专题14 直线和圆-2017年高考数学（文）备考学易黄金易错点

专题14 直线和圆-2017年高考数学（文）备考学易黄金易错点

1．已知圆 M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线 x＋y＝0 所得线段的长度是 2 2，则圆 M 与圆 N： (x－1)2＋(y－1)2＝1 的位置关系是( ) A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 答案 B 解析 ∵圆 M：x2＋(y－a)2＝a2， 2．已知点 A(2，3)，B(－3，－2)，若直线 kx－y＋1－k＝0 与线段 AB 相交，则 k 的取值范 围是( ) A．3 4 ，2] B．(－∞，3 4]∪2，＋∞) C．(－∞，1]∪2，＋∞) D．1,2] 答案 B 解析 直线 kx－y＋1－k＝0 恒过点 P(1,1)， kPA＝3－1 2－1 ＝2，kPB＝－2－1 －3－1 ＝3 4 ； 若直线 kx－y＋1－k＝0 与线段 AB 相交，结合图象(图略)得 k≤3 4 或 k≥2，故选 B. 3．若方程(x－2cosθ)2＋(y－2sinθ)2＝1(0≤θ<2π)的任意一组解(x，y)都满足不等式 y≥ 3 3 x，则θ的取值范围是( ) A．π 6 ，7π 6 ] B．5π 12 ，13π 12 ] C．π 2 ，π] D．π 3 ，π] 答案 D 解析 根据题意可得，方程(x－2cosθ)2＋(y－2sinθ)2＝1(0≤θ<2π)的任意一组解(x，y) 都满足不等式 y≥ 3 3 x，表示方程(x－2cosθ)2＋(y－2sinθ)2＝1(0≤θ<2π)在 y＝ 3 3 x 的左 上方(包括相切)， ∴ |2sinθ－ 3 3 ×2cosθ| 1＋1 3 ≥1， 2sinθ> 3 3 ×2cosθ， ∴sin θ－π 6 ≥1 2 ，∵0≤θ<2π，∴θ∈π 3 ，π]，故选 D. 4．已知点 P(x，y)在直线 x＋2y＝3 上移动，当 2x＋4y 取得最小值时，过点 P 引圆(x－1 2)2＋ (y＋1 4)2＝1 2 的切线，则此切线段的长度为________． 答案 6 2 5 ． 已 知 a∈R ， 方 程 a2x2 ＋ (a ＋ 2)y2 ＋ 4x ＋ 8y ＋ 5a ＝ 0 表 示 圆 ， 则 圆 心 坐 标 是 ______________．半径是________． 答案 (－2，－4) 5 解析 由已知方程表示圆，则 a2＝a＋2， 解得 a＝2 或 a＝－1. 当 a＝2 时，方程不满足表示圆的条件，故舍去． 当 a＝－1 时，原方程为 x2＋y2＋4x＋8y－5＝0， 化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，半径为 5 的圆． 6．设直线 y＝x＋2a 与圆 C：x2＋y2－2ay－2＝0 相交于 A，B 两点，若|AB|＝2 3，则圆 C 的面积为________． 答案 4π 解析 圆 C：x2＋y2－2ay－2＝0，即 C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，圆心为 C(0，a)，C 到直线 y ＝x＋2a 的距离为 d＝|0－a＋2a| 2 ＝|a| 2 .又由|AB|＝2 3，得 2 3 2 2＋ |a| 2 2＝a2＋2，解得 a2＝2， 所以圆的面积为π(a2＋2)＝4π. 7．已知以点 C(t，2 t)为圆心的圆与 x 轴交于点 O，A，与 y 轴交于点 O，B，其中 O 为原点． (1)求证：△OAB 的面积为定值； (2)设直线 y＝－2x＋4 与圆 C 交于点 M，N，若|OM|＝|ON|，求圆 C 的方程． (1)证明 由题意知圆 C 过原点 O，且|OC|2＝t2＋4 t2. 则圆 C 的方程为(x－t)2＋(y－2 t)2＝t2＋4 t2 ， 令 x＝0，得 y1＝0，y2＝4 t ； 令 y＝0，得 x1＝0，x2＝2t. 故 S△OAB＝1 2|OA|×|OB|＝1 2 ×|2t|×|4 t|＝4， 即△OAB 的面积为定值． (2)解 ∵|OM|＝|ON|，|CM|＝|CN|， ∴OC 垂直平分线段 MN. 线 y＝－2x＋4 不相交，∴t＝－2 不符合题意，应舍去． 综上，圆 C 的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5. 易错起源 1、直线的方程及应用 例 1、(1)已知直线 l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0 与 l2：2(k－3)x－2y＋3＝0 平行，则 k 的值是 ( ) A．1 或 3 B．1 或 5 C．3 或 5 D．1 或 2 (2)已知两点 A(3,2)和 B(－1,4)到直线 mx＋y＋3＝0 的距离相等，则 m 的值为( ) A．0 或－1 2 B.1 2 或－6 C．－1 2 或1 2 D．0 或1 2 答案 (1)C (2)B 【变式探究】已知直线 l1：ax＋2y＋1＝0 与直线 l2：(3－a)x－y＋a＝0，若 l1⊥l2，则 a 的 值为( ) A．1 B．2 C．6 D．1 或 2 答案 D 解析 由 l1⊥l2，则 a(3－a)－2＝0， 即 a＝1 或 a＝2，选 D. 【名师点睛】 (1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况； (2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究． 【锦囊妙计，战胜自我】 1．两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线 l1，l2 的斜率 k1，k2 存在，则 l1∥l2 ⇔ k1＝k2，l1⊥l2 ⇔ k1k2＝－1.若给出 的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在． 2．求直线方程 要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与 x 轴垂直．而截 距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线． 3．两个距离公式 (1)两平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0， l2：Ax＋By＋C2＝0 间的距离 d＝|C1－C2| A2＋B2 . (2)点(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离公式 d＝|Ax0＋By0＋C| A2＋B2 . 易错起源 2、圆的方程及应用 例 2、(1)若圆 C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与 y 轴相切，则圆 C 的方程为( ) A．(x－2)2＋(y±2)2＝3 B．(x－2)2＋(y± 3)2＝3 C．(x－2)2＋(y±2)2＝4 D．(x－2)2＋(y± 3)2＝4 (2)已知圆 M 的圆心在 x 轴上，且圆心在直线 l1：x＝－2 的右侧，若圆 M 截直线 l1 所得的弦 长为 2 3，且与直线 l2：2x－ 5y－4＝0 相切，则圆 M 的方程为( ) A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x＋1)2＋y2＝4 C．x2＋(y－1)2＝4 D．x2＋(y＋1)2＝4 答案 (1)D (2)B 解得满足条件的一组解为 a＝－1， r＝2， 所以圆 M 的方程为(x＋1)2＋y2＝4.故选 B. 【变式探究】(1)一个圆经过椭圆x2 16 ＋y2 4 ＝1 的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半轴上，则该圆 的标准方程为________________． (2)两条互相垂直的直线 2x＋y＋2＝0 和 ax＋4y－2＝0 的交点为 P，若圆 C 过点 P 和点 M(－ 3,2)，且圆心在直线 y＝1 2x 上，则圆 C 的标准方程为______________． 答案 (1) x－3 2 2＋y2＝25 4 (2)(x＋6)2＋(y＋3)2＝34 【名师点睛】 解决与圆有关的问题一般有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆 的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程， 再由条件求得各系数． 【锦囊妙计，战胜自我】 1．圆的标准方程 当圆心为(a，b)，半径为 r 时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点 时，方程为 x2＋y2＝r2. 2．圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中 D2＋E2－4F>0，表示以(－D 2 ，－E 2)为圆心， D2＋E2－4F 2 为 半径的圆． 易错起源 3、直线与圆、圆与圆的位置关系 例 3、(1)已知直线 2x＋(y－3)m－4＝0(m∈R)恒过定点 P，若点 P 平分圆 x2＋y2－2x－4y－4 ＝0 的弦 MN，则弦 MN 所在直线的方程是( ) A．x＋y－5＝0 B．x＋y－3＝0 C．x－y－1＝0 D．x－y＋1＝0 (2)已知 P(x，y)是直线 kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB 是圆 C：x2＋y2－2y＝0 的两条 切线，A，B 是切点，若四边形 PACB 的最小面积是 2，则 k 的值为( ) A．3 B. 21 2 C．2 2 D．2 答案 (1)A (2)D 解析 (1)对于直线方程 2x＋(y－3)m－4＝0(m∈R)，取 y＝3，则必有 x＝2，所以该直线恒 过定点 P(2,3)． 设圆心是 C，则易知 C(1,2)， 所以 kCP＝3－2 2－1 ＝1， 由垂径定理知 CP⊥MN，所以 kMN＝－1. 又弦 MN 过点 P(2,3)， 故弦 MN 所在直线的方程为 y－3＝－(x－2)， 【变式探究】(1)若直线 3x＋4y＝b 与圆 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 相切，则 b 的值是( ) A．－2 或 12 B．2 或－12 C．－2 或－12 D．2 或 12 (2)已知在平面直角坐标系中，点 A(2 2，0)，B(0,1)到直线 l 的距离分别为 1,2，则这样的直 线 l 共有________条． 答案 (1)D (2)3 【名师点睛】 (1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解 题途径，减少运算量． (2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直 线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的 距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题． 【锦囊妙计，战胜自我】 1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法． (1)点线距离法：设圆心到直线的距离为 d，圆的半径为 r，则 dr ⇔ 直线与圆相离． (2)判别式法：设圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线 l：Ax＋By＋C＝0，方程组 Ax＋By＋C＝0， x－a 2＋ y－b 2＝r2 消去 y，得关于 x 的一元二次方程根的判别式Δ，则直线与圆相离 ⇔ Δ<0，直线与圆相切 ⇔ Δ＝0，直线与圆相交 ⇔ Δ>0. 2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离． 设圆 C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21，圆 C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22，两圆心之间的距离为 d， 则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下： (1)d>r1＋r2 ⇔ 两圆外离； (2)d＝r1＋r2 ⇔ 两圆外切； (3)|r1－r2|

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