2017-2018学年四川省棠湖中学高二下学期开学数学理试题（解析版）

2017-2018学年四川省棠湖中学高二下学期开学数学理试题（解析版）

‎2017-2018学年四川省棠湖中学高二下学期开学数学理试题（解析版）‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 抛物线的准线方程是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由于,故准线方程为,选.‎ ‎2. 从某中学甲班随机抽取9名男同学测量他们的体重(单位：kg)，获得体重数据如茎叶图所示，对这些数据，以下说法正确的是 ‎ A. 中位数为62 B. 中位数为65 C. 众数为62 D. 众数为64‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵由茎叶图得到所有数据从小到大排为 ‎∴中位数为，众数为 故选C ‎3. 命题“，”的否定是 A. 不存在， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】D ‎【解析】特称命题的否定是全称命题,故选.‎ ‎4. 容量为100的样本，其数据分布在，将样本数据分为4组：，，，，得到频率分布直方图如图所示.则下列说法不正确的是 ‎ A. 样本数据分布在的频率为 B. 样本数据分布在的频数为40‎ C. 样本数据分布在的频数为40 D. 估计总体数据大约有分布在 ‎【答案】D ‎【解析】对于A. 样本数据分布在的频率为：，正确；‎ 对于B. 样本数据分布在的频数为，正确；‎ 对于C. 样本数据分布在的频数为，正确；‎ 对于D，样本数据分布在的频率为：，所以估计总体数据大约有分布在，D不正确.‎ 故选D.‎ ‎5. 已知椭圆()的左焦点为F1(－4,0)，则m等于 A. 9 B. 4 C. 3 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题设知焦点在轴上，所以且，故，故选C.‎ ‎6. 若AB是过椭圆 中心的弦，F1为椭圆的焦点，则△F1AB面积的最大值为 A. 6 B. 12 C. 24 D. 48‎ ‎【答案】B ‎【解析】,当直线斜率不存在时,三角形面积为.当直线的斜率存在且不为零时,设直线的方程为,交点到直线距离为,将直线方程代入椭圆方程,得,所以,故面积为.综上所述面积的最大值为.选.‎ ‎【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的直至关系,考查三角形面积的最值问题.首先根据题意求出椭圆的的值,‎ 由于题目不限制焦点是左焦点还是右焦点,故用其中一个交点就可以.在写直线的方程时,当直线斜率不存在,可直接求得面积,当直线斜率为时,不符合题意,当直线斜率存在且不为零时,设出直线的方程,求得面积后利用不等式的性质可求得最值.‎ ‎7. 设抛物线y2＝4x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是 A. B. [－2,2] C. [－1,1] D. [－4,4]‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵，‎ ‎∴)(Q为准线与x轴的交点),设过Q点的直线l方程为.‎ ‎∵l与抛物线有公共点，，‎ ‎∴方程组 有解 即有解。‎ ‎∴即⩽1.‎ ‎∴，‎ 故选C.‎ 点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．‎ ‎8. “”是“为椭圆方程”是 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】依题意有,解得,故选.‎ ‎9. 设点，，若直线与线段没有交点，则的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 直线恒过点 且斜率为 由图可知，且 故选 ‎10. 在平面内，已知两定点，间的距离为2，动点满足，若，则的面积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】在平面内，已知两定点，间的距离为2，动点满足，‎ 所以动点在以A,B为焦点的椭圆上，其中 由余弦定理可得：， ‎ 整理得:，解得：.‎ 则的面积为.‎ 故选B.‎ ‎11. 已知椭圆：与双曲线：有相同的右焦点，点是椭圆和双曲线的一个公共点，若，则椭圆的离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意不妨设在第一象限 ‎，‎ 双曲线：可化为，‎ 椭圆：（）与双曲线：有相同的右焦点 椭圆的离心率为 故选 ‎12. 已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上.若点满足且，则的最小值为 A. B. 3 C. D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】依题意知，点在以为圆心，半径为1的圆上，为圆的切线 ‎∴‎ 设，‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴当时，取得最小值4，即 ‎∴的最小值为 故选A 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 若直线为双曲线的一条渐近线，则____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令,解得,故.‎ ‎14. 某学校共有师生3600人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取容量为200的样本，已知从学生中抽取的人数为180，那么该学校的教师人数为____________.‎ ‎【答案】360‎ ‎【解析】人.‎ ‎15. 已知抛物线的焦点，点，则曲线上的动点到点与点的距离之和的最小值为___________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】如图，抛物线的准线为，过点做作准线的垂线，垂足为，则，所以，当且仅当三点共线时等号成立，故所求最小值为． ‎ 点睛：抛物线中，与焦点有关的问题可以转化到准线的距离去考虑．‎ ‎16. 点是抛物线：与双曲线： 的一条渐近线的交点，若点到抛物线的准线的距离为，则双曲线的离心率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】取双曲线的一条渐近线：，联立 ‎，解得，故 点到抛物线的准线的距离为 ‎，化为 双曲线的离心率 故答案为 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知命题，”；命题“，”，若命题“”是真命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】试题分析：由题意，求得都是真命题，当为真命题，根据恒成立，求得，当为真命题时，由，解得或，取交集，即可求解的取值范围.‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为“且”是真命题，所以为真命题，也为真命题.‎ 命题：“对任意的”，当时，，对任意成立，所以.命题:“存在”，根据二次函数性质得，，，解得或.‎ 综上，的取值范围为或.‎ ‎18. 某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如表资料：‎ 日 期 ‎1月10日 ‎2月10日 ‎3月10日 ‎4月10日 ‎5月10日 ‎6月10日 昼夜温差x（°C）‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎13‎ ‎12‎ ‎8‎ ‎6‎ 就诊人数y（个）‎ ‎22‎ ‎25‎ ‎29‎ ‎26‎ ‎16‎ ‎12‎ 该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．‎ ‎（I）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；‎ ‎(II)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出关于的线性回归方程；‎ ‎（III）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问（2）中所得线性回归方程是否理想?‎ 参考公式：，‎ ‎【答案】（1）（2）;（3）见解析．‎ ‎【解析】试题分析：（1）试验发生包含的事件是从组数据中选取组数据共有种情况，满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有种，根据古典概型的概率公式得到结果；（2）根据所给的数据，求出的平均数，根据公式求出系数，把和的平均数，代入回归方程求出的值，即可得到线性回归方程.‎ 试题解析：（1）由题意知本题是一个古典概型，设抽到相邻两个月的数据为事件，试验发生包含的事件是从组数据中选取组数据共有种情况，每种情况都是等可能出现的其中，满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有种，；（2）由数据求得，由公式求得 ，再由求得关于线性回归方程为 . ‎ ‎【方法点晴】本题主要考查古典概型概率公式和线性回归方程求法与应用，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.‎ ‎19. 如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD.E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.‎ ‎（I）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；‎ ‎(II)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .‎ ‎【解析】试题分析：本题考查线面平行、线线平行、向量法等基础知识，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.第一问，利用线面平行的定理，先证明线线平行，再证明线面平行；第二问，可以先找到线面角，再在三角形中解出正弦值，还可以用向量法建立直角坐标系解出正弦值.‎ 试题解析：（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB与CD不平行.‎ 延长AB，DC，相交于点M（M∈平面PAB），点M即为所求的一个点.理由如下：‎ 由已知，BC∥ED，且BC=ED.‎ 所以四边形BCDE是平行四边形. ‎ 从而CM∥EB.‎ 又EB平面PBE，CM平面PBE，‎ 所以CM∥平面PBE.‎ ‎（说明：延长AP至点N，使得AP=PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点）‎ ‎（Ⅱ）方法一：‎ 由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，‎ 所以CD⊥平面PAD.‎ 从而CD⊥PD.‎ 所以PDA是二面角P-CD-A的平面角.‎ 所以PDA=45°.‎ 设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.‎ 过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.‎ 易知PA⊥平面ABCD，‎ 从而PA⊥CE.‎ 于是CE⊥平面PAH.‎ 所以平面PCE⊥平面PAH.‎ 过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE.‎ 所以APH是PA与平面PCE所成的角.‎ 在Rt△AEH中，AEH=45°，AE=1，‎ 所以AH=.‎ 在Rt△PAH中，PH==，‎ 所以sinAPH==.‎ 方法二：‎ 由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，‎ 所以CD⊥平面PAD.‎ 于是CD⊥PD.‎ 从而PDA是二面角P-CD-A的平面角.‎ 所以PDA=45°.‎ 由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD.‎ 设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.‎ 作Ay⊥AD，以A为原点，以,的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A（0,0,0），P（0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)，‎ 所以=（1,0,-2），=（1,1,0），=（0,0,2）‎ 设平面PCE的法向量为n=(x,y,z)，‎ 由得设x=2，解得n=(2,-2,1).‎ 设直线PA与平面PCE所成角为α，则sinα==.‎ 所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.‎ 考点：线线平行、线面平行、向量法.‎ 视频 ‎20. 已知抛物线关于轴对称，顶点在坐标原点，直线经过抛物线的焦点.‎ ‎（I）求抛物线的标准方程；‎ ‎(II)若不经过坐标原点的直线与抛物线相交于不同的两点，，且满足，证明直线过轴上一定点，并求出点的坐标.‎ ‎【答案】(1).(2)过定点.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由直线经过抛物线的焦点可求出抛物线的标准方程；（2）由题意，直线不与轴垂直，设直线的方程为，，联立直线与抛物线的方程，由韦达定理得与，再由，即可求出，从而求出定点坐标.‎ 试题解析：（1）由已知，设抛物线的标准方程为 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴抛物线的标准方程为.‎ ‎（2）由题意，直线不与轴垂直，设直线的方程为，‎ ‎.‎ 联立消去，得.‎ ‎∴，，，‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 又∵，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴或 ‎∵‎ ‎∴（此时）‎ ‎∴直线的方程为，‎ 故直线过轴上一定点.‎ 点睛：本题主要考查直线和抛物线的位置关系及直线过定点问题. 属于难题. 探索曲线过定点的常见方法有两种：①可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为的形式，根据 求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点)；②从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.‎ ‎21. 已知椭圆：的两个焦点分别为，，且点在椭圆上.‎ ‎（I）求椭圆的标准方程； ‎ ‎(II)设椭圆的左顶点为，过点的直线与椭圆相交于异于的不同两点，求的面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）.（2）. ‎ ‎【解析】试题分析：（1）由焦点坐标确定出的值，根据椭圆的性质列出与的方程，再将点坐标代入椭圆方程列出关于与的方程，联立求出与的值，从而确定椭圆方程；（2）由题意直线的斜率不等于0，设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理及两点间距离公式求得，再求出点到直线的距离，表示出的面积，构造函数，根据函数的单调性即可求出最大值.‎ 试题解析：（1）由题意，焦距，‎ ‎∴‎ ‎∴椭圆：‎ 又椭圆经过点 ‎∴，‎ 解得或（舍去）‎ ‎∴‎ ‎∴椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）由（1），得点 由题意，直线的斜率不等于0，设直线的方程为，.‎ 联立消去，得.‎ ‎∴，，，‎ ‎∵，‎ 化简，得 又点到直线的距离为，‎ ‎∴的面积 令，‎ 则 而函数在时单调递增，‎ ‎∴在时单调递减，‎ ‎∴当即时，的面积有最大值. ‎ 点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．‎