数学理卷·2018届陕西省西安市长安一中高三上学期第九次质量检测（2018

数学理卷·2018届陕西省西安市长安一中高三上学期第九次质量检测（2018

长安一中2017——2018学年度第一学期第九次检测 高三理科数学试题 命题人：罗理想 审题人：王仓绪 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.已知复数是纯虚数，则实数（ ）‎ A．-1 B． C． D．1‎ ‎2.已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.已知双曲线的右焦点到渐近线和直线的距离之比为，则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A. B。 C. D.‎ ‎4.已知，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5.如图所示程序框图中，输出（ ）‎ A．45 B．-55 C．-66 D．66‎ ‎6. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（ ）‎ A．27 B．30 C．32 D．36‎ ‎7．在数列中，（为虚数单位），，则的值为 （ ）‎ ‎ A．-2 B．0 C．2 D． 2i ‎8.△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2，则＝(　　)‎ A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b ‎9.已知函数，则下列说法正确的是（ ）‎ A.的图像关于直线对称 B.的图像关于点对称 C.若，则 ‎ D.的图像向右平移个单位长度后得 ‎10.已知椭圆，直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则的方程为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知函数 若存在，则实数的取值范围为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知函数，若函数的图像在点处的切线重合，则 的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）‎ ‎13.若为奇函数，则的解集为 .‎ ‎14. 设不等式组所表示的区域为，函数的图像与轴所围成的区域为，向内随机投一个点，则该点落在内概率为 .【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎15.已知抛物线y＝ax2－1(a≠0)上总有关于直线x＋y＝0对称的相异两点，求a的取值范围是 ．‎ ‎16.设a，b，c为单位向量，a，b的夹角为600，则（a + b + c）·c的最大值为 ．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.(本小题10分)已知等差数列前3项的和为－3，前三项的积为8.‎ ‎(Ⅰ)求等差数列的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)求数列的前n项和．‎ ‎18．（本小题满分12分）在直三棱柱ABC -A1B1C1中，已知AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，点D在棱AB上．‎ ‎(Ⅰ) 若D是AB中点，求证：AC1∥平面B1CD；‎ ‎（Ⅱ）当时，求二面角的余弦值．‎ ‎19.(本小题12分)在中，角所对的边为，且满足 ‎（Ⅰ）求角的值； （Ⅱ）若且，求的取值范围．‎ ‎20．（本小题满分12分）如图，从点P1（0，0）作轴的垂线交曲线于点，曲线在点处的切线与轴交于点．再从做 轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：；；…；，记点的坐标为（）．‎ ‎（Ⅰ）试求与的关系（）；‎ ‎（Ⅱ）求 ‎21.(本小题12分)已知圆：和抛物线，圆的切线与抛物线交于不同的两点.‎ ‎（I）当切线斜率为-1时，求线段的长；‎ ‎（II）设点和点关于直线对称，且，求直线的方程.‎ ‎22．(本小题12分)已知函数.‎ ‎（Ⅰ）试判断函数的单调性； ‎ ‎（Ⅱ）设，求在上的最大值；‎ ‎(Ⅲ)证明：对任意，不等式都成立（其中是自然对数的底数）．‎ 一、选择题.DAADBA DBADDC 二、13. 14. 15. 16.‎ 解答题【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎17.解：(1)设等差数列的公差为d，则a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d.由题意得解得或 所以由等差数列通项公式可得an＝2－3＝－3n＋5，或an＝－4＋3＝3n－7.‎ 故an＝－3n＋5，或an＝3n－7.‎ ‎(2)当an＝－3n＋5时，a2，a3，a1分别为－1，－4，2，不成等比数列；当an＝3n－7时，a2，a3，a1分别为－1，2，－4，成等比数列，满足条件．‎ 故＝＝ 记数列的前n项和为Sn.【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 当n＝1时，S1＝＝4；‎ 当n＝2时，S2＝＋＝5；‎ 当n≥3时，Sn＝S2＋＋＋…＋ ‎＝5＋＋＋…＋【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎＝5＋＝n2－n＋10，‎ 当n＝2时，满足上式．‎ 综上，Sn＝ ‎18.解: (Ⅰ) 证明：连结BC1，交B1C于E，连接DE．‎ 因为 直三棱柱ABC-A1B1C1，D是AB中点，‎ 所以 侧面B B1C1C为矩形，DE为△ABC1的中位线，所以 DE// AC1．‎ 因为 DE平面B1CD， AC1平面B1CD，所以 AC1∥平面B1CD．……… 6分 ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知AC⊥BC，如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．‎ 则B (3, 0, 0)，A (0, 4, 0)，A1 (0, 4, 4)，B1 (3, 0, 4)．设D (a, b, 0)（，），因为 点D在线段AB上，且，即．【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 所以，，，, ,．‎ 平面BCD的法向量为． 设平面B1 CD的法向量为，‎ 由，， 得 ， ‎ 所以 ，，.所以 ．‎ 所以二面角的余弦值为．……… 12分 ‎ ‎19． 解：（1）由已知 ‎ 得 ， 化简得 故 ‎． ‎ ‎（2）因为，所以， ‎ 由正弦定理，得a=2sinA,c=2sinC，‎ ‎ ‎ 因为，所以， ‎ 所以 ‎20.(1）设点的坐标是，∵，∴，‎ ‎∴，在点处的切线方程是，‎ 令，则（）．‎ ‎（2）∵，，∴，∴，于是有 ‎，‎ 即．‎ ‎ 21．解：（Ⅰ）解：（1）函数的定义域是．由已知．令，得．‎ 因为当时，；当时，．‎ 所以函数在上单调递增，在上单调递减．‎ ‎（Ⅱ）由（1）可知当，即时，在上单调递增，所以 ‎．‎ 当时，在上单调递减，所以．当，即时，．综上所述，‎ ‎（Ⅲ）由（1）知当时．所以在时恒有，即，当且仅当时等号成立．因此对任意恒有．因为，，所以，即．因此对任意，不等式．‎