数学卷·2018届江西省赣州市兴国三中高二上学期期中数学试卷 （解析版）

数学卷·2018届江西省赣州市兴国三中高二上学期期中数学试卷 （解析版）

‎2016-2017学年江西省赣州市兴国三中高二（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一、选择题 ‎1．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲没有被选中的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{an}，若a3=8，且a1，a3，a7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（　　）‎ A．13，12 B．13，13 C．12，13 D．13，14‎ ‎3．下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）标准煤的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程=0.7x+0.35，那么表中m的值为（　　）‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎2.5‎ m ‎4‎ ‎4.5‎ A．4 B．3.5 C．4.5 D．3‎ ‎4．某一考点有64个试室，试室编号为001～064，现根据试室号，采用系统抽样的方法，抽取8个试室进行监控抽查，已抽看了005试室号，则下列可能被抽到的试室号是（　　）‎ A．051 B．052 C．053 D．055‎ ‎5．某企业有职150人，其中高级职员15人，中级职员45人，一般职员90人，现抽30人进行分层抽样，则各职称人数分别为（　　）‎ A．5，10，15 B．3，9，18 C．3，10，17 D．5，9，16‎ ‎6．在△ABC中，有一个内角为30°，“∠A＞30°”是“sinA＞”的（　　）条件．‎ A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 ‎7．如图所示，正方体的棱长为1，B'C∩BC'=O，则AO与A'C'所成角的度数为（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎8．已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m、n，则下列四个命题中，假命题是（　　）‎ A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α B．若m⊥α，m⊥β，则α∥β C．m⊥α，m∥n，n⊂β则α⊥β D．m∥α，α∩β=n，则m∥n ‎9．如图是某几何体的三视图，图中圆的半径均为1，且俯视图中两条半径互相垂直，则该几何体的体积为（　　）‎ A．2+π B．π C．π D．2π ‎10．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB=AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为（　　）‎ A．2 B．1 C． D．‎ ‎11．设曲线y=x+1与纵轴及直线y=2所围成的封闭图形为区域D，不等式组所确定的区域为E，在区域E内随机取一点，该点恰好在区域D的概率为（　　）‎ A． B．‎ C． D．以上答案均不正确 ‎12．命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（　　）‎ A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎13．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α∥β，当满足条件　　时，有m⊥β．（填所选条件的序号）‎ ‎14．如图给出的是计算1+++…+的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是　　．‎ ‎15．如图所示为求函数y=f（x）值的一个程序框图．当输出结果为4时，则输入的x的值为　　．‎ ‎16．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读，数学中有回文数，如343，12521等，两位数的回文数有11、22、33、…99共9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．2015年下学期某市教育局对某校高三文科数学进行教学调研，从该校文科生中随机抽取40名学生的数学成绩进行统计，将他们的成绩分成六段[80，90），[90，100），[100，110），[120，130），[130，140）后得到如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（1）求这40个学生数学成绩的众数和中位数的估计值；‎ ‎（2）若从数学成绩[80，100）内的学生中任意抽取2人，求成绩在[80，90）中至少有一人的概率．‎ ‎18．某中学团委组织了“弘扬奥运精神，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100〕后画出如图所示的频率分布直方图．观察图形给出的信息，回答下列问题：‎ ‎（Ⅰ）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；‎ ‎（Ⅱ）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分．‎ ‎19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点．‎ ‎（1）求证：A1B∥平面ADC1；‎ ‎（2）若AB⊥AC，AB=AC=1，AA1=2，求几何体ABD﹣A1B1C1的体积．‎ ‎20．某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人．为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人．‎ ‎（1）求n的值；‎ ‎（2）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a，b，c，d，e，f，现随机从中抽取2人上台抽奖．求a和b至少有一人上台抽奖的概率．‎ ‎（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．‎ ‎21．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD的交点为G，AD⊥平面ABE，AE⊥EB，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥CE．‎ ‎（Ⅰ） 求证：AE⊥平面BCE；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥C﹣GBF的体积．‎ ‎22．已知集合A={x∈R|0＜ax+1≤5}，B={x∈R|＜x+1≤2}（a≠0）‎ ‎（1）A，B能否相等？若能，求出实数a的值；若不能，试说明理由；‎ ‎（2）若命题p：x∈A，命题q：x∈B，且p是q充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江西省赣州市兴国三中高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题 ‎1．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲没有被选中的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】从甲、乙等5名学生中随机选出2人，先求出基本事件总数，再求出甲没有被选中包含的基本事件的个数，同此能求出甲没有被选中的概率．‎ ‎【解答】解：从甲、乙等5名学生中随机选出2人，‎ 基本事件总数n=C52=10，‎ 甲没有被选中包含的基本事件的个数m=C42=6，‎ ‎∴甲没有被选中的概率P==．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{an}，若a3=8，且a1，a3，a7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（　　）‎ A．13，12 B．13，13 C．12，13 D．13，14‎ ‎【考点】等差数列与等比数列的综合；众数、中位数、平均数．‎ ‎【分析】由题设条件，一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{an}，若a3=8，且a1，a3，a7成等比数列，设出公差为d，用公差与a3=8表示出a1，a7再由等比数列的性质建立方程求出公差，即可得到样本数据，再由公式求出样本的平均数和中位数 ‎【解答】解：设公差为d，由a3=8，且a1，a3，a7成等比数列，可得64=（8﹣2d）（8+4d）=64+16d﹣8d2，即，0=16d﹣8d2，又公差不为0，解得d=2‎ 此数列的各项分别为4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，‎ 故样本的中位数是13，平均数是13‎ 故答案为B ‎　‎ ‎3．下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）标准煤的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程=0.7x+0.35，那么表中m的值为（　　）‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎2.5‎ m ‎4‎ ‎4.5‎ A．4 B．3.5 C．4.5 D．3‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】根据表格中所给的数据，求出这组数据的横标和纵标的平均值，表示出这组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，代入得到关于m的方程，解方程即可．‎ ‎【解答】解：∵根据所给的表格可以求出==4.5， ==‎ ‎∵这组数据的样本中心点在线性回归直线上，‎ ‎∴=0.7×4.5+0.35，‎ ‎∴m=3，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．某一考点有64个试室，试室编号为001～064，现根据试室号，采用系统抽样的方法，抽取8个试室进行监控抽查，已抽看了005试室号，则下列可能被抽到的试室号是（　　）‎ A．051 B．052 C．053 D．055‎ ‎【考点】系统抽样方法．‎ ‎【分析】根据系统抽样的定义确定样本间隔进行求解即可．‎ ‎【解答】解：样本间隔为64÷8=8，‎ ‎∵样本第一个编号为005，‎ 则抽取的样本为：05，13，21，29，37，45，53，61，‎ ‎∴可能被抽到的试室号是053，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．某企业有职150人，其中高级职员15人，中级职员45人，一般职员90人，现抽30人进行分层抽样，则各职称人数分别为（　　）‎ A．5，10，15 B．3，9，18 C．3，10，17 D．5，9，16‎ ‎【考点】分层抽样方法．‎ ‎【分析】共有150人，要抽一个30人的样本，采用分层抽样，每个个体被抽到的概率是，根据这个比例作出各种职称的人数．‎ ‎【解答】解：抽取的比例为，‎ ‎15×=3，‎ ‎45×=9，‎ ‎90×=18．‎ 故选B ‎　‎ ‎6．在△ABC中，有一个内角为30°，“∠A＞30°”是“sinA＞”的（　　）条件．‎ A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】△ABC中，有一个内角为30°，∴150°＞∠A＞30°，⇔sinA＞，即可判断出结论．‎ ‎【解答】解：∵△ABC中，有一个内角为30°，∴150°＞∠A＞30°，⇔sinA＞，‎ 因此“∠A＞30°”是“sinA＞”的充要条件，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．如图所示，正方体的棱长为1，B'C∩BC'=O，则AO与A'C'所成角的度数为（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】A′C′∥AC，则AO与A′C′所成的角就是∠OAC．‎ ‎【解答】解：∵A′C′∥AC，‎ ‎∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC．‎ ‎∵OC⊥OB，AB⊥平面BB′CC′，‎ ‎∴OC⊥AB．又AB∩BO=B，‎ ‎∴OC⊥平面ABO．‎ 又OA⊂平面ABO，∴OC⊥OA．‎ 在Rt△AOC中，OC=，AC=，‎ ‎∴sin∠OAC=，‎ ‎∴∠OAC=30°．即AO与A′C′所成角的度数为30°．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎8．已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m、n，则下列四个命题中，假命题是（　　）‎ A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α B．若m⊥α，m⊥β，则α∥β C．m⊥α，m∥n，n⊂β则α⊥β D．m∥α，α∩β=n，则m∥n ‎【考点】平面的基本性质及推论．‎ ‎【分析】根据直线与平面垂直的性质和直线与平面所成角的定义，得到A项正确；根据直线与平面垂直的定义，结合平面与平面平行的判定定理，得到B项正确；根据直线与平面垂直的性质定理和平面与平面垂直的判定定理，得到C项正确；根据直线与平面平行的性质定理的大前提，可得D项是错误的．由此可得正确答案．‎ ‎【解答】解：对于A，∵m⊥α，‎ ‎∴直线m与平面α所成角为90°，‎ ‎∵m∥n，‎ ‎∴n与平面α所成角，等于m与平面α所成角，‎ ‎∴n与平面α所成的角也是90°，‎ 即“n⊥α”成立，故A正确；‎ 对于B，若m⊥α，m⊥β，则经过m作平面γ，‎ 设γ∩α=a，γ∩β=b ‎∵a⊂α，b⊂β ‎∴在平面γ内，m⊥a且m⊥b 可得a、b是平行直线 ‎∵a⊄β，b⊂β，a∥b ‎∴a∥β 经过m再作平面θ，设θ∩α=c，θ∩β=d 用同样的方法可以证出c∥β ‎∵a、c是平面α内的相交直线 ‎∴α∥β，故B正确；‎ 对于C，∵m⊥α，m∥n，‎ ‎∴n⊥α，‎ 又∵n⊂β ‎∴α⊥β，故C正确；‎ 对于D，m∥α，α∩β=n，‎ 当直线m在平面β内时，m∥n 成立 但题设中没有m⊂β这一条，故D不正确．‎ 故选D ‎　‎ ‎9．如图是某几何体的三视图，图中圆的半径均为1，且俯视图中两条半径互相垂直，则该几何体的体积为（　　）‎ A．2+π B．π C．π D．2π ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由三视图知该几何体是由个半径为1的球和个底面半径为1，高为2的圆柱组合而成，由柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积．‎ ‎【解答】解：由三视图知该几何体是由个半径为1的球和个底面半径为1，高为2的圆柱组合而成，其体积为=π．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB=AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为（　　）‎ A．2 B．1 C． D．‎ ‎【考点】球内接多面体．‎ ‎【分析】判断球心的位置，设正方形的边长，利用勾股定理求出边长，然后求解四边形的面积．‎ ‎【解答】解：球心在平面BCC1B1的中心O上，BC为截面圆的直径，∴∠BAC=90°，‎ 底面外接圆的圆心N位于BC的中点，‎ ‎△A1B1C1的外心M在B1C1中点上，‎ 设正方形BCC1B1的边长为x，‎ Rt△OMC1中，OM=，，OC1=R=1，‎ ‎∴，‎ 即x=，则AB=AC=1，‎ ‎∴‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎11．设曲线y=x+1与纵轴及直线y=2所围成的封闭图形为区域D，不等式组所确定的区域为E，在区域E内随机取一点，该点恰好在区域D的概率为（　　）‎ A． B．‎ C． D．以上答案均不正确 ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】根据题意，画出由曲线y=x+1与纵轴及直线y=2所围成的封闭图形区域D（阴影部分），以及不等式组所确定的区域E，计算阴影面积与正方形面积比即可．‎ ‎【解答】解：画出由曲线y=x+1与纵轴及直线y=2所围成的封闭图形区域D（阴影部分），‎ 以及不等式组所确定的区域E，‎ 如图所示，‎ 则在区域E内随机取一点，该点恰好在区域D的概率为：‎ P==．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（　　）‎ A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】本题先要找出命题为真命题的充要条件{a|a≥4}，从集合的角度充分不必要条件应为{a|a≥4}的真子集，由选择项不难得出答案．‎ ‎【解答】解：命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题，可化为∀x∈[1，2]，a≥x2，恒成立 即只需a≥（x2）max=4，即“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的充要条件为a≥4，‎ 而要找的一个充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集，由选择项可知C符合题意．‎ 故选C ‎　‎ 二、填空题 ‎13．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α∥β，当满足条件　②④　时，有m⊥β．（填所选条件的序号）‎ ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】由于当一条直线垂直于两个平行平面中的一个时，此直线也垂直于另一个平面，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α∥β，‎ ‎∵由于当一条直线垂直于两个平行平面中的一个时，此直线也垂直于另一个平面，结合所给的选项，故由②④可推出m⊥β．‎ 即②④是m⊥β的充分条件，‎ ‎∴满足条件②④，时，有m⊥β．‎ 故答案为：②④．‎ ‎　‎ ‎14．如图给出的是计算1+++…+的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是　i≤1007　．‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S的值．‎ ‎【解答】解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：‎ 第一次循环：S=0+1，i=1，‎ 第二次循环：S=1+，i=2，‎ 第三次循环：S=1++，i=3，…‎ 依此类推，第1007次循环：S=1+++…++，i=1008，此时不满足条件，退出循环 其中判断框内应填入的条件是：i≤1007．‎ 故答案为：i≤1007．‎ ‎　‎ ‎15．如图所示为求函数y=f（x）值的一个程序框图．当输出结果为4时，则输入的x的值为　2或﹣2　．‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】由程序框图可知：该程序表示的是表示分段函数求值问题，通过分类讨论即可求出答案．‎ ‎【解答】解：算法的功能是求下面函数的函数值 f（x）=，‎ 当x≥1时，2x=4，解得：x=2；‎ 当﹣1≤x＜1时，3﹣x2=4，无解；‎ 当x≥1时，2﹣x=4，解得：x=﹣2．‎ 故答案为：2或﹣2．‎ ‎　‎ ‎16．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读，数学中有回文数，如343，12521等，两位数的回文数有11、22、33、…99共9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是　　．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】利用列举法列举出所有的三位回文数的个数，再列举出其中所有的偶数的个数，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：三位数的回文数为ABA，‎ A共有1到9共9种可能，即1B1、2B2、3B3…‎ B共有0到9共10种可能，即A0A、A1A、A2A、A3A、…‎ 共有9×10=90个，‎ 其中偶数为A是偶数，共4种可能，即2B2，4B4，6B6，8B8，‎ B共有0到9共10种可能，即A0A、A1A、A2A、A3A、…‎ 其有4×10=40个，‎ ‎∴三位数的回文数中，偶数的概率p=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．2015年下学期某市教育局对某校高三文科数学进行教学调研，从该校文科生中随机抽取40名学生的数学成绩进行统计，将他们的成绩分成六段[80，90），[90，100），[100，110），[120，130），[130，140）后得到如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（1）求这40个学生数学成绩的众数和中位数的估计值；‎ ‎（2）若从数学成绩[80，100）内的学生中任意抽取2人，求成绩在[80，90）中至少有一人的概率．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．‎ ‎【分析】（1）众数的估计值为最高矩形对应的成绩区间的中点，由此能求出众数的估计值，设中位数的估计值为x，由频率分布直方图得10×0.005+0.010×10+0.020×10+（x﹣110）×0.030=0.5，由此能求出中位数的估计值．‎ ‎（2）从图中知，成绩在[80，90）的人数为2人，成绩在[90，100）的人数为4人，由此利用列举法能求出从数学成绩[80，100）内的学生中任意抽取2人，成绩在[80，90）中至少有一人的概率．‎ ‎【解答】解：（1）众数的估计值为最高矩形对应的成绩区间的中点，‎ 即众数的估计值为115．…‎ 设中位数的估计值为x，‎ 则10×0.005+0.010×10+0.020×10+（x﹣110）×0.030=0.5，解得x=115．‎ ‎∴中位数的估计值为115…‎ ‎（2）从图中知，成绩在[80，90）的人数为m1=0.005×10×40=2（人），‎ 成绩在[90，100）的人数为m2=0.010×10×40=4（人），‎ 设成绩在[80，90）的学生记为a，b，成绩在[90，100）的学生记为c，d，e，f．‎ 则从成绩在[80，100）内的学生中任取2人组成的基本事件有：‎ ‎（a，b）（a，c）（a，d）（a，e）（a，f）（b，c）（b，d）（b，e）（b，f）（c，d）‎ ‎（c，e）（c，f）（d，e）（d，f）（e，f）共15种．‎ 其中成绩在[80，90）的学生至少有一人的基本事件有：‎ ‎（a，b）（a，c）（a，d）（a，e）（a，f）（b，c）（b，d）（b，e）（b，f）共9种．‎ 所以成绩在[80，90）的学生至少有一人的概率为…‎ ‎　‎ ‎18．某中学团委组织了“弘扬奥运精神，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100〕后画出如图所示的频率分布直方图．观察图形给出的信息，回答下列问题：‎ ‎（Ⅰ）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；‎ ‎（Ⅱ）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分．‎ ‎【考点】众数、中位数、平均数；频率分布直方图．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，能求出第四小组的频率，从而能作出频率分布直方图．‎ ‎（Ⅱ）由频率分布直方图能估计这次考试的及格率和平均分．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得第四小组的频率为：‎ ‎1﹣（0.01+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=0.3．‎ 频率分布直方图如右图．‎ ‎（Ⅱ） 估计这次考试的及格率及以上为及格）为：‎ ‎1﹣0.01×10﹣0.015×10=75%，‎ 平均分：45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71．‎ ‎　‎ ‎19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点．‎ ‎（1）求证：A1B∥平面ADC1；‎ ‎（2）若AB⊥AC，AB=AC=1，AA1=2，求几何体ABD﹣A1B1C1的体积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）连接A1C，交AC1于点E，连接DE，则DE∥A1B．由此能证明A1B∥平面ADC1．‎ ‎（2）几何体ABD﹣A1B1C1的体积V=﹣，由此能求出结果．‎ ‎【解答】证明：（1）连接A1C，交AC1于点E，‎ 则点E是A1C及AC1的中点．‎ 连接DE，则DE∥A1B．‎ 因为DE⊂平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1．‎ 解：（2）∵AB⊥AC，AB=AC=1，AA1=2，‎ ‎∴几何体ABD﹣A1B1C1的体积：‎ V=﹣‎ ‎=S△ABC×AA1﹣‎ ‎=﹣‎ ‎=1﹣=．‎ ‎　‎ ‎20．某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人．为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人．‎ ‎（1）求n的值；‎ ‎（2）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a，b，c，d，e，f，现随机从中抽取2人上台抽奖．求a和b至少有一人上台抽奖的概率．‎ ‎（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．‎ ‎【考点】程序框图；古典概型及其概率计算公式；几何概型．‎ ‎【分析】（1）根据分层抽样可得，故可求n的值；‎ ‎（2）求出高二代表队6人，从中抽取2人上台抽奖的基本事件，确定a和b至少有一人上台抽奖的基本事件，根据古典概型的概率公式，可得a和b至少有一人上台抽奖的概率；‎ ‎（3）确定满足0≤x≤1，0≤y≤1点的区域，由条件得到的区域为图中的阴影部分，计算面积，可求该代表中奖的概率．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可得，∴n=160；‎ ‎（2）高二代表队6人，从中抽取2人上台抽奖的基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b．f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共15种，其中a和b至少有一人上台抽奖的基本事件有9种，‎ ‎∴a和b至少有一人上台抽奖的概率为=；‎ ‎（3）由已知0≤x≤1，0≤y≤1，点（x，y）在如图所示的正方形OABC内，‎ 由条件得到的区域为图中的阴影部分 由2x﹣y﹣1=0，令y=0可得x=，令y=1可得x=1‎ ‎∴在x，y∈[0，1]时满足2x﹣y﹣1≤0的区域的面积为=‎ ‎∴该代表中奖的概率为=．‎ ‎　‎ ‎21．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD的交点为G，AD⊥平面ABE，AE⊥EB，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥CE．‎ ‎（Ⅰ） 求证：AE⊥平面BCE；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥C﹣GBF的体积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用线面垂直的性质及判定可得BC⊥平面ABE，可得BC⊥AE．再利用线面垂直的判定定理可得AE⊥平面BCE；‎ ‎（Ⅱ）由三角形的中位线定理可得：FG∥AE，．利用线面垂直的性质可得FG⊥平面BCE．再利用“等体积变形”即可得出VC﹣GBF=VG﹣BCF计算出即可．‎ ‎【解答】（I）证明：∵AD⊥面ABE，AD∥BC，‎ ‎∴BC⊥面ABE，AE⊂平面ABE，‎ ‎∴AE⊥BC．…‎ 又∵AE⊥EB，且BC∩EB=B，∴AE⊥面BCE．…‎ ‎（II）解：∵在△BCE中，EB=BC=2，BF⊥CE，‎ ‎∴点F是EC的中点，且点G是AC的中点，…‎ ‎∴FG∥AE且． …‎ ‎∵AE⊥面BCE，∴FG⊥面BCE．‎ ‎∴GF是三棱锥G﹣BFC的高 …‎ 在Rt△BCE中，EB=BC=2，且F是EC的中点 ‎．…‎ ‎∴．…‎ ‎　‎ ‎22．已知集合A={x∈R|0＜ax+1≤5}，B={x∈R|＜x+1≤2}（a≠0）‎ ‎（1）A，B能否相等？若能，求出实数a的值；若不能，试说明理由；‎ ‎（2）若命题p：x∈A，命题q：x∈B，且p是q充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】（1）分a＞0和a＜0两种情况讨论是否存在满足条件的实数a的值，综合讨论结果，可得答案；‎ ‎（2）若p是q充分不必要条件，则A⊊B，分类讨论，可得满足条件的a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）解＜x+1≤2得：﹣＜x≤1，‎ 故B={x∈R|﹣＜x≤1}，‎ 当a＞0时，集合A={x∈R|0＜ax+1≤5}={x∈R|﹣＜x≤}，‎ 此时方程组无解，‎ 当a＜0时，集合A={x∈R|0＜ax+1≤5}={x∈R|≤x＜﹣}，‎ 不可能有A=B，‎ 综上，不存在满足条件的a值；‎ ‎（2）若p是q充分不必要条件，则A⊊B，‎ 当a＞0时，，解得：a≥4； ‎ 当a＜0时，解得：a＜﹣8‎ 综上可得：a＜﹣8，或a≥4‎ ‎　‎