湖南省长郡中学2020届高三第三次适应性考试 数学（文）
长郡中学2020届高三三适应性考试(三)
文科数学
本试题卷共8页，全卷满分150分。
注意事项：
1.答题前，考生可能需要输入信息。请务必正确输入所需的信息，如姓名、考生号等。
2.选择题的作答：请直接在选择题页面内作答并提交。写在试题卷、草稿纸等非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内或空白纸张上，按规定上传。
4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用笔涂黑，或者在空白纸张上注明所写题目，然后开始作答。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝
A. B.{1} C.{2} D.{1，2}
2.已知单位向量a满足等式2|a|＝|b|，|a＋2b|＝，则a与b的夹角为
A.30° B.60° C.90° D.120°
3.己知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c。若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是
A.x∈R，f(x)≤f(x0) B.x∈R，f(x)≥f(x0)
C.x∈R，f(x)≤f(x0) D.x∈R，f(x)≥f(x0)
4.已知某函数图象如图所示，则图象对应的函数可能是
A.f(x)＝e|x|－|x| B.f(x)＝e|x|－2x2 C.f(x)＝ D.f(x)＝e|x|－x2
5.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍。
当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米。当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟。根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10－2米时，乌龟爬行的总距离为
A. B. C. D.
6.设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝(－1)nan＋，则S1＋S3＋S5＝
A.0 B. C. D.
7.已知数据1，2，3，4，x(0
1；
③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝x2(x∈[0，1])，则Gini＝；
④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝x3(x∈[0，1])，则Gini＝；
上述说法正确序号的是
A.①④ B.②③ C.①③④ D.①②④
12.我们把形如y＝(a>0，b>0)的函数因其图象类似于汉字“囧”字，故生动地称为“囧函数”，并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当a＝1，b＝1时，所有的“囧圆”中面积的最小值为
A.2π B.3π C.4π D.12π
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知复数z＝(i为虚数单位)，则＝ 。
14.如图，函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图象与坐标轴交于点A，B，C，直线BC交f(x)的图象于点D，O(坐标原点)为△ABD的重心，A(－π，0)，则点C的坐标为＝ ，f(0)＝ 。(本题第一空2分，第二空3分)
15.若函数f(x)满足：定义域为R，f(－x－a)＝f(x－a)，且f(－x)＝f(x)，则称函数f(x)为“双对称a函数”。已知函数f(x)为“双对称1函数”，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x3。记函数g(x)＝f(x)＋f(x－1)－3x(5≤x≤6)，则函数g(x)的最小值为 。
16.已知南北回归线的纬度为23°26'，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，φ为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是θ＝90°－|φ－δ|。当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值，如果在北半球某地(纬度为φ0)的一幢高为h0的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离应不小于 。(结果用含有h0和P0的式子表示)
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)
如图所示，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，PA＝AB＝1。
(I)求证：EF//平面DCP；
(II)求F到平面PDC的距离。
18.(本小题满分12分)
若数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，a2＝2，(Sn＋1)(Sn＋2＋1)＝(Sn＋1＋1)2。
(I)求Sn；
(II)记数列的前n项和为Tn，证明：1≤Tn<2。
19.(本小题满分12分)
某企业积极响应国家“科技创新”的号召，大力研发新产品，为了对新研发的一
批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据(xi，yi)(i＝1，2，3，4，5，6)，如下表所示：
(I)求出p的值；
(II)已知变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y(件)关于试销单价：x(百元)的线性回归方程(计算结果精确到整数位)；
(III)用表示用正确的线性回归方程得到的与xi对应的产品销量的估计值。当销售数据(xi，yi)的残差的绝对值<1时，则将销售数据称为一个“有效数据”。现从这6组销售数中任取2组，求抽取的2组销售数据都是“有效数据”的概率。
附参考公式：。
参考数据：。
20.(本小题满分12分)
已知椭圆Ω：。双曲线的实轴顶点就是椭圆Ω的焦点，双曲线的焦距等于椭圆Ω的长轴长。
(I)求双曲线的标准方程；
(II)设直线1经过点E(3，0)与椭圆Ω交于A、B两点，求△OAB的面积的最大值。
(III)设直线1：y＝kx＋m(其中k，m为整数)与椭圆Ω交于不同两点A、B，与双曲线交于不同两点C、D，问是否存在直线l，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条?若存在，请说明理由。
21.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝。
(I)若直线l：与y＝f(x)的图象相切，求实数k的值；
(II)设a≥，求证：对k<0，直线l：y＝kx＋a与y＝f(x)的图象有唯一公共点。
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题号涂黑。
22.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ。以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：(t是参数)。
(I)若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|＝，试求实数m值；
(II)设M(x，y)为曲线C上任意一点，求x＋y的取值范围。
23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|2x－1|＋|x－1|。
(I)求不等式f(x)≤4的解集；
(II)设函数f(x)的最小值为m，当a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝m时，求的最大值。
。