数学卷·2018届甘肃省天水一中高二下学期开学数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2018届甘肃省天水一中高二下学期开学数学试卷（理科） （解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年甘肃省天水一中高二（下）开学数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共45分）‎ ‎1．设x∈R，则“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2．已知命题p：∃x∈R，使得x+＜2，命题q：∀x∈R，x2+x+1＞0，下列命题为真的是（　　）‎ A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q） D．（￢p）∧（￢q）‎ ‎3．函数函数f（x）=（x﹣3）ex的单调递增区间是（　　）‎ A．（﹣∞，2） B．（0，3） C．（1，4） D．（2，+∞）‎ ‎4．平面α的一个法向量=（1，﹣1，0），则y轴与平面α所成的角的大小为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2）且k+与2﹣互相垂直，则k的值是（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎6．已知抛物线y2=2px上一点M（1，m）到其焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为（　　）‎ A．x=8 B．x=﹣8 C．x=4 D．x=﹣4‎ ‎7．函数f（x）的定义域为（a，b），其导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在区间（a，b）内极小值点的个数是（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎8．函数f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2在x=1处有极值10，则点（a，b）为（　　）‎ A．（3，﹣3） B．（﹣4，11） C．（3，﹣3）或（﹣4，11） D．不存在 ‎9．f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣3）∪（0，3） B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） C．（﹣3，0）∪（3，+∞） D．（﹣3，0）∪（0，3）‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，共15分）‎ ‎10．已知双曲线的一条渐近线为，则a=　　．‎ ‎11．函数f（x）=x3﹣3x2+m在区间[﹣1，1]上的最大值是2，则常数m=　　．‎ ‎12．点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x+2的距离的最小值是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共40分）‎ ‎13．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面PQC⊥平面DCQ ‎（Ⅱ）求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值．‎ ‎14．已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）‎ ‎（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（2）求函数f（x）的极值．‎ ‎15．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△‎ AOB面积的最大值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年甘肃省天水一中高二（下）开学数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共45分）‎ ‎1．设x∈R，则“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】求出二次不等式的解，然后利用充要条件的判断方法判断选项即可．‎ ‎【解答】解：由2x2+x﹣1＞0，可知x＜﹣1或x＞；‎ 所以当“x＞”⇒“2x2+x﹣1＞0”；‎ 但是“2x2+x﹣1＞0”推不出“x＞”．‎ 所以“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的充分而不必要条件．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎2．已知命题p：∃x∈R，使得x+＜2，命题q：∀x∈R，x2+x+1＞0，下列命题为真的是（　　）‎ A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q） D．（￢p）∧（￢q）‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】本题的关键是判定命题p：∃x∈R，使得，命题的真假，在利用复合命题的真假判定．‎ ‎【解答】解：对于命题p：∃x∈R，使得，‎ 当x＜0时，命题p成立，命题p为真 命题，‎ 显然，命题q为真 ‎∴根据复合命题的真假判定，‎ p∧q为真，（￢p）∧q为假，p∧（￢q）为假，（￢p）∧（￢q）为假 ‎　‎ ‎3．函数函数f（x）=（x﹣3）ex的单调递增区间是（　　）‎ A．（﹣∞，2） B．（0，3） C．（1，4） D．（2，+∞）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】首先对f（x）=（x﹣3）ex求导，可得f′（x）=（x﹣2）ex，令f′（x）＞0，解可得答案．‎ ‎【解答】解：f′（x）=（x﹣3）′ex+（x﹣3）（ex）′=（x﹣2）ex，令f′（x）＞0，解得x＞2．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．平面α的一个法向量=（1，﹣1，0），则y轴与平面α所成的角的大小为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】用空间向量求直线与平面的夹角．‎ ‎【分析】设y轴与平面α所成的角的大小为θ，由在y轴上的单位向量和平面α的一个法向量，利用向量法能求出结果．‎ ‎【解答】解：设y轴与平面α所成的角的大小为θ，‎ ‎∵在y轴上的单位向量=（0，1，0），平面α的一个法向量=（1，﹣1，0），‎ ‎∴sinθ=|cos＜，＞|=||=，‎ ‎∴θ=．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2）且k+与2﹣互相垂直，则k的值是（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】由向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），求得k+与2﹣的坐标，代入数量积的坐标表示求得k值．‎ ‎【解答】解：∵=（1，1，0），=（﹣1，0，2），‎ ‎∴k+=k（1，1，0）+（﹣1，0，2）=（k﹣1，k，2），‎ ‎2﹣=2（1，1，0）﹣（﹣1，0，2）=（3，2，﹣2），‎ 又k+与2﹣互相垂直，‎ ‎∴3（k﹣1）+2k﹣4=0，解得：k=．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．已知抛物线y2=2px上一点M（1，m）到其焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为（　　）‎ A．x=8 B．x=﹣8 C．x=4 D．x=﹣4‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】由题意得：抛物线焦点为F（，0），准线方程为x=﹣．因为点M（1，m）到其焦点的距离为5，所以点M到抛物线的准线的距离为：，从而得到p=8，得到该抛物线的准线方程．‎ ‎【解答】解：∵抛物线方程为y2=2px ‎∴抛物线焦点为F（，0），准线方程为x=﹣‎ 又∵点M（1，m）到其焦点的距离为5，‎ ‎∴p＞0，根据抛物线的定义，得，‎ ‎∴p=8，所以准线方程为x=﹣4‎ 故选D ‎　‎ ‎7．函数f（x）的定义域为（a，b），其导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在区间（a，b）内极小值点的个数是（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【考点】导数的运算；函数的图象．‎ ‎【分析】根据当f'（x）＞0时函数f（x）单调递增，f'（x）＜0时f（x）单调递减，可从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，然后得到答案 ‎【解答】解：从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，‎ 根据极值点的定义可知在（a，b）内只有一个极小值点．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．函数f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2在x=1处有极值10，则点（a，b）为（　　）‎ A．（3，﹣3） B．（﹣4，11） C．（3，﹣3）或（﹣4，11） D．不存在 ‎【考点】函数在某点取得极值的条件．‎ ‎【分析】首先对f（x）求导，然后由题设在x=1时有极值10可得解之即可求出a和b的值．‎ ‎【解答】解：对函数f（x）求导得 f′（x）=3x2﹣2ax﹣b，‎ 又∵在x=1时f（x）有极值10，‎ ‎∴，‎ 解得或，‎ 验证知，当a=3，b=﹣3时，在x=1无极值，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎9．f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣3）∪（0，3） B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） C．（﹣3，0）∪（3，+∞） D．（﹣3，0）∪（0，3）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质．‎ ‎【分析】构造函数h（x）=f（x）g（x），利用已知可判断出其奇偶性和单调性，进而即可得出不等式的解集．‎ ‎【解答】解：令h（x）=f（x）g（x），则h（﹣x）=f（﹣x）g（﹣x）=﹣f（x）g（x）=﹣h（x），因此函数h（x）在R上是奇函数．‎ ‎①∵当x＜0时，h′（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，∴h（x）在x＜0时单调递增，‎ 故函数h（x）在R上单调递增．‎ ‎∵h（﹣3）=f（﹣3）g（﹣3）=0，‎ ‎∴h（x）=f（x）g（x）＜0=h（﹣3），‎ ‎∴x＜﹣3．‎ ‎②当x＞0时，函数h（x）在R上是奇函数，可知：h（x）在（0，+∞）上单调递增，且h（3）=﹣h（﹣3）=0，‎ ‎∴h（x）＜0，的解集为（0，3）．‎ ‎∴不等式f（x）g（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．‎ 故选：A ‎　‎ 二、填空题（每题5分，共15分）‎ ‎10．已知双曲线的一条渐近线为，则a=　　．‎ ‎【考点】双曲线的标准方程．‎ ‎【分析】通过双曲线方程求出渐近线方程，与已知方程比较即可求出a的值．‎ ‎【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为x+y=0，‎ 可知=，‎ ‎∴a=，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎11．函数f（x）=x3﹣3x2+m在区间[﹣1，1]上的最大值是2，则常数m=　2　．‎ ‎【考点】函数的最值及其几何意义．‎ ‎【分析】求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值是f（0）=m，则m值可求．‎ ‎【解答】解：f′（x）=3x（x﹣2），‎ 令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜0，‎ 令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，‎ ‎∴f（x）在[﹣1，0）递增，在（0，1]递减，‎ ‎∴f（x）max=f（0）=m=2，‎ 故答案为：2‎ ‎　‎ ‎12．点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x+2的距离的最小值是　　．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；两条平行直线间的距离．‎ ‎【分析】求出平行于直线y=x+2且与曲线y=x2﹣lnx相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式可得结论．‎ ‎【解答】解：设P（x，y），则y′=2x﹣（x＞0）‎ 令2x﹣=1，则（x﹣1）（2x+1）=0，‎ ‎∵x＞0，∴x=1‎ ‎∴y=1，即平行于直线y=x+2且与曲线y=x2﹣lnx相切的切点坐标为（1，1）‎ 由点到直线的距离公式可得d==‎ 故答案为：‎ ‎　‎ 三、解答题（共40分）‎ ‎13．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面PQC⊥平面DCQ ‎（Ⅱ）求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值．‎ ‎【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定；向量语言表述面面的垂直、平行关系；用空间向量求平面间的夹角．‎ ‎【分析】首先根据题意以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz；‎ ‎（Ⅰ）根据坐标系，求出、、的坐标，由向量积的运算易得•=0， •=0；进而可得PQ⊥DQ，PQ⊥DC，由面面垂直的判定方法，可得证明；‎ ‎（Ⅱ）依题意结合坐标系，可得B、、的坐标，进而求出平面的PBC的法向量与平面PBQ法向量，进而求出cos＜，＞，根据二面角与其法向量夹角的关系，可得答案．‎ ‎【解答】解：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz；‎ ‎（Ⅰ）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）；‎ 则=（1，1，0），=（0，0，1），=（1，﹣1，0），‎ 所以•=0， •=0；‎ 即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，‎ 故PQ⊥平面DCQ，‎ 又PQ⊂平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ；‎ ‎（Ⅱ）依题意，有B（1，0，1），‎ ‎=（1，0，0），=（﹣1，2，﹣1）；‎ 设=（x，y，z）是平面的PBC法向量，‎ 则即，‎ 因此可取=（0，﹣1，﹣2）；‎ 设是平面PBQ的法向量，则，‎ 可取=（1，1，1），‎ 所以cos＜，＞=﹣，‎ 故二面角角Q﹣BP﹣C的余弦值为﹣．‎ ‎　‎ ‎14．已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）‎ ‎（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（2）求函数f（x）的极值．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】（1）把a=2代入原函数解析式中，求出函数在x=1时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；‎ ‎（2）求出函数的导函数，由导函数可知，当a≤0时，f′（x）＞0，函数在定义域（0，+∝）上单调递增，函数无极值，当a＞0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用原函数的单调性得到函数的极值．‎ ‎【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），．‎ ‎（1）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，，‎ 因而f（1）=1，f′（1）=﹣1，‎ 所以曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），‎ 即x+y﹣2=0‎ ‎（2）由，x＞0知：‎ ‎①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）为（0，+∞‎ ‎）上的增函数，函数f（x）无极值；‎ ‎②当a＞0时，由f′（x）=0，解得x=a．‎ 又当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0．‎ 从而函数f（x）在x=a处取得极小值，且极小值为f（a）=a﹣alna，无极大值．‎ 综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；‎ 当a＞0时，函数f（x）在x=a处取得极小值a﹣alna，无极大值．‎ ‎　‎ ‎15．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意求出a，b的值，从而得到所求椭圆的方程．‎ ‎（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）当AB⊥x轴时，．（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．‎ 由已知，得．把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，然后由根与系数的关系进行求解．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意∴b=1，∴所求椭圆方程为．‎ ‎（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ ‎（1）当AB⊥x轴时，．‎ ‎（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．‎ 由已知，得．‎ 把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，‎ ‎∴，．‎ ‎∴|AB|2=（1+k2）（x2﹣x1）2‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=．‎ 当且仅当，即时等号成立．当k=0时，，‎ 综上所述|AB|max=2．∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值．‎