数学文卷·2018届河北省衡水金卷全国高三大联考（2017

数学文卷·2018届河北省衡水金卷全国高三大联考（2017

衡水金卷2018届全国高三大联考 文数 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则集合中元素的个数为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎2．已知命题：，，则命题为（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎3．已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎4．已知双曲线：的一个焦点为，则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎5．2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示的是一枚8克圆形金质纪念币，直径22毫米，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现向硬币内随机投掷100粒芝麻，已知恰有30粒芝麻落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．下列函数中，与函数的定义域、单调性与奇偶性均一致的函数是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎7．如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．设，，，则的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．将函数的图象向左平移个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则下列关于函数的说法错误的是（ ）‎ A．最小正周期为 B．图象关于直线对称 C．图象关于点对称 D．初相为 ‎11．抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线发射后必经过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则直线的斜率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知的内角的对边分别是，且，若，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知向量，，若，则 ．‎ ‎14．已知函数，若曲线在点处的切线经过圆：的圆心，则实数的值为 ．‎ ‎15．已知实数满足约束条件则的取值范围为 （用区间表示）．‎ ‎16．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.若四棱锥为阳马，侧棱底面，且，则该阳马的外接球与内切球表面积之和为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17．在递增的等比数列中，，，其中.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记，求数列的前项和.‎ ‎18．如图，在三棱柱中，平面，，，点为的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎19．随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小巷.为了解共享单车在市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到下表（单位：人）：‎ ‎（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关？‎ ‎（2）现从所抽取的30岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人.‎ ‎（i）分别求这5人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数；‎ ‎（ii）从这5人中，再随机选出2人赠送一件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.‎ 参考公式：，其中.‎ 参考数据：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎20．已知椭圆：过点，离心率为，直线：与椭圆交于两点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）是否存在实数，使得（其中为坐标原点）成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎21．已知函数，.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若关于的方程有实数根，求实数的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）求曲线上的点到直线的距离的最大值.‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）记函数的值域为，若，试证明：.‎ 衡水金卷2018届全国高三大联考 文数参考答案及评分细则 一、选择题 ‎1-5:CDDAB 6-10:DAABC 11、12：BB 二、填空题 ‎13．1 14． 15． 16．‎ 三、解答题 ‎17．解：（1）设数列的公比为，‎ 则，‎ 又，‎ ‎∴，或，（舍）.‎ ‎∴，即.‎ 故（）.‎ ‎（2）由（1）得，.‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎18．解：（1）连接交于点，连接.‎ 在三棱柱中，四边形是平行四边形.‎ ‎∴点是的中点.‎ ‎∵点为的中点，‎ ‎∴.‎ 又平面，平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎（2）∵，，‎ ‎∴.‎ 在三棱柱中，‎ 由平面，得平面平面.‎ 又平面平面.‎ ‎∴平面.‎ ‎∴点到平面的距离为，且.‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎19．解：（1）由列联表可知，‎ ‎.‎ 因为，‎ 所以能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关.‎ ‎（2）（i）依题意可知，所抽取的5名30岁以上的网友中，‎ 经常使用共享单车的有（人），‎ 偶尔或不用共享单车的有（人）.‎ ‎（ii）设这5人中，经常使用共享单车的3人分别为；偶尔或不用共享单车的2人分别为.‎ 则从5人中选出2人的所有可能结果为，，，，，，，，，，共10种.‎ 其中没有1人经常使用共享单车的可能结果为，共1种.‎ 故选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.‎ ‎20．解：（1）依题意，得 解得，，，‎ 故椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）假设存在符合条件的实数.‎ 依题意，联立方程 消去并整理，得.‎ 则，‎ 即或.‎ 设，，‎ 则，.‎ 由，‎ 得.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ 即.‎ ‎∴.‎ 即.‎ 即，即.‎ 故存在实数，使得成立.‎ ‎21．解：（1）依题意，得，.‎ 令，即.‎ 解得；‎ 令，即.‎ 解得.‎ 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为.‎ ‎（2）由题得，.‎ 依题意，方程有实数根，‎ 即函数存在零点.‎ 又.‎ 令，得.‎ 当时，.‎ 即函数在区间上单调递减，‎ 而，.‎ 所以函数存在零点；‎ 当时，，随的变化情况如下表：‎ 所以为函数的极小值，也是最小值.‎ 当，即时，函数没有零点；‎ 当，即时，注意到，‎ ‎，‎ 所以函数存在零点.‎ 综上所述，当时，方程有实数根.‎ ‎22．解：（1）由曲线的参数方程（为参数），‎ 得曲线的普通方程为.‎ 由，‎ 得，‎ 即.‎ ‎∴直线的普通方程为.‎ ‎（2）设曲线上的一点为，‎ 则该点到直线的距离 ‎（其中）.‎ 当时，‎ ‎.‎ 即曲线上的点到直线的距离的最大值为.‎ ‎23．解：（1）依题意，得 则不等式即为 或或 解得.‎ 故原不等式的解集为.‎ ‎（2）由题得，，‎ 当且仅当.‎ 即时取等号.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∵，‎ ‎∴，.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎