数学卷·2018届吉林省松原市乾安七中高二下学期第一次月考数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2018届吉林省松原市乾安七中高二下学期第一次月考数学试卷（理科） （解析版）

‎2016-2017学年吉林省松原市乾安七中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．函数y=sin（2x2+x）导数是（　　）‎ A．y′=cos（2x2+x） B．y′=2xsin（2x2+x）‎ C．y′=（4x+1）cos（2x2+x） D．y′=4cos（2x2+x）‎ ‎2．设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎3．若f（x）=﹣x2+bln（x+2）在（﹣1，+∞）上是减函数，则b的取值范围是（　　）‎ A．[﹣1，+∞） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1] D．（﹣∞，﹣1）‎ ‎4．函数f（x）=（　　）‎ A．在（0，2）上单调递减 B．在（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递增 C．在（0，2）上单调递增 D．在（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递减 ‎5．如果10N的力能使弹簧压缩0.1m，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置0.06m处，则克服弹力所做的功为（　　）‎ A．0.28J B．0.12J C．0.26J D．0.18J ‎6．已知f（x）=，则的值为（　　）‎ A． B．﹣ C．﹣ D．‎ ‎7．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（　　）‎ A．假设三内角都不大于60度 B．假设三内角都大于60度 C．假设三内角至多有一个大于60度 D．假设三内角至多有两个大于60度 ‎8．三角形的面积为S=（a+b+c）•r，（a，b，c为三角形的边长，r为三角形的内切圆的半径）利用类比推理，可以得出四面体的体积为（　　）‎ A．V=abc（a，b，c，为底面边长）‎ B．V=Sh（S为底面面积，h为四面体的高）‎ C．V=（S1+S2+S3+S4）r（S1，S2，S3，S4分别为四面体四个面的面积，r为四面 体内切球的半径）‎ D．V=（ab+bc+ac）h（a，b，c为底面边长，h为四面体的高）‎ ‎9．已知函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），且当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x），若2＜a＜4则（　　）‎ A．f（2a）＜f（3）＜f（log2a） B．f（3）＜f（log2a）＜f（2a）‎ C．f（log2a）＜f（3）＜f（2a） D．f（log2a）＜f（2a）＜f（3）‎ ‎10．曲线y=ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+3=0的最短距离是（　　）‎ A． B．2 C．3 D．0‎ ‎11．设0＜a＜b，且f（x）=，则下列大小关系式成立的是（　　）‎ A．f （a）＜f （）＜f （） B．f （）＜f （b）＜f （）‎ C．f （）＜f （）＜f （a） D．f （b）＜f （）＜f （）‎ ‎12．已知函数y=f（x）对于任意的满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞‎ ‎0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式不成立的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎13．若函数f（x）=x3+ax2+x﹣7在R上单调递增，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎14．已知定义域为R的函数f（x）满足f（1）=3，且f（x）的导数f′（x）＜2x+1，则不等式f（2x）＜4x2+2x+1的解集为　　．‎ ‎15．观察下列式子：1+＜，1++＜，1+++＜，…，则可归纳出　　．‎ ‎16．已知f（x）为一次函数，且f（x）=x+2，则f（x）=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（解答时写出必要的解题过程，共70分）‎ ‎17．（10分）由y2=4x与直线y=2x﹣4所围成图形的面积为　　．‎ ‎18．（12分）已知函数f（x）=3x3﹣9x+5．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）求函数f（x）在[﹣2，2]上的最大值和最小值．‎ ‎19．（12分）设函数的图象关于原点对称，且f（x）的图象在点p（1，m）处的切线的斜率为﹣6，且当x=2时，f（x）有极值．‎ ‎（1）求a，b，c，d的值；‎ ‎（2）若x1，x2∈[﹣1，1]时，求证．‎ ‎20．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣1与x=2处都取得极值．‎ ‎（Ⅰ）求a，b的值及函数f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若对x∈[﹣2，3]，不等式f（x）+c＜c2恒成立，求c的取值范围．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=﹣alnx（a∈R）．‎ ‎（1）若f（x）在x=2时取得极值，求a的值；‎ ‎（2）求f（x）的单调区间．‎ ‎22．（12分）设函数f（x）=lnx+a（1﹣x）．‎ ‎（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年吉林省松原市乾安七中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．函数y=sin（2x2+x）导数是（　　）‎ A．y′=cos（2x2+x） B．y′=2xsin（2x2+x）‎ C．y′=（4x+1）cos（2x2+x） D．y′=4cos（2x2+x）‎ ‎【考点】简单复合函数的导数．‎ ‎【分析】设H（x）=f（u），u=g（x），则H′（x）=f′（u）g′（x）．‎ ‎【解答】解：设y=sinu，u=2x2+x，‎ 则y′=cosu，u′=4x+1，‎ ‎∴y′=（4x+1）cosu=（4x+1）cos（2x2+x），‎ 故选C．‎ ‎【点评】牢记复合函数的导数求解方法，在实际学习过程中能够熟练运用．‎ ‎　‎ ‎2．设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义．‎ ‎【分析】本题可以考虑排除法，容易看出选项D不正确，因为D的图象，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数．‎ ‎【解答】解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D．‎ ‎【点评】考查函数的单调性问题．‎ ‎　‎ ‎3．若f（x）=﹣x2+bln（x+2）在（﹣1，+∞）上是减函数，则b的取值范围是（　　）‎ A．[﹣1，+∞） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1] D．（﹣∞，﹣1）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】先对函数进行求导，根据导函数小于0时原函数单调递减即可得到答案．‎ ‎【解答】解：由题意可知，在x∈（﹣1，+∞）上恒成立，‎ 即b＜x（x+2）在x∈（﹣1，+∞）上恒成立，‎ 由于y=x（x+2）在（﹣1，+∞）上是增函数且y（﹣1）=﹣1，所以b≤﹣1，‎ 故选C ‎【点评】本题主要考查导数的正负和原函数的增减性的问题．即导数大于0时原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减．‎ ‎　‎ ‎4．函数f（x）=（　　）‎ A．在（0，2）上单调递减 B．在（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递增 C．在（0，2）上单调递增 D．在（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递减 ‎【考点】函数单调性的判断与证明．‎ ‎【分析】先求函数的定义域，再求函数的导数，令导数大于0，在定义域成立的前提下，解得的x的范围是函数的增区间，令导数小于0，在定义域成立的前提下，解得的x的范围为函数的减区间．‎ ‎【解答】解：函数的定义域为{x|x≠1}‎ 函数的导数为，令导数大于0，即＞0，解得x＜0，或x＞2‎ 令导数小于0，即＜0，解得0＜x＜2，又∵‎ ‎∴函数的增区间为（﹣∞，0）和（2，+∞），减区间为（0，1）和（1，2）‎ 故选B ‎【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，一定注意单调区间是定义域的子区间，必须在定义域成立的前提下求单调区间．‎ ‎　‎ ‎5．如果10N的力能使弹簧压缩0.1m，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置0.06m处，则克服弹力所做的功为（　　）‎ A．0.28J B．0.12J C．0.26J D．0.18J ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】先求出F（x）的表达式，再根据定积分的物理意义即可求出．‎ ‎【解答】解：F=kl，F=10N，l=0.1m；‎ ‎∴k=100；‎ ‎∴J．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了定积分在物理中的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．已知f（x）=，则的值为（　　）‎ A． B．﹣ C．﹣ D．‎ ‎【考点】微积分基本定理．‎ ‎【分析】利用分段函数的意义和微积分基本定理即可得出．‎ ‎【解答】解： ==+=．‎ 故选D．‎ ‎【点评】熟练掌握分段函数的意义和微积分基本定理是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（　　）‎ A．假设三内角都不大于60度 B．假设三内角都大于60度 C．假设三内角至多有一个大于60度 D．假设三内角至多有两个大于60度 ‎【考点】反证法与放缩法．‎ ‎【分析】一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；‎ ‎“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有n+1个”；‎ ‎“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”．‎ ‎【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”．‎ 故选B ‎【点评】本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定．‎ ‎　‎ ‎8．三角形的面积为S=（a+b+c）•r，（a，b，c为三角形的边长，r为三角形的内切圆的半径）利用类比推理，可以得出四面体的体积为（　　）‎ A．V=abc（a，b，c，为底面边长）‎ B．V=Sh（S为底面面积，h为四面体的高）‎ C．V=（S1+S2+S3+S4）r（S1，S2，S3，S4分别为四面体四个面的面积，r为四面 体内切球的半径）‎ D．V=（ab+bc+ac）h（a，b，c为底面边长，h为四面体的高）‎ ‎【考点】类比推理．‎ ‎【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．‎ ‎【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，‎ 根据三角形的面积的求解方法：分割法，将O与四顶点连起来，可得四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，‎ ‎∴V=（S1+S2+S3+S4）r，‎ 故选C．‎ ‎【点评】类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．‎ ‎　‎ ‎9．已知函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），且当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x），若2＜a＜4则（　　）‎ A．f（2a）＜f（3）＜f（log2a） B．f（3）＜f（log2a）＜f（2a）‎ C．f（log2a）＜f（3）＜f（2a） D．f（log2a）＜f（2a）＜f（3）‎ ‎【考点】抽象函数及其应用；导数的运算．‎ ‎【分析】由f（x）=f（4﹣x），可知函数f（x）关于直线x=2对称，由xf′（x）＞2f′（x），可知f（x）在（﹣∞，2）与（2，+∞）上的单调性，从而可得答案．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），‎ ‎∴f（x）关于直线x=2对称；‎ 又当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x）⇔f′（x）（x﹣2）＞0，‎ ‎∴当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上的单调递增；‎ 同理可得，当x＜2时，f（x）在（﹣∞，2）单调递减；‎ ‎∵2＜a＜4，‎ ‎∴1＜log2a＜2，‎ ‎∴2＜4﹣log2a＜3，又4＜2a＜16，f（log2a）=f（4﹣log2a），f（x）在（2，+∞）上的单调递增；‎ ‎∴f（log2a）＜f（3）＜f（2a）．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查抽象函数及其应用，考查导数的性质，判断f（x）在（﹣∞，2）与（2，+∞）上的单调性是关键，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．曲线y=ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+3=0的最短距离是（　　）‎ A． B．2 C．3 D．0‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】设与曲线y=ln（2x﹣1）相切且与直线2x﹣y+3=0平行的直线方程为：2x﹣y+m=0，设切点为（x0，y0），利用导数的几何意义可求出切点坐标，再利用点到直线的距离公式即可得出．‎ ‎【解答】解：y=ln（2x﹣1）的导函数为y′=，‎ 设与曲线y=ln（2x﹣1）相切且与直线2x﹣y+3=0平行的直线方程为：2x﹣y+m=0，‎ 设切点为（x0，y0）‎ ‎∴=2，解得x0=1，‎ ‎∴y0=ln（2x0﹣1）=ln1=0，‎ ‎∴切点为（1，0）‎ ‎∴切点（1，0）到直线2x﹣y+3=0的距离为=．‎ 即曲线y=ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+3=0的最短距离是．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了导数的几何意义、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎11．设0＜a＜b，且f（x）=，则下列大小关系式成立的是（　　）‎ A．f （a）＜f （）＜f （） B．f （）＜f （b）＜f （）‎ C．f （）＜f （）＜f （a） D．f （b）＜f （）＜f （）‎ ‎【考点】函数单调性的性质；基本不等式．‎ ‎【分析】明确f（x）=在（0，+∞）上是单调减函数，再由基本不等式明确b＞＞，利用函数的单调性定义来求解．‎ ‎【解答】解：∵0＜a＜b，‎ ‎∴b＞＞‎ 又∵f（x）=，‎ ‎∴f′（x）==＜0，‎ ‎∴f（x）=在（0，+∞）上是单调减函数，‎ ‎∴f （b）＜f （）＜f （）‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查指数函数的单调性和基本不等式．解答的关键是在比较大小时体现了函数思想．‎ ‎　‎ ‎12．已知函数y=f（x）对于任意的满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式不成立的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．‎ ‎【分析】根据条件构造函数g（x）=，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可得到结论 ‎【解答】解：构造函数g（x）=，‎ 则g′（x）== [（f′（x）cosx+f（x）sinx]，‎ ‎∵对任意的x∈（﹣，）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0，‎ ‎∴g′（x）＞0，即函数g（x）在x∈（﹣，）单调递增，‎ 则②g（﹣）＜g（﹣），即＜，‎ ‎∴＜，即f（﹣））＜f（﹣），故B正确；‎ ‎③g（0）＜g（），即＜，‎ ‎∴f（0）＜f（），故③正确；‎ ‎④g（0）＜g（），即＜，‎ ‎∴f（0）＜2f（），故④正确；‎ 由排除法，‎ 故选：A ‎【点评】本题主要考查函数单调性的应用，利用条件构造函数是解决本题的关键，综合性较强，有一点的难度．‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎13．若函数f（x）=x3+ax2+x﹣7在R上单调递增，则实数a的取值范围是　[﹣，]　．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】根据函数单调递增，则等价为f′（x）≥0恒成立，利用二次函数的图象和性质即可得到结论．‎ ‎【解答】解：若函数f（x）=x3+ax2+x﹣7在R上单调递增，‎ 则f′（x）≥0恒成立，‎ 即f′（x）=3x2+2ax+1≥0恒成立，‎ 则判别式△=4a2﹣4×3≤0，‎ 即a2≤3，则﹣≤a≤，‎ 故实数a的取值范围是[﹣，]，‎ 故答案为：[﹣，]‎ ‎【点评】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，将函数单调递增转化为f′（x）≥0恒成立是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．已知定义域为R的函数f（x）满足f（1）=3，且f（x）的导数f′（x）＜2x+1，则不等式f（2x）＜4x2+2x+1的解集为　（，+∞）　．‎ ‎【考点】导数的运算；其他不等式的解法．‎ ‎【分析】先由f'（x）＜2x+1，知函数g（x）=f（x）﹣（x2+x）为R上的减函数，再将f（1）=3化为g（1）=1，将所解不等式化为g（2x）＜g（1），最后利用单调性解不等式即可 ‎【解答】解：∵f′（x）＜2x+1，‎ ‎∴f′（x）﹣（2x+1）＜0，‎ 即[f（x）﹣（x2+x）]′＜0‎ 设g（x）=f（x）﹣（x2+x）‎ 则g（x）在R上为减函数，‎ ‎∵f（1）=3，‎ ‎∴g（1）=f（1）﹣（12+1）=3﹣2=1‎ ‎∵f（2x）＜4x2+2x+1=（2x）2+2x+1，‎ ‎∴f（2x）﹣[（2x）2+2x]＜1，‎ ‎∴g（2x）＜1=g（1）‎ ‎∴2x＞1，‎ 解得x＞‎ 故答案为：（，+∞）‎ ‎【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．是中档题 ‎　‎ ‎15．观察下列式子：1+＜，1++＜，1+++＜，…，则可归纳出　（n∈N*）　．‎ ‎【考点】归纳推理．‎ ‎【分析】根据所给的几个不等式归纳出左边、右边的规律，根据此规律可归纳出第n个不等式．‎ ‎【解答】解：由题意知，：1+＜，1++＜，1+++＜，…，‎ 观察可得：每个不等式的左边是正整数的倒数之和，且最后一项的分母是项数加1，‎ 右边是分数，且分母是项数加1、分子是以3为首项、2 为公差的等差数列，‎ ‎∴可归纳出第n个不等式：（n∈N*），‎ 故答案为：（n∈‎ N*）．‎ ‎【点评】本题考查归纳推理，难点是根据能够找出数之间的内在规律，考查观察、分析、归纳的能力，是基础题．‎ ‎　‎ ‎16．已知f（x）为一次函数，且f（x）=x+2，则f（x）=　x﹣1　．‎ ‎【考点】定积分；函数解析式的求解及常用方法．‎ ‎【分析】根据题意设f（x）=x+b，然后建立等式b=2∫01（x+b）dx，最后利用定积分的定义进行求解，求出b即可．‎ ‎【解答】解：∵f（x）为一次函数，且，‎ ‎∴设f（x）=x+b 则b=2∫01（x+b）dx=2（x2+bx）|01=2（+b）‎ 解得：b=﹣1‎ ‎∴f（x）=x﹣1‎ 故答案为：x﹣1‎ ‎【点评】本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，以及待定系数法的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ 三、解答题（解答时写出必要的解题过程，共70分）‎ ‎17．（10分）（2016秋•南昌期末）由y2=4x与直线y=2x﹣4所围成图形的面积为　9　．‎ ‎【考点】定积分．‎ ‎【分析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出曲线yy2=4x与直线y=2x﹣4所围成的封闭图形的面积，即可求得结论 ‎【解答】解：联立方程组，解得或，‎ ‎∴曲线y=x2与直线y=x围成的封闭图形的面积为S=（y+2﹣y2‎ ‎）dy=（y2+2y﹣）|=9，‎ 故答案为：9‎ ‎【点评】本题考查利用定积分求面积，解题的关键是确定被积区间及被积函数．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2015秋•朔州校级期末）已知函数f（x）=3x3﹣9x+5．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）求函数f（x）在[﹣2，2]上的最大值和最小值．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】（I）求出函数f（x）的导函数，令导函数大于0求出x的范围，写成区间即为函数f（x）的单调递增区间．‎ ‎（II）列出当x变化时，f′（x），f（x）变化状态表，求出函数在[﹣2，2]上的极值及两个端点的函数值，选出最大值和最小值．‎ ‎【解答】解：（I）f′（x）=9x2﹣9．（2分）‎ 令9x2﹣9＞0，（4分）解 此不等式，得x＜﹣1或x＞1．‎ 因此，函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）．（（6分）‎ ‎（II）令9x2﹣9=0，得x=1或x=﹣1．（8分）‎ 当x变化时，f′（x），f（x）变化状态如下表：‎ x ‎﹣2‎ ‎（﹣2，﹣1）‎ ‎﹣1‎ ‎（﹣1，1）‎ ‎1‎ ‎（1，2）‎ ‎2‎ f′（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ ‎﹣1‎ ‎↑‎ ‎11‎ ‎↓‎ ‎﹣1‎ ‎↑‎ ‎11‎ ‎（10分）‎ 从表中可以看出，当x=﹣2或x=1时，函数f（x）取得最小值﹣1．‎ 当x=﹣1或x=2时，函数f（x）取得最大值11．（12分）‎ ‎【点评】求函数在闭区间上的最值问题，一般利用导数求出函数的极值，再求出函数在两个端点的函数值，从它们中选出最值．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2011春•当涂县期中）设函数的图象关于原点对称，且f（x）的图象在点p（1，m）处的切线的斜率为﹣6，且当x=2时，f（x）有极值．‎ ‎（1）求a，b，c，d的值；‎ ‎（2）若x1，x2∈[﹣1，1]时，求证．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．‎ ‎【分析】（1）由函数f（x）的图象关于原点对称，得f（﹣x）=﹣f（x）从而可求b=0，d=0；利用在x=1处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．‎ ‎（2）把（1）求出的实数a、b、c、d的值代入函数中确定出解析式，当x∈[﹣1，1]时，f′（x）＜0，从而f（x）在[﹣1，1]上为减函数，进而可得结论．‎ ‎【解答】解：（1）由函数f（x）的图象关于原点对称，得f（﹣x）=﹣f（x）‎ ‎∴，∴b=0，d=0．‎ ‎∴，∴f'（x）=ax2+4c．‎ ‎∴，即．∴a=2，c=﹣2．‎ ‎（2），当x∈[‎ ‎﹣1，1]时，f′（x）＜0，‎ ‎∴f（x）在[﹣1，1]上为减函数，若x1，x2∈[﹣1，1]时，‎ ‎．‎ ‎【点评】本题以函数的性质为载体，考查函数的解析式，考查利用导数确定函数的单调性，解题的关键是利用单调性确定函数的最值．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2011•深圳校级模拟）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣1与x=2处都取得极值．‎ ‎（Ⅰ）求a，b的值及函数f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若对x∈[﹣2，3]，不等式f（x）+c＜c2恒成立，求c的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；不等式的证明．‎ ‎【分析】（1）求出f′（x）并令其=0得到方程，把x=﹣1和x=2代入求出a、b即可；‎ ‎（2）求出函数的最大值为f（﹣1），要使不等式恒成立，既要证f（﹣1）+c＜c2，即可求出c的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2+2ax+b，‎ 由题意：即 解得 ‎∴，f′（x）=3x2﹣3x﹣6‎ 令f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜2；‎ 令f′（x）＞0，解得x＜﹣1或x＞2，‎ ‎∴f（x）的减区间为（﹣1，2）；增区间为（﹣∞，﹣1），（2，+∞）．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增；‎ 在（﹣1，2）上单调递减；在（2，+∞）上单调递增．‎ ‎∴x∈[﹣2，3]时，f（x）的最大值即为f（﹣1）与f（3）中的较大者.‎ ‎；‎ ‎∴当x=﹣1时，f（x）取得最大值．‎ 要使，只需，即：2c2＞7+5c 解得：c＜﹣1或．‎ ‎∴c的取值范围为．‎ ‎【点评】考查学生利用导数求函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力，以及掌握不等式的证明方法．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2017春•乾安县校级月考）已知函数f（x）=﹣alnx（a∈R）．‎ ‎（1）若f（x）在x=2时取得极值，求a的值；‎ ‎（2）求f（x）的单调区间．‎ ‎【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数f′（x），根据x=2是f′（x）一个极值点，利用f′（2）=0，可得a=4，再检验当a=4时，x=2是f（x）的极小值点符合题意；‎ ‎（2）讨论导数的零点，可得当a≤0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为，+∞），单调递减区间为．‎ ‎【解答】解：（1，∵x=2是一个极值点，‎ ‎∴，∴a=4．‎ 此时=．‎ ‎∵f（x）的定义域是{x|x＞0}，‎ ‎∴当0＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时，f′（x）＞0．‎ ‎∴当a=4时，x=2是f（x）的极小值点，∴a=4．（6分）‎ ‎（2）∵，∴当a≤0时，‎ f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．‎ 当a＞0时， =，‎ 令f′（x）＞0有，∴函数f（x）的单调递增区间为，+∞）；‎ 令f′（x）＜0有，‎ ‎∴函数f（x）的单调递减区间为．（12分）‎ ‎【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性和函数在某点取得极值的条件，属于中档题．做题时注意分类讨论思想的运用，以及取极值时的检验．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2015•新课标Ⅱ）设函数f（x）=lnx+a（1﹣x）．‎ ‎（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．‎ ‎【分析】（Ⅰ）先求导，再分类讨论，根据导数即可判断函数的单调性；‎ ‎（2）先求出函数的最大值，再构造函数（a）=lna+a﹣1，根据函数的单调性即可求出a的范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）f（x）=lnx+a（1﹣x）的定义域为（0，+∞），‎ ‎∴f′（x）=﹣a=，‎ 若a≤0，则f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，‎ 若a＞0，则当x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，‎ ‎（Ⅱ），由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上无最大值；当a＞0时，f（x）在x=取得最大值，最大值为f（）=﹣lna+a﹣1，‎ ‎∵f（）＞2a﹣2，‎ ‎∴lna+a﹣1＜0，‎ 令g（a）=lna+a﹣1，‎ ‎∵g（a）在（0，+∞）单调递增，g（1）=0，‎ ‎∴当0＜a＜1时，g（a）＜0，‎ 当a＞1时，g（a）＞0，‎ ‎∴a的取值范围为（0，1）．‎ ‎【点评】本题考查了导数与函数的单调性最值的关系，以及参数的取值范围，属于中档题．‎