数学（文）卷·2017届辽宁省鞍山市高三下学期第一次质量检测（2017

数学（文）卷·2017届辽宁省鞍山市高三下学期第一次质量检测（2017

鞍山市2017年高中毕业班第一次质量调查 数学（文科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知全集，集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2．若复数满足，其中为虚数单位，则复数对应的点在（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．下列四个函数中，在区间上是减函数的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4．已知向量，满足，，，则向量，的夹角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．在明朝程大位所著《算法统宗》中，有这样的一首歌谣，叫做浮屠增级歌．“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，它一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，全塔总共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？据此，你算出顶层悬挂的红灯的盏数为（ ）‎ A．5 B．4 C．3 D．4‎ ‎6．执行下图程序框图，如果输入的，均为2，则输出的（ ）‎ A．7 B．6 C．5 D．4‎ ‎7．已知函数，则函数满足（ ）‎ A．最小正周期为 B．图象关于点对称 ‎ C．在区间上为减函数 D．图象关于直线对称 ‎8．一空间几何体的三视图如下图所示，该几何体的体积为，则正视图与侧视图中的值为（ ）‎ A．2 B．3 C． 4 D．5‎ ‎9．已知（且）恒过定点，且点在直线（，）上，则的最小值为（ ）‎ A． B．8 C． D．4‎ ‎10．已知点在抛物线上，则当点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知函数的定义域为，当时，若，，，则有的值（ ）‎ A．恒小于零 B．恒等于零 ‎ C．恒大于零 D．可能大于零，也可能小于零 ‎12．过双曲线（，）的右焦点作圆的切线，切点为.直线交抛物线于点，若（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．若，满足约束条件，则的最小值为 ．‎ ‎14．已知三棱锥的四个顶点均在半径为2的球面上，且、、两两互相垂直，则三棱锥的侧面积的最大值为 ．‎ ‎15．已知等差数列中，，，设为数列的前项和，则 ．‎ ‎16．给出下列四个命题：①“若，则或”是假命题；②已知在中，“”是“”成立的充要条件；③若函数，对任意的都有，则实数的取值范围是；④若实数,，则满足的概率为.其中正确的命题的序号是 （请把正确命题的序号填在横线上）．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17．已知锐角的内角、、的对边分别为、、，且，，的面积为，又，记.‎ ‎（Ⅰ）求，，的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值.‎ ‎18．上周某校高三年级学生参加了数学测试，年部组织任课教师对这次考试进行成绩分析.现从中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间（满分100分，成绩不低于40分），现将成绩按如下方式分成6组：第一组；第二组；……；第六组，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（Ⅰ）估计这次月考数学成绩的平均分和众数；‎ ‎（Ⅱ）从成绩大于等于80分的学生中随机选2名，求至少有1名学生的成绩在区间内的概率.‎ ‎19．如图，在四棱锥中，底面的平行四边形，，，面，为的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：‎ ‎（Ⅱ）若，求三棱锥的体积.‎ ‎20．已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数在处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）令，求函数的极值；‎ ‎（Ⅲ）若，正实数，满足，证明：.‎ ‎21．过椭圆：上一点向轴作垂线，垂足为右焦点，、分别为椭圆的左顶点和上顶点，且，.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若动直线与椭圆交于、两点，且以为直径的圆恒过坐标原点.问是否存在一个定圆与动直线总相切.若存在，求出该定圆的方程；若不存在，请说明理由.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心在极轴上，且经过极点的圆.已知曲线上的点对应的参数，射线与曲线交于点.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若点，在曲线上，求的值.‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 设函数，.‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若关于的不等式在上恒成立，求实数的最大值.‎ 鞍山市2017年第一次质量调查数学（文科）参考答案 一、选择题 ‎1-5:BCBDC 6-10:ADBAD 11、12：CB 二、填空题 ‎13． 14．8 15． 16．②④‎ 三、解答题 ‎17．解：（1）由的面积为，有，即，得，‎ 又为锐角，故 再由余弦定理：，得，‎ ‎.‎ ‎（2）由，知，由为正三角形，即，且，‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎18．解：（1）因各组的频率之和为1，所以成绩在区间内的频率为 ‎，‎ 所以平均分分，‎ 众数的估计值是65分 ‎（2）设表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选2名，至少有1名学生的成绩在区间内”，由题意可知成绩在区间内的学生所选取的有：，记这4名学生分别为，，，，‎ 成绩在区间内的学生有（人），记这2名学生分别为，，‎ 则从这6人中任选2人的基本事件事件空间为：‎ 共15种，‎ 事件“至少有1名学生的成绩在区间内”的可能结果为：‎ ‎，共九种，‎ 所以.‎ 故所求事件的概率为：.‎ ‎19．解：（1）证明：因为面，又平面 所以，‎ 又因为，，‎ 在中，由余弦定理有：‎ 所以，‎ 即：，‎ 又因为，又平面，平面，‎ 所以平面，‎ 又平面，所以.‎ ‎（2）由已知有：，所以，,因为面 且为的中点，所以点到平面的距离为，‎ 所以 ‎20．解：（1）当时，，则，所以切点为，又，则切线斜率，‎ 故切线方程为，即.‎ ‎（2），‎ 则，‎ 当时，，.‎ 在上是递增函数，函数无极值点，‎ 当时，，‎ 令得，当时，；当时，.‎ 因此在上是增函数，在上是减函数.‎ 时，有极大值.‎ 综上，当时，函数无极值；当时，函数有极大值 ‎（3）证明：当时，，由，‎ 即 从而 令，则，得，‎ 可知在区间上单调递减，在区间上单调递增.‎ 因为，‎ ‎21．解：（1）由题意得，所以，.由得，解得，，‎ 由，得，，椭圆的方程为.‎ ‎（2）假设存在这样的圆.设，.‎ 由已知，以为直径的圆恒过原点，即，所以.‎ 当直线垂直于轴时，，，所以，又，解得，‎ 不妨设，或，，即直线的方程为或，此时原点到直线的距离为.‎ 当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，解消去得方程：‎ ‎，因为直线与椭圆交于，两点，所以方程的判别式 ‎，即，且，.‎ 由，得，‎ 所以，整理得（满足）.‎ 所以原点到直线的距离.综上所述，原点到直线的距离为定值，即存在定圆总与直线相切.‎ ‎22．解：（Ⅰ）将及对应的参数，代入，得，即，‎ 所以曲线的方程为（为参数），或.设圆的半径为，由题意，圆的方程为，（或）.将点代入，得，即.‎ ‎（或由，得，代入，得），‎ 所以曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（Ⅱ）因为点，在曲线上，所以，‎ ‎，所以.‎ ‎23．解：（1） ‎ 由得或，解得或，‎ 所以不等式的解集为；‎ ‎（2）由绝对值的性质得，‎ 所以最小值为，从而，解得，因此的最大值为.‎