数学（文）卷·2017届湖南省衡阳市高三上学期期末考试（2017

数学（文）卷·2017届湖南省衡阳市高三上学期期末考试（2017

湖南省衡阳市2017届高三上学期期末考试数学（文科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 已知复数，（为虚数单位），则所对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3.已知：幂函数在上单调递增；，则是的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ ‎4.一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.已知函数，若，则（ ）‎ A． B． 0 C. 2 D．3‎ ‎6.已知实数满足，若，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.已知正四面体的棱长为1，且，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，且益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织布的尺数为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.在中，三个内角成等差数列，且，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.在区间中随机取一个实数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.在中，角的对边分别为，且，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.函数在定义域内恒满足：①，②，其中为的导函数，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.直线过点，且在轴上的截距的取值范围为，则直线 的斜率的取值范围为 ．‎ ‎14.如图所示的程序框图中，输出的的值为 ．‎ ‎15.将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于原点对称，则的最小值为 ．‎ ‎16.已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 数列的前项和为满足：，数列满足：①，②，③. ‎ ‎（1）求数列与的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种种子发芽颗数之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下数据：‎ 日期 ‎12月1日 ‎12月2日 ‎12月3日 ‎12月4日 ‎12月5日 温差 ‎10‎ ‎11‎ ‎13‎ ‎12‎ ‎8‎ 发芽数（颗）‎ ‎23‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎26‎ ‎16‎ 该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验.‎ ‎（1）求选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率；‎ ‎（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求关于的线性回归方程；‎ ‎（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2（颗），则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？‎ ‎（注：）‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 如图所示，在直三棱柱中，底面是等腰三角形，且斜边，侧棱，点为的中点，点在线段上，.‎ ‎（1）求证：不论取何值时，恒有；‎ ‎（2）当为何值时，面.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 如图所示，抛物线的焦点为上的一点满足.‎ ‎（1）求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）过点作不经过原点的两条直线分别与抛物线和圆相切于点，试判断直线是否过焦点.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知函数，记为的导函数.‎ ‎（1）若曲线在点处的切线垂直于直线，求的值；‎ ‎（2）讨论的解的个数；‎ ‎（3）证明：对任意的，恒有.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线的参数方程为（为参数），圆的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的普通方程与圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）设圆与直线交于两点，若点的直角坐标为，求的值.‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数，记的最小值为.‎ ‎（1）解不等式：；‎ ‎（2）是否存在正数，同时满足：，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）当时，，‎ 当时，‎ 检验，满足…·························…2分 又 又…···························…6分 ‎（2）由（1）得 两式相减得 ‎…······························…12分 ‎18.解：（1）设抽到不相邻两组数据为事件，因为从第5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4种，所以 故选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率是，…··················…4分 ‎（2）由数据，求得 ‎，由公式得，‎ ‎，‎ 所以关于的线性回归方程这…·······················…8分 ‎（3）当时，‎ 同样地，当时，‎ 所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠…·······················…12分 ‎19.（1）证明：在等腰直角三角形中，，点为的中点，‎ ‎，…····································…2分 又在直三棱柱中，平面平面，‎ ‎，…····································…4分 又平面，…························…5分 又不论取何值时，平面.…··················…6分 ‎（2）由（1）得，故只需保证即可…·················…8分 ‎…·························…11分 故当即当为的中点时，面.……12分 ‎20.（1）抛物线的准线方程为 所以，又因为，所以，得，‎ 所以抛物线的标准方程为…···························…4分 ‎（2）设，联立，消去得：，‎ 因为与圆相切，所以，即 所以，得…··························…7分 设，联立，消去得：，‎ 因为与圆相切，所以，即，‎ 所以，得…·························…10分 所以直线的斜率，‎ 可得直线的方程为，显然经过焦点…················…12分 ‎21. 解：（1）由已知可得，函数的定义域为 ‎，所以在点处的切线的斜率 又切线垂直于直线，所以，即，所以…···········…3分 ‎（2）由（1）可得，令得，‎ 则，所以在上单调递减，在上单调递增.‎ 又当时，，当时，，当时，，‎ 故当时，无解；‎ 当时，有唯一解；‎ 当时，有两解.…·····························…8分 ‎（3）令 在单调递减，又 ‎，…··················…12分 ‎22. 解：（1）直线的普通方程为：，…······················…2分 ‎，所以，‎ 所以曲线的直角坐标方程为：.…··················…5分 ‎（2）点在直线上，且在圆内，把代入 得，设两个实根为，则，即异号，所以…·····························…10分 ‎23. 解：（1）不等式化为 设函数，‎ 则，令，解得，‎ 原不等式的解集是…···························…5分 ‎（2）‎ 当且仅当，即时取等号，故…···············…7分 假设存在符合条件的正数，则，‎ 当且仅当，即时取等号，‎ 的最小值为8，即 不存在正数，使得同时成立.…··················…10分