北京市东直门中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

北京市东直门中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

北京市东直门中学2019—2020学年度第一学期期中考试 高二数学2019.10‎ 第一部分（选择题）‎ 一：选择题 ‎1.设是椭圆上的点．若是椭圆的两个焦点，则等于( )‎ A. 4 B. ‎5 ‎C. 8 D. 10‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：因为椭圆的方程为，所以，由椭圆的的定义知，‎ 故选D．‎ 考点：1、椭圆的标准方程；2、椭圆的定义．‎ ‎2.如图，直三棱柱中，若，，，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量加减法运算，计算结果.‎ ‎【详解】，‎ ‎，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查空间向量的运算，属于简单题型.‎ ‎3.已知向量，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据空间向量的坐标运算计算结果.‎ ‎【详解】，.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，意在考查基本计算，属于简单题型.‎ ‎4.已知向量分别是直线的方向向量，若，则 (　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，利用列方程组求解即可.‎ ‎【详解】，存在实数使得,‎ 即,‎ ‎，解得，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查空间向量共线的性质，意在考查对基本性质的掌握情况，属于简单题.‎ ‎5.已知双曲线：，，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线左支上，且，则（ ）‎ A. 1 B. ‎13 ‎C. 17 D. 1或13‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的定义和点的位置可知，可得出的值.‎ ‎【详解】由题意可知 ，‎ 并且 ‎ ‎.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查双曲线定义的简单应用，属于基础题型.‎ ‎6.已知向量，且，则的值为（ ）‎ A. 4 B. ‎1 ‎C. 3 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 代入空间向量垂直的坐标表示，直接求的值.‎ ‎【详解】，，解得：.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，意在考查基本公式的应用，属于简单题型.‎ ‎7.设抛物线上一点P到y轴的距离是2，则点P到该抛物线焦点的距离是　　‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 抛物线的准线方程为．因为到轴的距离为2，所以到准线的距离为3.由抛物线的几何性质可知，到抛物线焦点的距离为3，故选C ‎8.已知向量两两夹角都是，其模都为1，则等于（ ）‎ A. B. ‎5 ‎C. 6 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 故选：A.‎ ‎9.已知平面向量,满足,,与的夹角为,若,则实数的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】分析：由，可得（+m）•=0，再利用数量积的运算和定义展开即可得出．‎ 详解: ∵||=3，||=2，与的夹角为120°，‎ ‎∴=cos120°==﹣3．‎ ‎∵（+m）⊥，‎ ‎∴（+m）•==32﹣‎3m=0，解得m=3．‎ 故选：D．‎ 点睛：本题考查了数量积的运算和定义、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．‎ ‎10.已知抛物线的开口向下，其焦点是双曲线的一个焦点，则的标准方程为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 双曲线的一个焦点为，故抛物线的焦点坐标也是，从而得到方程为.‎ 故答案为B.‎ ‎11.已知，，，若、、三向量共面，则实数等于 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：因为，，，、、三向量共面，所以存在，使 得，所以，解得: ，故应选．‎ 考点：1、共面向量2、平面向量的坐标运算．‎ ‎12.已知，，，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 故选：C.‎ 第二部分（非选择题）‎ 二、填空题 ‎13.已知向量，，则与的数量积为______.‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量数量积坐标运算直接求结果.‎ ‎【详解】.‎ 故答案为：0.‎ ‎【点睛】本题考查空间向量数量积的坐标运算，属于基础题型.‎ ‎14.在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值.‎ ‎【详解】解答：解：以D原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，‎ ‎ ∵在长方体中，， ，，‎ ‎ 设异面直线与所成角为， 则， ‎ ‎∴异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查运算求解能力，是基础题.‎ ‎15.已知双曲线的一条渐近线的方程为，则 .‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由双曲线方程可知渐近线方程为，所以.‎ 考点：本题考查双曲线的渐近线.‎ ‎16.在长方体中，，，，为棱上一点，，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件可说明平面与平面所成的锐二面角就是异面直线和所成的角，即，确定点的位置，求的值.‎ ‎【详解】由条件可知，，平面平面，‎ 平面与平面所成的锐二面角就是异面直线和所成的角，‎ ‎，异面直线和所成的角是，‎ ‎，，，‎ 平面，平面，，‎ 建立如图的空间直角坐标系，则，，设，‎ ‎， ， ，‎ 解得：，即点是的中点，，‎ ‎,，，‎ 平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查二面角的计算，意在考查空间想象和推理证明的能力，属于中等题型，本题的关键是根据二面角的定义说明平面与平面所成的锐二面角就是异面直线和所成的角.‎ ‎17.能够说明“方程的曲线是椭圆”的一个的值是______.‎ ‎【答案】（答案不唯一，只要在的取值范围内的任何一个值都可以）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先方程变形为，求的取值范围，再写出一个满足条件的即可.‎ ‎【详解】由题意可知且 ‎ 则方程变形为：,‎ 方程表示椭圆，‎ ‎ ，解得：，且，‎ 的范围是，‎ 故答案为：（答案不唯一，只要在的取值范围内的任何一个值都可以）‎ ‎【点睛】本题考查根据椭圆的标准方程求参数的取值范围，意在考查基本知识和计算，属于基础题型.‎ ‎18.正方体的棱长为1，为上的动点，为上的动点，则线段的长度的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据数形结合分析可知线段的长度的最小值转化为在平面上投影线段的最小值，然后转化为点到直线的距离的最小值.‎ ‎【详解】当平面时，线段与其在平面上投影相等，‎ 当与平面不平行时，是斜线段，大于其在平面上投影的长度，‎ 求线段的最小值就是求其在平面上投影的最小值，‎ 点在平面的投影是点，点在平面的投影在上，‎ 求线段的最小值转化为点到的距离的最小值，‎ 连接，交于点，，‎ 点到的距离的最小值.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查几何体中距离的最小值，意在考查空间想象能力和数形结合分析问题的能力，属于中档题型.‎ 三、解答题 ‎19.如图，在边长为2的正方体中，，分别是棱、的中点.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）证明：平面.‎ ‎【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）要证明面面垂直，可转化为证明线面垂直，即转化为证明平面；‎ ‎（2）要证明线面平行，根据判断定理，线证明线线平行，如图，转化为证明.‎ ‎【详解】（1）由条件可知 ‎ 平面，平面，‎ ‎，‎ 又 ，‎ 平面，‎ 又平面，‎ 平面平面.‎ ‎（2）设，连接， ‎ 分别是和的中点，‎ ‎，且，‎ ‎，且，‎ ‎，且，‎ 四边形是平行四边形，‎ ‎，‎ 平面 ，平面，‎ 平面 ‎【点睛】‎ 本题考查证明线面平行，面面垂直的证明，意在考查推理证明，一般在证明线面平行的方法1.证明线线平行，2.证明面面平行，不管哪种方法，线线平行是基础，一般根据中位线，构造平行四边形都是常用的方法.‎ ‎20.已知椭：（）过点，且椭圆的离心率为.过椭圆左焦点且斜率为1的直线与椭圆交于，两点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求线段的垂直平分线的方程；‎ ‎（3）求三角形的面积.（为坐标原点）‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由条件得到，求椭圆方程；‎ ‎（2）直线的方程是，与椭圆方程联立求线段的中点，写出垂直平分线方程；‎ ‎（3）利用弦长公式求出，再利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，进而可计算出三角形的面积.‎ ‎【详解】（1）由题意可知，， ，，‎ 椭圆的方程是；‎ ‎（2）椭圆的左焦点 ,直线的方程是 ，‎ 与椭圆方程联立，得，‎ ‎，，‎ 代入直线的方程得，线段的中点是，‎ 并且线段的垂直平分线的斜率是-1，‎ 线段的垂直平分线的方程是，即；‎ ‎（3）由（2）可知， ，‎ ‎，‎ 原点到直线的距离，.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，意在考查直线方程和椭圆中三角形面积的求法，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.‎ ‎21.如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，为棱上一点，‎ ‎（1）当为棱中点时，求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（2）是否存在点，使二面角的余弦值为？若存在，求的值.若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）存在，且.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由条件如图建立空间直角坐标系，先求平面的法向量，再利用公式 求解；‎ ‎（2）设 ，分别求平面的法向量是和平面的法向量 ‎，利用公式，求点的位置.‎ ‎【详解】由条件可知三条线两两垂直，‎ 如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，‎ ‎， ，，，‎ ‎，,‎ 设平面的法向量是 ，‎ 由，得 ，令 ，则 ， ，‎ ‎,,‎ ‎ 直线与平面所成角的正弦值是；‎ ‎（2）设 ，，‎ 设平面的法向量是 ，‎ 由，得，令 ，则， ，‎ ‎ ，平面的法向量 ，‎ ‎，解得： ‎ 即是的中点，即.‎ ‎【点睛】本题考查空间直角坐标法解决线面角，和二面角，意在考查基本方法，公式和计算能力，属于中等题型.‎ ‎22.已知是椭圆：上的点，直线：交椭圆于不同的两点，.‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）若直线不过点，直线的斜率为，求直线的斜率；‎ ‎（3）若直线不过点，直线的斜率为，求直线的斜率.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直线方程与椭圆方程联立得，由题意可知，即可求出实数的取值范围；‎ ‎（2）由题意分别求出点的坐标，求直线的斜率；‎ ‎（3）由（1）可知，，利用根与系数的关系表示，即可求得直线的斜率.‎ ‎【详解】（1）直线方程与椭圆方程联立， ，得： ‎ 由题意可知，‎ 解得：，所以的取值范围是；‎ ‎（2）设，， ，得： ，‎ 解得： 舍，或 ，代入 ，‎ 由（1）可知 ， ， ，,‎ 所以直线斜率是.‎ ‎（3）设， 由（1）可知，，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 分子，，‎ 直线的斜率为，直线的斜率.‎ ‎【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，以及综合应用，涉及椭圆中定值的求法，第三问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，斜率公式都是解题的基本工具.‎