高中数学北师大版新教材必修一同步课件：1-3-2-1 基本不等式
第
1
课时 基本不等式
必备知识
·
自主学习
1.
重要不等式
对任意实数
x
和
y,__________
(
当且仅当
x=y
时
,
等号成立
).
2.
基本不等式
(1)
公式
:①
条件
:a≥0,b≥0;②
结论
:__________;③
等号成立
:
当且仅当
____
时
.
(2)
本质
:
基本不等式表明
,
两个非负实数的算术平均值
___________
它们
的几何平均值
.
a=b
大于或等于
【
思考
】
基本不等式成立的条件能省略吗
?
为什么
?
提示
:
基本不等式成立的条件“
a≥0,b≥0”
不能省略
,
例如
是不成立的
.
3.
用基本不等式求最值的结论
已知
x,y
均为正数
,
(1)
若
x+y=s(s
为定值
),
则当且仅当
x=y
时
,xy
取得最
___
值
____;
(2)
若
xy=p(p
为定值
),
则当且仅当
x=y
时
,x+y
取得最
___
值
_____.
(3)
应用
:
求和式的最小值
,
乘积式的最大值
.
大
小
【
基础小测
】
1.
辨析记忆
(
对的打“√”
,
错的打“
×”)
(1)
对任意
a,b∈R,a
2
+b
2
≥2ab,a+b≥2
均成立
. (
)
(2)
若
a≠0,
则
=4. (
)
(3)
若
a>0,b>0,
则
ab≤ . (
)
提示
:
(1)×.
任意
a,b∈R,
有
a
2
+b
2
≥2ab
成立
,
当
a,b
都为正数时
,
不等式
a+b≥
2
成立
.
(2)×.
只有当
a>0
时
,
根据基本不等式
,
才有不等式
=4
成立
.
(3)√.
因为
,
所以
ab≤ .
2.
不等式
(x-2y)+ ≥2
成立的前提条件为
(
)
A.x≥2y B.x>2y C.x≤2y D.x<2y
【
解析
】
选
B.
因为不等式成立的前提条件是各项均为正
,
所以
x-2y>0,
即
x>2y.
3.(
教材二次开发
:
例题改编
)
设
x,y
满足
x+y=40,
且
x,y
都是正数
,
则
xy
的最大值
为
.
【
解析
】
因为
x,y
都是正数
,
且
x+y=40,
所以
xy≤ =400,
当且仅当
x=y=20
时取等号
.
答案
:
400
关键能力
·
合作学习
类型一 利用基本不等式比较大小
(
逻辑推理
)
【
题组训练
】
1.
已知
m=a-2+ (a>2),n=2-b
2
(b≠0),
则
m,n
之间的大小关系是
(
)
A.m>n B.m
0
且
a≠1,
又
M= ,
则
M,N,P
的大小关系是
.
【
解析
】
1.
选
A.
因为
a>2,
所以
a-2>0.
又因为
m=(a-2)+ ,
所以
m≥ =2,
当且仅当
a-2= ,
即
a=3
时
取
“
=
”
.
由
b≠0,
得
b
2
≠0,
所以
n=2-b
2
<2,
综上可知
m>n.
2.
选
B.
因为
00
且
a≠1,
所以
,
所以
所以
,
所以
即
P0,b>0,
同时注意能否取等号
.
【
补偿训练
】
若
a,b∈R,
且
ab>0,
则下列不等式中
,
恒成立的是
(
)
A.a
2
+b
2
>2ab B.a+b≥2
C.
D.
【
解析
】
选
D.
对于
A
项
,
当
a=b
时
,
应有
a
2
+b
2
=2ab,
所以
A
项错
;
对于
B,C,
条件
ab>0,
只能说明
a,b
同号
,
当
a,b
都小于
0
时
,B,C
错误
;
对于
D
项
,
因为
ab>0,
所以
所以
,
当且仅当
a=b
时取等号
.
类型二 利用基本不等式求简单问题的最值
(
逻辑推理、数学运算
)
【
典例
】
1.
当
x>1
时
,(x-1)+ +2
的最小值为
.
2.
若
x>0,y>0,
且
x+y=18,
则
xy
的最大值是
.
3.
已知
x<0,
则
3x+
的最大值为
.
【
思路导引
】
1.
利用基本不等式求“和的最小值”
.
2.
利用基本不等式求积的最大值
.
3.
当项为负数时
,
可以通过提取负号化为正数
.
【
解析
】
1.
令
t=(x-1)+ +2,
因为
x-1>0,
所以
t≥ +2=8,
当且仅当
x-1= ,
即
x=4
时
,t
的最小
值为
8.
答案
:
8
2.
由于
x>0,y>0,
则
x+y≥2 ,
所以
xy≤ =81,
当且仅当
x=y=9
时
,xy
取到
最大值
81.
答案
:
81
3.
因为
x<0,
所以
-x>0.
则 当且仅当
=-3x,
即
x=-2
时
,
3x+
取得最大值为
-12.
答案
:
-12
【
解题策略
】
基本不等式的使用条件
(1)
一正
:a>0,b>0,
即
:
所求最值的各项必须都是正值
;
(2)
二定
:ab
或
a+b
为定值
,
即
:
含变量的各项的和或积必须是常数
;
(3)
三相等
:
当且仅当
a=b
时取等号
;
即
:
等号能否取得
.
在应用基本不等式求最值时
,
要逐一验证三个条件是否成立
.
【
跟踪训练
】
1.
式子 的最小值为
(
)
A.3 B.4 C.6 D.8
【
解析
】
选
B. =|x|+ ≥2 =4,
当且仅当
x=±2
时
,
等号成立
.
2.
已知
m=x+ -2(x<0),
则
m
有
(
)
A.
最大值为
0 B.
最小值为
0
C.
最大值为
-4 D.
最小值为
-4
【
解析
】
选
C.
因为
x<0,
所以
m=- -2
≤-2-2=-4,
当且仅当
-x= ,
即
x=-1
时取等号
.
类型三 拼凑法利用基本不等式求最值
(
逻辑推理、数学运算
)
【
典例
】
1.
已知
01
时
,
不等式
x+ ≥a
恒成立
,
则实数
a
的最大值为
.
【
思路导引
】
通过凑项或凑系数的方法把“不定”问题进行转化
,
再用基本不等式求解
.
【
解析
】
1.
选
B.
因为
00.
所以
x(3-3x)=3x(1-x)≤
当
x=1-x,
即
x=
时取等号
.
2.
因为
x< ,
所以
5-4x>0,
令
y=4x-2+ ,
所以
y=4x-2+ =- +3≤-2+3=1,
当且仅当
5-4x= ,
即
x=1
时
,
上式等号成立
,
故当
x=1
时
,y
max
=1.
答案
:
1
3.
因为
x>1,
所以
x-1>0.
又
x+ =x-1+ +1≥2+1=3,
当且仅当
x=2
时等号成立
,
则
a≤3,
所以
a
的最
大值为
3.
答案
:
3
【
解题策略
】
通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形
,
拼系数、凑常数是关键
,
利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题
:
(1)
拼凑的技巧
,
以整式为基础
,
注意利用系数的变化以及等式中常数的调整
,
做到等价变形
.
(2)
代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标
.
(3)
拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提
.
【
跟踪训练
】
1.
若
00,
即
x>1
时
,y= ,
因为
t+ =4(
当且仅当
t=2
时取等号
),
所以
y=
即
y
的最大值为
(
当
t=2,
即
x=5
时
y
取得最大值
).
答案
:
课堂检测
·
素养达标
1.
已知
ab=4,a>0,b>0,
则
a+b
的最小值为
(
)
A.1 B.2 C.4 D.8
【
解析
】
选
C.
因为
a>0,b>0,
所以
a+b≥2 =4,
当且仅当
a=b=2
时取等号
,
故
a+b
的最小值为
4.
2.
若
x
2
+y
2
=2,
则
xy
的最大值是
(
)
A. B.1 C.2 D.4
【
解析
】
选
B.xy≤ =1,
当且仅当
x=y
时取“
=”.
3.
设
a>b>0,
则下列不等式中一定成立的是
(
)
A.a-b<0 B.0< <1
C. D.ab>a+b
【
解析
】
选
C.
因为
a>b>0,
由基本不等式知 一定成立
.
4.
若
00,
故
=
当且仅当
x=
时
,
上式等号成立
.
所以
0< ≤ .
答案
:
0< ≤
5.(
教材二次开发
:
练习改编
)
已知
a,b
是不相等的正数
,x=
则
x,y
的大小关系为
.
【
解析
】
因为
a,b
是不相等的正数
,
所以
又
x>0,y>0,
所以
x
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