数学卷·2018届山东省菏泽市鄄城一中高二上学期第一次月考数学试卷 （解析版）

数学卷·2018届山东省菏泽市鄄城一中高二上学期第一次月考数学试卷 （解析版）

‎2016-2017学年山东省菏泽市鄄城一中高二（上）第一次月考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）‎ ‎1．数列1，﹣3，5，﹣7，9，…的一个通项公式为（　　）‎ A．an=2n﹣1 B．an=（﹣1）n（1﹣2n） C．an=（﹣1）n（2n﹣1） D．an=（﹣1）n（2n+1）‎ ‎2．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap+q=ap+aq，且a2=﹣6，那么a10等于（　　）‎ A．﹣165 B．﹣33 C．﹣30 D．﹣21‎ ‎3．若△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知﹣9，a1，a2，﹣1四个实数成等差数列，﹣9，b1，b2，b3，﹣1五个实数成等比数列，则b2（a2﹣a1）=（　　）‎ A．8 B．﹣8 C．±8 D．‎ ‎5．在各项均为正数的等比数列{bn}中，若b7•b8=3，则log3b1+log3b2+…+log3b14等于（　　）‎ A．5 B．6 C．8 D．7‎ ‎6．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（　　）‎ A．b=10，A=45°，C=60° B．a=6，c=5，B=60°‎ C．a=7，b=5，A=60° D．a=14，b=16，A=45°‎ ‎7．在△ABC中，若acosB=bcosA，则△ABC的形状一定是（　　）‎ A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 ‎8．等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．在下列表格中，每格填上一个数字后，使每一行成等差数列，每一列成等比数列，则a+b+c的值是（　　） ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎0.5‎ ‎1‎ a b c A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎10．已知数列{an}，a1=1，前n项和为Sn，且点P（an，an+1）（n∈N*）在直线x﹣y+1=0上，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）‎ ‎11．已知{an}为等差数列，a3+a8=22，a6=7，则a5=　　．‎ ‎12．{an}为等差数列，a1＞0，5a5=9a9，则前n项和Sn取最大值时的n=　　．‎ ‎13．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC=45°，则塔AB的高是　　米．‎ ‎14．△ABC中，a、b、c成等差数列，∠B=30°，S△ABC=，那么b=　　．‎ ‎15．已知整数对的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），…，按规律，第600个数对为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题分6小题共75分）‎ ‎16．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，．‎ ‎（1）若△ABC的面积等于，求a，b；‎ ‎（2）若sinB=2sinA，求△ABC的面积．‎ ‎17．已知等差数列{an}满足：a6=13，a2+a4=14，{an}的前n项和为Sn．‎ ‎（Ⅰ）求an及Sn．‎ ‎（Ⅱ）令bn=，（n∈N*），求数列{bn}的前项和Tn．‎ ‎18．已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．且 =．‎ ‎（I）求的值；‎ ‎（II）若cosB=，b=2，求△ABC的面积S．‎ ‎19．已知{an}是等差数列，其中a1=25，a4=16‎ ‎（1）求{an}的通项；‎ ‎（2）求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|的值．‎ ‎20．如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？‎ ‎21．设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．‎ ‎（Ⅰ）求{an}、{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前n项和Sn．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年山东省菏泽市鄄城一中高二（上）第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）‎ ‎1．数列1，﹣3，5，﹣7，9，…的一个通项公式为（　　）‎ A．an=2n﹣1 B．an=（﹣1）n（1﹣2n） C．an=（﹣1）n（2n﹣1） D．an=（﹣1）n（2n+1）‎ ‎【考点】数列的概念及简单表示法．‎ ‎【分析】首先注意到数列的奇数项为正，偶数项为负，其次数列各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，从而易求出其通项公式．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}各项值为1，﹣3，5，﹣7，9，…‎ ‎∴各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，‎ ‎∴|an|=2n﹣1‎ 又∵数列的奇数项为正，偶数项为负，‎ ‎∴an=（﹣1）n+1（2n﹣1）=（﹣1）n（1﹣2n）．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎2．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap+q=ap+aq，且a2=﹣6，那么a10等于（　　）‎ A．﹣165 B．﹣33 C．﹣30 D．﹣21‎ ‎【考点】数列的概念及简单表示法．‎ ‎【分析】根据题目所给的恒成立的式子ap+q=ap+aq，给任意的p，q∈N*，我们可以先算出a4，再算出a8，最后算出a10，也可以用其他的赋值过程，但解题的原理是一样的．‎ ‎【解答】解：∵a4=a2+a2=﹣12，‎ ‎∴a8=a4+a4=﹣24，‎ ‎∴a10=a8+a2=﹣30，‎ 故选C ‎　‎ ‎3．若△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】通过正弦定理求出，a：b：c=2：3：4，设出a，b，c，利用余弦定理直接求出cosC即可．‎ ‎【解答】解：因为sinA：sinB：sinC=2：3：4‎ 所以a：b：c=2：3：4，设a=2k，b=3k，c=4k 由余弦定理可知：‎ cosC===﹣．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎4．已知﹣9，a1，a2，﹣1四个实数成等差数列，﹣9，b1，b2，b3，﹣1五个实数成等比数列，则b2（a2﹣a1）=（　　）‎ A．8 B．﹣8 C．±8 D．‎ ‎【考点】等差数列与等比数列的综合．‎ ‎【分析】先由已知条件和等差数列以及等比数列的性质求得，再利用等比数列中的第三项与第一项同号即可求出答案．‎ ‎【解答】解：由题得，‎ 又因为b2是等比数列中的第三项，所以与第一项同号，即b2=﹣3‎ ‎∴b2（a2﹣a1）=﹣8．‎ 故选 B．‎ ‎　‎ ‎5．在各项均为正数的等比数列{bn}中，若b7•b8=3，则log3b1+log3b2+…+log3b14等于（　　）‎ A．5 B．6 C．8 D．7‎ ‎【考点】数列与函数的综合．‎ ‎【分析】根据等比中项的性质可知b1b14=b2b13=b3b12=…=b7•b8=3，代入log3b1+log3b2+…+log3b14，根据对数的运算法则即可求的答案．‎ ‎【解答】解：∵数列{bn}为等比数列 ‎∴b1b14=b2b13=b3b12=…=b7•b8=3，‎ ‎∴log3b1+log3b2+…+log3b14=log3（b1b14b2b13…b7•b8）=log337=7‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎6．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（　　）‎ A．b=10，A=45°，C=60° B．a=6，c=5，B=60°‎ C．a=7，b=5，A=60° D．a=14，b=16，A=45°‎ ‎【考点】解三角形．‎ ‎【分析】原式各项利用正弦定理或余弦定理，利用三角形的三边关系判断即可得到结果．‎ ‎【解答】解：A．B=75°，由正弦定理可得，∴a唯一；‎ B．利用余弦定理可得，有唯一解；‎ C．由正弦定理可得，∴sinB=，∵B＜A，∴有唯一解；‎ D．由正弦定理可知，有两解．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．在△ABC中，若acosB=bcosA，则△ABC的形状一定是（　　）‎ A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 ‎【考点】两角和与差的正弦函数；正弦定理的应用．‎ ‎【分析】应用正弦定理和已知条件可得，进而得到sin（A﹣B）=0，故有A﹣B=0，得到△ABC为等腰三角形．‎ ‎【解答】解：∵在△ABC中，acosB=bcosA，∴，又由正弦定理可得，‎ ‎∴，sinAcosB﹣cosAsinB=0，sin（A﹣B）=0．‎ 由﹣π＜A﹣B＜π 得，A﹣B=0，故△ABC为等腰三角形，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎8．等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】根据等差数列的性质知，求两个数列的第五项之比，可以先写出两个数列的前9项之和之比，代入数据做出比值．‎ ‎【解答】解：∵等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，‎ ‎，‎ ‎====‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎9．在下列表格中，每格填上一个数字后，使每一行成等差数列，每一列成等比数列，则a+b+c的值是（　　） ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎0.5‎ ‎1‎ a b c A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】根据等差数列的定义和性质求出表格中前两行中的各个数，再根据每一纵列各数组成等比数列，求出后两行中的各个数，从而求得a、b、c 的值，即可求得a+b+c 的值．‎ ‎【解答】解：根据使每一横行各数组成等差数列，可得表格中前两行中的各个数：‎ 第一行各数分别为1，，2，，3； ‎ 第二行各数分别为0.5，0.75，1，1.25，1.5；‎ 再根据每一纵列各数组成等比数列，求出后两行中的各个数：‎ 第三行各数分别为，，，，；‎ 第四行各数分别为，，，，；‎ 第五行各数分别为 故a=，b=，c=，‎ 故a+b+c=++=1，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎10．已知数列{an}，a1=1，前n项和为Sn，且点P（an，an+1）（n∈N*）在直线x﹣y+1=0上，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】由“P（an，an+1）（n∈N*）在直线x﹣y+1=0上”可得到数列的类型，再求其通项，求其前n项和，进而得到新数列的规律，选择合适的方法求新数列的和．‎ ‎【解答】解：∵点P（an，an+1）（n∈N*）在直线x﹣y+1=0上 ‎∴an﹣an+1+1=0‎ ‎∴数列{an}是以1为首项，以1为公差的等差数列．‎ ‎∴an=n ‎∴‎ ‎∴=‎ ‎=‎ 故选C ‎　‎ 二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）‎ ‎11．已知{an}为等差数列，a3+a8=22，a6=7，则a5=　15　．‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】根据等差中项的性质可知a3+a8=a5+a6，把a3+a8=22，a6=7代入即可求得a5．‎ ‎【解答】解：∵{an}为等差数列，‎ ‎∴a3+a8=a5+a6‎ ‎∴a5=a3+a8﹣a6=22﹣7=15‎ ‎　‎ ‎12．{an}为等差数列，a1＞0，5a5=9a9，则前n项和Sn取最大值时的n=　13或14　．‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】首先，设该等差数列的公差为d，然后，建立等式，得到a1=﹣13d，最后，写出求和公式，借助于求和公式进行求解．‎ ‎【解答】解：设数列{an}的公差为d，‎ 根据5a5=9a9，得 ‎5（a1+4d）=9（a1+8d），‎ ‎∴a1=﹣13d ‎∴Sn=na1+‎ ‎=（﹣13nd）+‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎∴当n=13或14时，Sn有最大值．‎ ‎　‎ ‎13．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC=45°，则塔AB的高是　　米．‎ ‎【考点】解三角形的实际应用．‎ ‎【分析】设塔高为x米，根据题意可知在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x，从而有，在△BCD中，CD=10，‎ ‎∠BCD=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30°，由正弦定理可求 BC，从而可求x即塔高 ‎【解答】解：设塔高为x米，根据题意可知在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x，‎ 从而有，‎ 在△BCD中，CD=10，∠BCD=60°+30°+15°=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30°‎ 由正弦定理可得，‎ 可得， =‎ 则x=10‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎14．△ABC中，a、b、c成等差数列，∠B=30°，S△ABC=，那么b=　　．‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】由三边成等差数列得2b=a+c，两边平方待用，由三角形面积用正弦定理得到ac=6，用余弦定理写出b2的表示式，代入前面得到的两个等式，题目变化为关于b2方程，解出变量开方即得．‎ ‎【解答】解：∵a、b、c成等差数列，‎ ‎∴2b=a+c，‎ ‎∴4b2=a2+c2+2ac，①‎ ‎∵S△ABC=，‎ ‎∴ac=6②‎ ‎∵b2=a2+c2﹣2accosB③‎ 由①②③得，‎ ‎∴．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．已知整数对的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），…，按规律，第600个数对为　（5，31）　．‎ ‎【考点】数列的求和；归纳推理．‎ ‎【分析】根据括号内的两个数的和的变化情况找出规律，然后找出第80对数的两个数的和的值以及是这个和值的第几组，然后写出即可．‎ ‎【解答】解：（1，1），两数的和为2，共1个，‎ ‎（1，2），（2，1），两数的和为3，共2个，‎ ‎（1，3），（2，2），（3，1），两数的和为4，共3个，‎ ‎（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），两数的和为5，共4个 ‎…‎ ‎∵1+2+3+…+32=528，‎ ‎1+2+3+…+32+33=561，‎ ‎1+2+3+…+34=595，‎ ‎∴第600对数是两个数的和为35的数对中的第5对数，‎ 即（5，31）．‎ 故答案为：（5，31）．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题分6小题共75分）‎ ‎16．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，．‎ ‎（1）若△ABC的面积等于，求a，b；‎ ‎（2）若sinB=2sinA，求△ABC的面积．‎ ‎【考点】解三角形；三角形中的几何计算．‎ ‎【分析】（1）由c及cosC的值，利用余弦定理列出关于a与b的关系式a2+b2﹣ab=4，再由已知三角形的面积及sinC的值，利用三角形的面积公式得出ab的值，与a2+b2﹣ab=4联立组成方程组，求出方程组的解即可求出a与b的值；‎ ‎（2）利用正弦定理化简sinB=2sinA，得到b=2a，与（1）得出的a2+b2﹣ab=4联立组成方程组，求出方程组的解得到a与b的值，再由sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．‎ ‎【解答】解：（1）∵c=2，cosC=，‎ ‎∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得：a2+b2﹣ab=4，‎ 又△ABC的面积等于，sinC=，‎ ‎∴，‎ 整理得：ab=4，‎ 联立方程组，‎ 解得a=2，b=2；‎ ‎（2）由正弦定理，把sinB=2sinA化为b=2a，‎ 联立方程组，‎ 解得：，，‎ 又sinC=，‎ 则△ABC的面积．‎ ‎　‎ ‎17．已知等差数列{an}满足：a6=13，a2+a4=14，{an}的前n项和为Sn．‎ ‎（Ⅰ）求an及Sn．‎ ‎（Ⅱ）令bn=，（n∈N*），求数列{bn}的前项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）通过设等差数列{an}的公差为d，利用a1+5d=13、2a1+4d=14计算可得首项与公差，进而可得结论；‎ ‎（Ⅱ）通过（I）裂项可知bn=﹣，（n∈N*），并项相加即得结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，‎ ‎∵a6=13，a2+a4=14，‎ ‎∴a1+5d=13，2a1+4d=14，‎ 解得：a1=3，d=2，‎ ‎∴an=3+2（n﹣1）=2n+1，‎ Sn=3n+×2=n2+2n；‎ ‎（Ⅱ）由（I）可知bn===﹣，（n∈N*），‎ ‎∴Tn=b1+b2+…+bn ‎=1﹣+﹣+…+﹣‎ ‎=1﹣‎ ‎=．‎ ‎　‎ ‎18．已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．且 =．‎ ‎（I）求的值；‎ ‎（II）若cosB=，b=2，求△ABC的面积S．‎ ‎【考点】解三角形；三角函数中的恒等变换应用．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，整理后可求得sinC和sinA的关系式，则的值可得．‎ ‎（Ⅱ）先通过余弦定理可求得a和c的关系式，同时利用（Ⅰ）中的结论和正弦定理求得a和c的另一关系式，最后联立求得a和c，利用三角形面积公式即可求得答案．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理设 则===‎ 整理求得sin（A+B）=2sin（B+C）‎ 又A+B+C=π ‎∴sinC=2sinA，即=2‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理可知cosB==①‎ 由（Ⅰ）可知==2②‎ 再由b=2，①②联立求得c=2，a=1‎ sinB==‎ ‎∴S=acsinB=‎ ‎　‎ ‎19．已知{an}是等差数列，其中a1=25，a4=16‎ ‎（1）求{an}的通项；‎ ‎（2）求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|的值．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】（1）求{an}的通项，由题设条件{an}是等差数列，其中a1=25，a4=16故通项易求，‎ ‎（2）求数列各项的绝对值的和，需要研究清楚数列中哪些项为正，哪些项为负，用正项的和减去负项的和即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵a4=a1+3d ‎∴d=﹣3‎ ‎∴an=28﹣3n ‎（2）∵‎ ‎∴数列{an}从第10项开始小于0‎ ‎∴|an|=|28﹣3n|=‎ 当n≤9时，|a1|+|a2|+…+|an|=，‎ 当n≥10时，|a1|+|a2|+…+|an|=（|a1|+|a2|+…+|a9|）+（|a10|+|a11|+…+|an|）‎ ‎==‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎∴|a1|+|a2|+…+|an|=‎ ‎　‎ ‎20．如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？‎ ‎【考点】解三角形的实际应用．‎ ‎【分析】连结A1B2，则△A1A2B2是等边三角形，从而∠B1A1B2=105°﹣60°=45°，A1B2=10，在△B1A1B2中，由余弦定理求出B1B2得出乙船的速度．‎ ‎【解答】解：由题意可知A1B1=20，A2B2=10，A1A2=30×=10，∠B2A2A1=180°﹣120°=60°，‎ 连结A1B2，则△A1A2B2是等边三角形，‎ ‎∴A1B2=10，∠A2A1B2=60°．‎ ‎∴∠B1A1B2=105°﹣60°=45°，‎ 在△B1A1B2中，由余弦定理得B1B22=A1B12+A1B22﹣2A1B1•A1B2cos∠B1A1B2=400+200﹣400=200．‎ ‎∴B1B2=10．‎ ‎∴乙船的航行速度是海里/小时．‎ ‎　‎ ‎21．设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．‎ ‎（Ⅰ）求{an}、{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前n项和Sn．‎ ‎【考点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得d和q，进而可得{an}、{bn}的通项公式．‎ ‎（Ⅱ）数列的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前n项和Sn．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则依题意有q＞0且 解得d=2，q=2．‎ 所以an=1+（n﹣1）d=2n﹣1，bn=qn﹣1=2n﹣1．‎ ‎（Ⅱ），‎ ‎，①‎ Sn=，②‎ ‎①﹣②得Sn=1+2（++…+）﹣，‎ 则===．‎ ‎　‎