(1)证明：由E是AD的中点，PA＝PD可得AD⊥PE.‎ 又底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，‎ 所以AB＝BD，又因为E是AD的中点，所以AD⊥BE，‎ 又PE∩BE＝E，所以AD⊥平面PBE.‎ ‎(2)证明：连接AC，交BD于点O，连接OQ.‎ 因为O是AC的中点，‎ Q是PC的中点，‎ 所以OQ∥PA，‎ 又PA⊄平面BDQ，OQ⊂平面BDQ，‎ 所以PA∥平面BDQ.‎ ‎(3)设四棱锥P－BCDE，Q－ABCD的高分别为h1，h2.‎ 所以VP－BCDE＝S四边形BCDEh1，‎ VQ－ABCD＝S四边形ABCDh2.‎ 又因为VP－BCDE＝2VQ－ABCD，‎ 且S四边形BCDE＝S四边形ABCD，‎ 所以＝＝.‎ ‎12．[2016·郑州质检]如图，已知三棱柱ABC－A′B′C′的侧棱垂直于底面，AB＝AC，∠BAC＝90°，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．‎ ‎(1)证明：MN∥平面AA′C′C；‎ ‎(2)设AB＝λAA′，当λ为何值时，CN⊥平面A′MN，试证明你的结论．‎ 解　(1)证明：取A′B′的中点E，连接ME，NE.‎ 因为M，N分别为A′B和B′C′的中点，‎ 所以NE∥A′C′，ME∥AA′.‎ 又因为A′C′⊂平面AA′C′C，A′A⊂平面AA′C′C，NE⊄平面AA′C′C，ME⊄平面AA′C′C，‎ 所以ME∥平面AA′C′C，NE∥平面AA′C′C，‎ 所以平面MNE∥平面AA′C′C，‎ 因为MN⊂平面MNE，‎ 所以MN∥平面AA′C′C.‎ ‎(2)连接BN，设AA′＝a，则AB＝λAA′＝λa，‎ 由题意知BC＝λa，NC＝BN＝，‎ 因为三棱柱ABC－A′B′C′的侧棱垂直于底面，‎ 所以平面A′B′C′⊥平面BB′C′C，‎ 因为AB＝AC，点N是B′C′的中点，‎ 所以A′N⊥平面BB′C′C，所以CN⊥A′N，要使CN⊥平面A′MN，只需CN⊥BN即可，‎ 所以CN2＋BN2＝BC2，即2＝2λ2a2，‎ 解得λ＝，‎ 故当λ＝时，CN⊥平面A′MN.‎ 典题例证 如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.‎ ‎(1)求证：DC⊥平面PAC；‎ ‎(2)求证：平面PAB⊥平面PAC；‎ ‎(3)设点E为AB的中点．在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．‎ 审题过程 　利用线面垂直进行转化．‎ 　对于存在性问题，可以选通过特殊位置确定，再进行证明.‎ 　(1)证明：因为PC⊥平面ABCD，‎ 所以PC⊥DC.‎ 又因为DC⊥AC，且AC与PC相交于点C，‎ 所以DC⊥平面PAC.‎ ‎(2)证明：因为AB∥DC，DC⊥AC，‎ 所以AB⊥AC.‎ 因为PC⊥平面ABCD，‎ 所以PC⊥AB.‎ 所以AB⊥平面PAC.‎ 所以平面PAB⊥平面PAC.‎ ‎(3)棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.证明如下：‎ 如图，取PB中点F，连接EF，CE，CF.‎ 又因为E为AB的中点，所以EF∥PA.‎ 又因为PA⊄平面CEF，‎ 所以PA∥平面CEF.‎ 模型归纳 空间中平行与垂直的证明的模型示意图如下：‎