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文档介绍
数学经典易错题会诊与高考试题预测11
经典易错题会诊与2012届高考试题预测（十一） 考点11 空间向量 ►求异面直线所成的角 ►求直线与平面所成的角 ►求二面角的大小 ►求距离 ►利用空间向量解立体几何中的探索问题 ►利用空间向量求角和距离 经典易错题会诊 命题角度 1 求异面直线所成的角 1．（典型例题Ⅰ）如图11-1，四棱锥P—ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点。 （1）证明：面PAD⊥面PCD； （2）求AC与PB所成的角； （3）求面AMC与面BMC所成二面角A-CM-B的大小。 [考场错解] 第（2）问。∵PA⊥底面ABCD，且∠DAB=90°∴AD、AB、AP两两互相垂直，建立如图所示的坐标系，则A（0，0，0），C（1，1，0），B（0，2，0），P（0，0，1），∴=（1，1，0），=（0，-2，1），∴cosθ=∴AC与PB所成的角为arccos(-). [专家把脉] 上述错解中有两个错误：（1）的坐标应用B的坐标减P的坐标，∴=（0，2，-1）；（2）异面直线所成角的范围不正确，公式记忆不准确，实际上异面直线所成的角的范围不正确，公式记忆不准确，实际上异面直线所成的角的范围为（0°，90°），而arccos(-)为钝角，cosθ= [对症下药] （1）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，又CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，又CD 平面PCD，∴平面图PAD⊥平面PCD。 （2）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，PA⊥AB，又AD⊥AB，∴ 可以建立如图所示空间坐标系，则由已知A（0，0，0）、C（1，1，0）、B（0，2，0）、P（0，0，1）∴=（1，1，0），=（0，2，-1），设与PB成角为θ，则cosθ=,∴AC与PB所成的角为arccos. (3) ∵M为PB的中点，∴M（0，1，），∴=（0，1，），=（1，1，0）设n1=(x,y,z)为平面AMC的法向量，则n1⊥,n1⊥,∴y=z=0,x+y=0,令x=1,得y=-1,z=2, ∴n1=(1,-1,2)为平面AMC的一个法向量，同理可求得n2=(1,1,2)为平面BMC的一个法向量，∴n1、n2的夹角为arccos,而从图中可看出A-MC-B为钝角，∴二面角A-CM-B的大小为。 2．（典型例题）如图11-2，在直四棱术ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2，DC=2，AA1=，AD⊥DC，AC⊥BD，垂足为E。 （1）求证BD⊥A1C； （2）求二面角A1-BD-C1的大小； （3）求异面直线AD与BC1所成角的大小。 [考场错解]第（3）问，由已知AD、DC、DD1两两互相垂直，∴建立如图所示的空间直角坐标系，∴A（2，0，0）、D（0，0，0）、B（2， 2，0）C1（0，2，）∴（-2，0，0）=（-2，0，）。cosθ==∴AD与BC1所成的角为 arccos. [专家把脉] B点坐标计算错误,其实质是位置关系未分析清楚,错误地认为AB⊥AD,BC⊥CD,本题还会出现以BD为x轴,DC为y轴,DD1为 z轴的建立坐标系的错误. [对症下药] (1) ∵ABCD—A1B1C1D1为直四棱柱。∴AA1⊥底面ABCD，∴A1C在底面ABCD上的射影为AC，又由已知AC⊥依三垂线定 理可得BD⊥A1C。 （2）如图，以D为坐标原点，DA、DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系。 连接A1E1、C1E1、AG1。与（1）同理可证，BD⊥A1E1，BD⊥C1E1，∴∠A1EC1为二面角A1-BD-C1的平面角。 由A1（2，0）、C1（0，2，）、E（），得 即EA1⊥EC1。∴二面角A1-BD-C1的大小为90°。 （3）在平面ABCD中，过A作BF⊥AD，交DA的延长线于F，由AD=2，CD=2，得AC=4，∠DAE=60°，∴AE=1，在Rt△AEB 中，AB=2，AE=1，∠BAE=60°，在Rt△AFB中AB=2，∠BAF=60°，∴BF=，AF=1，DF=2+1=3，∴B的坐标为（3，，0）由 D（0，0，0）、A（2，0，0）、C1（0，2，）、B（3，，0），得 ∴cos（、）=，∴异面直线AD与BC1所成角的大小为arccos。 本题还可以E为坐标原点，EB、EC分别为x轴和y轴，则z轴与AA1平行，E（0，0，0）、A1（0，-1，）、C1（0，3，）B（，） 0，0）、D（-，0，0）、A（0，-1，0），其中A1、D、A的坐标容易求错。 专家会诊 利用空间向量求异面直线所成的角，公式为cos关键是正确地建立坐标系进而写出各有关点的坐标，建立坐标会出现用三条 两两不垂直的直线作x轴、y轴、z轴的错误，还会出现用三条两两互相垂直但不过同一点的三条直线作x轴、y轴、z轴的错误。写点的 坐标也容易出现错误，学习时要掌握一些特殊点坐标的特点，如x轴上的点坐标为（a，0，0），xoz面上的点坐标为（a,0,b）等，其次还 应学会把某个平面单独分化出来，利用平面几何的知识求解，如本节的例2，求B的坐标。 考场思维训练 1．已知正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为2a,高为b，求异面直线AC1和A1B所成的角。 答案：如图：∵ABC-A1B1C1为正三棱柱，∴AA1⊥平面空间直角坐标系.则A（0，0，0）、A1（0，0，b）、B（a,a,0） 、C1（2a,0,b）, ∴ ∴ cosθ=AC1与A1B所成的角为arc cos AC1与A1Ba所成的角为π-arc cos. 2．如图11-4，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是D1D，BD的中点，G在CD上，且CG=CD，H为C1G的中 点。 （1）求证：EF⊥B1C； 答案：建立如图所示的空间直角坐标系，由已知有E（0，0，）、F（，，0）、C（0，1，0）、B1（1，1，1）、G（0，，0） （1）∵EF⊥B1C. （2）求EF与C1G所成角的余弦； 答案：(0,,0)-(0,1,1)=(0,-,-1), ∵ ∴cosθ= （3）求FH的长。 答案：由中点坐标公式，得H的坐标为（0，）又F（，，0）, ∴(-,,),FH= 3．如图11-5 四棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，BC=2。 （1）求证：平面PAD⊥平面PCD； 答案：由已知PA⊥平面ABCD，又ABCD为矩形， ∴CD⊥AD, ∴CD⊥平面PAD，∴面PAD⊥面PCD. （2）若E是PD的中点，求异面直线AE与PC所成角的余弦值； 答案： A(0,0,0)、P（0，0，1）、D（0，2，0），E为PD中点， ∴E(0,1, )、C（1，2，0），∴ ∴AE与PC所成角的余弦值为 （3）在BC边上是否存在一点G，使得D点在平面PAG的距离为1，如果存在，求出BG的值；如果不存在，请说明理由。 答案：假设BC边上存在一点G满足D到PAG的距离为1，设G（1，y ,0）,则=（0,0,1）=(1,y,0),设n=(a、b、c)为平面PAG的一个法向量，由n⊥,得c=0,由n⊥，得a+by=0,令a=1,得b=-,∴n=(1, -,0) 为平面PAG的一个法向量，∴d=,解得y=,∴BC上存在一点G，BG=，使得D到平面PAG的距离为1. 命题角度 2 求直线与平面所成的角 1．（典型例题）如图在三棱锥P—ABC中，AB⊥BC，AB=BC=KPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC。 （1）当k=时，求直线PA与平面PBC所成角的大小； （2）当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？ [考场错解]（1）∵PO⊥OC，PO⊥OB，又AB=BC，O为AC的中点，∴BO⊥OC，∴以O为坐标原点，OB、OC、OP所在直线x、y、z 轴建立穿间直角坐标系，则O（0，0，0）、C（0，a,0）其中设AC=2a，A（0，-a,0）P(0,0,)、B（a,0,0）∴=(0,-a,-a),= (a,0,-a) =(0,a,-a),设n=（x,y,z）为平面PBC的一个法向量，由n⊥,得ax-az=0,由n⊥,得ay-az=0,令x=1,得z=,y=1, ∴n=(1,1, )为平面PBC的一个法向量，设PA与平面PBC所成的角为θ，则cosθ=. [专家把脉] 公式记忆错误,其实质是未能把直线与平面所成的角与向量的夹角联系上, 应为直线与平面所成角的正弦值. [对症下药](1)由错解和错因知,设PA与平面PBC所成的角为θ,则cosθ=, ∴θ=arcsin. ∴PA与平面PBC所成的角为arcsin. (2)设 P(0,0,b),则=(a,0,-b),=(0,a,-b),设G为△PBC的重心,则由穗主坐标公式得G(),由已知OG⊥平面PBC, ∴ ,得a=b,即PO=a，在Rt△POA中，PA=a,又AB=a, ∴R=1, ∴当k=1时O在平面PBC内的射影为△PBC的重 心。 2．（典型例题Ⅱ）如图11-7，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E、F分别为CD、PB的中点。 （1）求证EF⊥平面PAB； （2）设AB=BC，求AC与平面AEF所成的角的大小。 [考场错解] 第（2）问，由已知PD⊥CD，PD⊥AD，CD⊥AD，∴建立如图所示的空间直角坐标系，设BC=a，则AB=a，可得D（0， 0，0）、C（a，0，0）、A（0，a,0）、B（a, a,0），以后算出的坐标，平面AEF的一个法向量的坐标，利用公式sinθ= 得出结果。 [专家把脉] B的坐标写错，由于本题中所建坐标系与通常所建坐标系在直观上有所不同，其实质还是求点的坐标不熟练所致。 [对症下药] （1）连接PE、BE、CF、FD。在Rt△PED中，PE=，在Rt△BCE中，BE=又由已知AD=BC=PD， CD=ED，∴PE=BE，又F为PB中点，∴EF⊥PB ，又在Rt△PBC中，CF=PB，在Rt△PDB中，DF=PB，∴CF=DF，∴EF⊥CD， 又AB∥CD，∴EF⊥AB，∴EF⊥平面PAB； （2）由已知PD⊥CD，PD⊥AD，又AD⊥CD，所以建立如图11-8所示的空间直角坐标系，设BC=a，则AB=BC=a，得D（0，0， 0）、C（a,0,0）、A（0，a,0）B（a,a,0）、P（0，0，a ），由中点坐标公式得E（），F（）∴ 设n=（x,y,z）为平面AEF的一个法向量，由n⊥，得 为平面AEF的一个法向量，设AC与平面AEF所成 的角为θ，则sinθ=∴AC与平面AEF所成的角为arcsin. [专家会诊] 求直线与平面所成角的公式为：sinθ=,其中a为直线上某线段所确定的一个向量，n为平面的一个法向量，这个公式很容易记错， 关键是理解，有些学生从数形结合来看，认为n应过直线上某个点，如例4中n应过C点，这是错误的，这里n是平面的任意一个法向量， 再说一个向量过某一个具体的点这种说法也是错误的。 考场思维训练 1 如图11-9，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°AC=2，BC=6，D为A1B1的中点，异面直线CD与A1B垂直。 （1）求直三棱术ABC-A1B1C1的高； 答案：以CA、CB、CC1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则由已知有A1（2,0,x）、B（0，6，0）、D（1，3，x），C（0，0，0），其中x为直三棱柱，∴（1，3，x）,又A1B⊥CD，∴·=0，得（-2）×1+6×3-x2=0,解得x=4或x=-4(舍去) ∴直三棱柱的高为4. （2）求直线A1B与平面CC1A1C所成的角。 答案：由(1)知=(-2，6，-4)，又BC⊥平面ACC1A1 ∴为平面CC1A1C的—个法向量,又(0，-6，0) ∴sinθ= ∴直线A1B与平面CC1A1C所成的角为arc sin 2 如图，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长AB=2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F。 （1）求证：A1C⊥平面BED； 答案： 以DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)、A(2，0，0)、A1(2，0，4)、B(2，2，0)，设E(0，2，x)则=(-2，0，x)，=(-2，0，-4)，由已知⊥∴·=0,得x=1，∴E(0，2，1)，∴= (-2，0，1)，=(-2，-2，0)，=(-2，2，-4)，由·=0知A1C⊥BE，·BD=0知A1C⊥BD，∴A1C⊥平面BED （2）求A1B与平面BDE所成的角是正弦值。 答案：由(1)知=(-2，2，-4)为平面BED的一个法向量，=(0，2，-4),∴sinθ= ∴θ=arc sin. ∴A1B与平面BDE所成的角为arc sin. 3 已知四棱锥P-ABCD（如图），底面是边长为2的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，M、N别为AD、BC的中点，MQ⊥PD于Q，直线PC与平面PBA所成角的正弦值为 （1）求证：平面PMN⊥平面PAD； 答案：以A为坐标原点，分别以AB、AD、AP所在的直线为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系(图略)． 设PA=a，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2， 0)，P(0，0，a)，M(0，1，0)，N(2，1，0)． ∴=(2，0，0)，=(0，0，a)，=(0，2，0)， ∴,∴MN⊥平面PAD. ∵MN平面PMN，∴平面PMN⊥平面PAD. （2）求PA的长； 答案：=(2，2，-a)，平面PBA的一个法向量为n==(0，1，0) ∵直线PC与平面PBA成角的正弦值为， ∴|cos<,n>|= 即, ∴a=2，即PA=2． （3）求二面角P-MN-Q的余弦值。 答案：由(Ⅰ)，MN⊥平面PAD，知MQ⊥MN,MP⊥MN, ∴∠PMQ即为二面角P—MN—Q的平面角． 而PM=,MQ=，MD=, ∴cosPMQ= ∴二面角P-MN-Q的余弦值为 命题角度 3 求二面角的大小 1．（典型例题）在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD，如图11-12。 （1）证明：AB⊥平面VAD； （2）求二面角A-VD-B的大小。 [考场错解]（2）过V作VO⊥AD于O，由已知平面VAD⊥底面ABCD，∴VO⊥底面ABCD，∴以OA、OV分别为x、z轴建立空间坐 标系，则分别算出VAD与VBD的法向量n1=（0，1，0）,n2=（1，-1，），∴cos(n1·n2)=-。∴二面角A-VD-B的大小为 [专家把脉] 认为两平面的法微量是的夹角等于二面角的大小，这是错误的，实际上法向量的夹角与二面角的平面角相等或互补。本题中A-VD-B为一锐二面角。 [对症下药]（1）∵平面VAD⊥平面ABCD，AB⊥AD， ∴根据两面垂直的性质和AB⊥平面VAD。 （2）过V作VO⊥AD于O，由平面VAD⊥平面ABCD，得VO⊥底面ABCD，∴可以建立如衅11-13所示的空间直角坐标系，设正方形的边长为1，则A（，0，0）、B（，1，0）、C（-，1，0）、D（-，0，0）、V(0,0,)由（1）知=（0，1，0）为平面VAD的一个法向量，（-1，-1，0），设n=(x,y,z)为平面VDB的一个法向量，由n⊥得，x+y=0,令x=1,得y=-1,z=-。∴cos<,n>= 又由图形知二面角A-VD-B为锐二面角，∴二面角A-VB-B的大小为arccos. 2．（典型例题）如图11-14，已知三棱锥P-ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，△ABC、△PEF都是正三角形，PF⊥AB。 （1）证明：PC⊥平面PAB； （2）求二面角P-AB-C的平面角的余弦值； （3）若点P、A、B、C在一个表面积为12π的球面上，求△ABC的边长。 [考场错解] 以EB、EC、EP分别为x轴、y轴、z轴建立空间坐标系。 [专家把脉] 坐标系建立错误，实际上BE⊥EC，PE⊥EC都可以证得，但PE与EB不垂直，本题用穿间向量来解没有用传统方法来解方便，建立坐标系错误或不知息样建立坐标系的穿间向量中的常见错误。 [对症下药] ∵F为AB中点，PF⊥AB，∴PA=PB，又△PEF为正三角形，∴PE=PF，在△PAE与△PAF中，PE=PF，AE=AF，∴△PAE≌△PAF，∴∠PEA=∠PEF=90°，又E为AC中点，∴PA=PC，∴PA=PB=PC，∴P在底面ABC上的射影为正△ABC的中心，建立如图11-14所示的空间坐标系，设底面△ABC的边长为2a，则PA=PB=PC=a，∴PO= ∴P（0，0，a），C（0，0），A（0），C（0，0），B（0）。 （1）由知PC⊥PA，同理PC⊥BP，∴PC⊥平面PAB。 （2）由（1）知=（）为平面PAB的一个法向量，=（0，0，）为平面ABC的一个法向量，cos<>=又由图形知P-AB-C的平面角的余弦值为。 （3）由已知球半径为，又PA、PB、PC两两互相垂直，∴PA2+BP2+PC2=（2）2，得PA=2，∴AB=2，即正三角形的边长为2 专家会诊 利用空间向量求二面角，先求两平面的法向量，利用向量的夹角公式求出两法现量的夹角，二面角的平面角与法向量的夹角相等或互补，具体是哪一种，一般有两种判断方法：（1）根据图形判断二面角是锐角还是钝角；（2）根据两法向量的方向判断。实际上很多求二面角的题目，还是传统方法（如三垂线定理作出二面角的平面角）简单，或传统方法与空间向量相结合来解。 考场思维训练 1 如图，在三棱锥P-OAC中，OP、OA、OC两两互相垂直，且OP=OA=1，OC=2，B为OC的中点。 （1）求异面直线PC与AB所成角的余弦值； 答案：解：以OA、OC、OP，所在直线为，x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．则O(0，0，0)、P(0，0，1)、C(0，2，0)、B(0，1，0)． (1)=(0，2，-1)，=(-1，1，0)，cos<，>，∴ PC与AB所成角的余弦值为. （2）求点C到平面PAB的距离； 答案： =(1，0，-1)，=(-1，1，0)，设n1=(x，y，z)为平面PAB的一个法向量，则x-z=0,x-y=0，令x=1得n1=(1，1，1)为平面PAB的一个法向量． =(0，-1，0)，∴d= ∴C到平面PAB的距离为． （3）求二面角C-PA-B的大小（用反余弦表示）。 答案： =(-1，2，0)，=(1，0，-1)，设n2=(x，y，z)为平面PAC的一个法向量，由2y-x=0，x-z=0，令x=1，得n2=(1，，1)为平面PAC的一个法向量．∴cos∠n1,n2>= ,又由图形知C-PA-B为锐二面角. ∴C-PA-B的大小为. 2 如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，点M、N分别在棱PD、PC上，且PC⊥平面AMN。 （1）求证：AM⊥PD； 答案：解析：(1)由已知PC⊥平面AMN，得PC⊥AM，又可得 CD⊥平面PAD，∴CD⊥AM，∴AMA⊥平面PCD， ∴AM⊥PD． （2）求二面角P-AM-N的大小； 答案：以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则由已知A(0，0，0)，P(0，0，2)C(2，2，0)，可以算得N分的比为，∴N(，，)、M(0，1，1)、 =(2，2，-2)为平面AMN的一个法向量，=(2，0， 0)为平面PAM的一个法向量，且cos∠，>. ∴P——AM——N的大小为arc cos . （3）求直线CD与平面AMN所成角的大小。 答案：=(-2，0，0)，sinθ=. ∴CD与平面AMN所成角为arcsin. 3 如图所示，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为4，AA1=6，Q为BB1的中点，P∈ DD1，M∈A1B1，N∈C1D1，A M=1，D1N=3。 （1）当P为DD1的中点时，求二面角M-PN=D1的大小； 以A1D1为x轴，D1C1为y轴，DD1,为z轴，D1为原点，建立空间直角坐标系则D1(0，0，0)、A1(4，0，0)、P(0，0，3)、M(4，1，0)、N(0，3，0) ∴=(4，0，0)，=(0，3，-3)，=(4，1，-3) 显然是面PD1N的法向量． 设面PMN的法向量为n=(x，y,z) 则由 ∴y=z=2x 不妨取n=(1，2，2)，设与n成角θ 则cosθ= ∴θ=arc cos. 由题知二面角M--PN--D1大小为arccos. （2）在DD1上是否存在点P，使QD1⊥面PMN？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由； 答案：=(-4，2，0)，=(-4，-4，-3) ∵ · =(-4，-4，-3)·(-4，2，0)=8≠O ∴QD1与不垂直． ∴不存在点P使QD1⊥面PMN． （3）若P为DD1中点，求三棱锥Q=PMN的体积。 答案： P(0，0，3)、M(4，1，0)、N(0，3，0)、=(4，1，-3)， =(0，3，-3)，||= 由(1)取平面PMN的法向量n=(1，2，2)则Q到平面PNM的距离h= ∴VQ-PMN=×S△PMN·h=×9×4=12． 命题角度 4 求距离 1．（典型例题）如图11-18，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点且BF⊥平面ACE。 （1）求证：AE⊥平面BCE； （2）求二面角B-AC-E的大小； （3）求点D到平面ACE的距离。 [考场错解] 第（3）问，以A为坐标原点，AB、AD分别为y轴，z轴建立空间坐标系，由（1）知∠AEB=90°∴∠EAB=45°，可得E（1，1，0），在Rt△BCE中，F分的比为2，∴F（），为平面BCE的一个法向量，（0，2，-2），∴D到平面ACE的距离d= [专家把脉] 点到面的公式用错，求A到平面α的距离的公式为其中a为A且与α相交的线段所确定的向量，n为平面的任一非零法向量。本题若用D到面ACE的距离等于B到面ACE的距离，而后者即为BF，将会更简单。 [对症下药] （1）∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥AE，又D-AB-E为直二面角，CB⊥AB，∴CB⊥平面AEB，∴CB⊥AE ，∴AE⊥平面BCE。 （2）以A为坐标原点，AB、AD分别为y轴、z轴建立如衅11-18所示的空间坐标系，则由∠AEB=90°，AE=EB，得∠EAB=45°，AE=，得E（1，1，0），在Rt△BCE中，F分的比为2，∴F（），为平面ACE的一个法向量，平面ABC的一人法向量为x轴，取n=(1,0,0), ∴cos(n,)=,又由图知B-AC-E为锐二面角。∴B-AC-E的大小为arccos . (3) （0，2，-2）, ∴D到平面ACE的距离d= 2．（典型例题）如图11-19，在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=，M、N分别为AB、SB的中点 （1）证明：AC⊥SB； （2）求二面角N-CM-B的大小。 （3）求点B到平面CMN的距离。 [考场错解] 因为平面SAC⊥平面ABC，∴SC⊥平面ABC，∴C为坐标原点，CB、CS为y轴、z轴建立空间坐标系。 [专家把脉] 坐标系建立错误，实质是对二面垂直的性质不熟悉所致，SC与平面ABC不垂直。 [对症下药] 取AC中点O，连续OS、OB，∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SO，AC⊥OB，又平面SAC⊥平面ABC，SO⊥AC， ∴SO⊥平面ABC，∴SO⊥BO。以OA、OB、OC分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如下图。 （1）A（2，0，0）、B（0，2，0）、C（-2，0，0）、S（0，0，2）、M（1，，0）、N（0，，）∴=（-4，0，0），=（0，2，-2）∵∴AC⊥SB。 （2）由（1）得设n=（x,y,z）为平面CMN的一个法向量，则 可得n=（）为平面CMN的一个法向量，又=（0，0，2）为平面ABC的一个法向量，∴ cos查看更多