数学文卷·2019届辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高二上学期期末考试（2018-01）

数学文卷·2019届辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高二上学期期末考试（2018-01）

辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2017-2018学年高二上学期期末考试 数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 对于常数，“”是“方程的曲线是双曲线“的”（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎2.若，则下列不等式中错误的是（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎3.下列函数中，最小值为4的是（ ）‎ A． B． ‎ C. D． ‎ ‎4.已知实数满足，则目标函数的最小值是（ ）‎ A． B．15 C. 0 D． ‎ ‎5.下列命题中，说法错误的是（ ）‎ A.“若，则”的否命题是“若，则”‎ B.“是真命题”是“是真命题”的充分不必要条件 C.“ ”的否定是“ ”‎ D.“若，则是偶函数”的逆命题是真命题 ‎6.设，若是与的等比中项，则的最小值为（ ）‎ A．5 B．6 C. 7 D．8‎ ‎7.已知分别是椭圆的左、右焦点，是以为直径的圆与该椭圆的一个交点，且，则这个椭圆的离心率是（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎8.设为等比数列的前项和，，则 （ ）‎ A． B． C. 2 D．17‎ ‎9.在等差数列中，是其前项和，，，则（ ）‎ A．11 B． C. 10 D． ‎ ‎10.设分别是双曲线的左右焦点，点.若，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C. 2 D． ‎ ‎11.设为等差数列，若，且它的前项和有最小值，那么当取得最小正值时的值为（ ）‎ A．18 B．19 C. 20 D．21‎ ‎12.已知定义在上的奇函数的导函数为，当时，满足，，则在上的零点个数为（ ）‎ A．5 B．3 C. 1或3 D．1‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.函数的递增区间为 ．‎ ‎14.在数列中，，且数列是等比数列，则 ．‎ ‎15.已知函数，若函数在区间上是单调增函数，则实数的取值范围是 ．‎ ‎16.抛物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足 ‎,过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 若数列满足.‎ ‎（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，若数列的前项和为，求证：.‎ ‎18. 已知函数.‎ ‎（1）若在上恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）解关于的不等式.‎ ‎19.已知过点的动直线与抛物线相交于两点.当直线的斜率是时，.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）设线段的中垂线在轴上的截距为，求的取值范围.‎ ‎20.已知数列，为数列的前项和，，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）证明为等差数列.‎ ‎（3）若数列的通项公式为，令.为的前项的和，求.‎ ‎21.已知椭圆的左顶点为，右焦点为，过点的直线交椭圆于两点.‎ ‎（1）求该椭圆的离心率；‎ ‎（2）设直线和分别与直线交于点，问：轴上是否存在定点使得？乳品存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.‎ ‎22.已知函数 ‎（1）若曲线与在公共点处有相同的切线，求实数的值；‎ ‎（2）若，且曲线与总存在公共的切线，求正数的最小值.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: CABAC 6-10: DAABC 11、12：CD 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17. 解：（1)证明：∵ ‎ ‎∴，又∵，∴‎ ‎∴数列是首项为，公比为2的等比数列 ‎ ‎∴ ∴‎ ‎（2）由（1）知：∴‎ ‎∴，所以 ‎.‎ ‎18.解：（1）∵在上恒成立，即在上恒成立，‎ 所以 ‎（2）‎ 当时，式等价于；‎ 当时，式等价于；‎ 当时，式等价于；‎ 当时，式等价于或 ‎ 综上，当时，的解集为；‎ 当时，的解集为；‎ 当时，的解集为；‎ 当时，的解集为.‎ ‎19.解：（1）设，当直线的斜率是时，的方程为，‎ 即，由得：‎ ‎∴，‎ ‎①，②，‎ 又∵，∴③，‎ 由①②③及得：，得抛物线的方程为.‎ ‎（2）设，的中点坐标为，‎ 由得④‎ ‎∴.‎ ‎∴线段的中垂线方程为，‎ ‎∴线段的中垂线在轴上的截距为：‎ 对于方程④，由得或，∴.‎ ‎20.解：（1）当时，‎ 当时，，‎ 综上，是公比为2,首项为2的等比数列，. ‎ ‎（2）∵，∴，∵，∴‎ 综上，是公差为1，首项为1的等差数列.‎ ‎（3）由（2)知：‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎∴‎ 两式相减得：‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ ‎21.解：（1）由椭圆方程可得，从而椭圆的半焦距.‎ 所以椭圆的离心率为.‎ ‎（2）依题意，直,的斜率不为0，设其方程为.‎ 将其代入，整理得 设，则.‎ 易知直线的方程是，‎ 从而可得，同理可得.‎ 假设轴上存在定点使得，则有.‎ 所以.‎ 将代入上式，整理得：‎ 所以， ‎ 即，解得或.‎ 所以轴上存在定点或，使得.‎ ‎22.解：（1)依据题意:‎ ‎（2）当时，，在点处的切线方程为：，即 由得：①‎ ‎∵总存在公切线，∴①的，‎ 即关于的方程②总有解.‎ ‎∵左边，∴，于是，②式 令，则 ‎ 当时，；当时，，∴在递减，递增.‎ ‎∴，∴要使②有解，须，即，‎ 故. ‎