数学文卷·2018届河北省石家庄实验中学高二下学期期中考试（2017-04）

数学文卷·2018届河北省石家庄实验中学高二下学期期中考试（2017-04）

高二数学（文）‎ 一、 选择题 ‎ ‎1. 设 是虚数单位， 是复数 的共轭复数，若 ，则 =（ ） ‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D． ‎ ‎2. 等于（　　） ‎ A.1   B.-1   C. i    D.- i ‎ ‎3. 设 是虚数单位，若复数 是纯虚数，则 的值为 （  ） ‎ A．-3 ‎ B．-1 ‎ C．1 ‎ D．3 ‎ ‎4. 已知复数z满足(3+3i)z=3i，则z等于( ) ‎ A.   B. C. D. ‎ ‎5. 在复平面内点 A 、 B 、 C 对应的复数分别为i、1、4+2i,由 A → B→ C → D 按逆时针顺序作 ABCD ,则| |等于（　　） ‎ A.5 B.    C.    D. ‎ ‎6. 复数 的值是（　　） ‎ A.-16   B.16 C.-    D. - i ‎ ‎7. 已知复数z满足( +3i)z=3i,则z等于( ) ‎ A.   B. ‎ C.   D. ‎ ‎8. 关于 x 的方程 x 2 -(2i-1) x + 3m -i=0(m∈ R )有实根,则m的取值范围是(　　) ‎ A.m≥- B.m=- C.m≥ D.m= ‎ ‎9. 如果z 1 、z 2 ∈C且z 1 = z 2 ≠0,则 是(　　) ‎ A.虚数 B.纯虚数 C.实数 D.不确定 ‎ ‎10. 等于(　　) ‎ A. B.- i ‎ C. D.- ‎ ‎11. 复数 z = （ m ∈R， i 为虚数单位）在复平面上的对应的点不可能位于（　　） ‎ A.第一象限 B.第二象限   C.第三象限 D.第四象限 ‎ ‎12. 复数 等于( ) ‎ A.i    B.-i      C.   D. ‎ 分卷II 二、 填空题 ‎ ‎13. =________. ‎ ‎14. 3+4i的平方根是    . ‎ ‎15. 已知 a = (i是虚数单位),那么 a 2 =    . ‎ ‎16. 设x、y为实数,且 ,则x+y=__________. ‎ ‎17. （ ） 6 +（ ） 6 =    ；若 n 为奇数，则（ ） 4 n +（ ） 4 n =    . ‎ ‎18. =________. ‎ 三、解答题 ‎ ‎19. 进行复数的除法运算的步骤是什么？ ‎ ‎20. 如何求解复数范围内的轨迹问题？ ‎ ‎21. 已知|z|=2+z+3i,求复数z. ‎ ‎22. 已知 为纯虚数，且(z+1)( +1)=|z| 2 ，求复数z. ‎ 答案解析部分(共有 22 道题的解析及答案)‎ 一、选择题 ‎1、 【答案】A 【解析】设 ，所以选A． ‎ ‎2、 解析： ∵（ - i） 4 = （1-i） 4 = （-2i） 2 =-1, ‎ ‎∴ =-1. ‎ 答案： B ‎3、 【答案】D 【解析】 ‎ ‎，所以a=3，选D. ‎ ‎4、 思路解析 : 移项，由复数的除法法则来运算可得z= . ‎ 答案 : D ‎5、 解析： ∵ ‎ ‎∴向量 对应的复数为-1+i. ‎ ‎∵ ,∴向量 对应的复数为(4+2i)-1=3+2i. ‎ 又 ‎ ‎∴向量 对应的复数为(-1+i)+(3+2i)=2+3i. ‎ ‎∴| |=|2+3i|= . ‎ 答案： B ‎ 绿色通道 : 若一个向量 对应的复数为 a + b i,则| |= .‎ ‎6、解析： = =16 ‎ ‎∵（- + i） 3 =1， ‎ ‎∴原式=-16. ‎ 答案：A ‎7、 思路解析 : z= . ‎ 答案 : D ‎8、 解析 : 利用复数相等的条件求解. [‎ 答案 : D ‎9、 解析 : 由z 1 = z 2 ≠0,得z 1 = 且z 2 ≠0,∴z 1 为实数. ‎ ‎∴ 为实数. ‎ 答案 : C ‎10、B ‎11、 解析： 由已知 z = = = ［（ M -4）-2（ M +1）i］在复平面内的对应点如果在第一象限，则 而此不等式组无解,即在复平面上对应的点不可能位于第一象限. ‎ 答案： A ‎12、 思路解析 : 由虚数单位i的性质知i 2 =-1，不难观察出分母乘以i即可. ‎ ‎. ‎ 答案 : A 二、填空题 ‎13、 解析 : 原式= ‎ 答案 : -1‎ ‎14、 解析 : 设3+4i的平方根为 x + y i( x 、 y ∈ R ), ‎ 则( x + y i) 2 =3+4i. ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ 答案 : 2+i或-2-i ‎15、 解析 : ‎ 答案 : -2i ‎16、 思路解析 : 由 ,知 (1+i)+ (1+2i)= (1+3i),即5x(1+i)+2y(1+2i)=5(1+3i), ‎ 即(5x+2y-5)+(5x+4y-15)i=0,故 ‎ x+y=4. ‎ 答案 : 4‎ ‎17、解析：（ ） 6 +（ ） 6 ‎ ‎=［（- + i） 3 ］ 2 +［（ + i） 3 ］ 2 ‎ ‎=1+［ +3× × i+3× ×（ i） 2 +（ i） 3 ］ 2 ‎ ‎=1+（-1） 2 =2. ‎ ‎（ ） 4n +（1- ） 4n ‎ ‎=［（1+ ） 2 ］ 2n +［（1- ） 2 ］ 2n ‎ ‎=i 2n +（-i） 2n =（-1） n +（-1） n =-2. ‎ 答案：2　-2‎ ‎18、 解析: 原式= ‎ 答案 : - ‎ 三、解答题 ‎19、思路:利用复数的除法定义:把满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商,记作(a+bi)÷(c+di)或 ,从而利用复数相等求得x,y的值即可. ‎ 探究:∵(c+di)(x+yi)=(cx-dy)+(dx+cy)i,∴(cx-dy)+(dx+cy)i=a+bi,由此可得 ‎ 解这个方程组得 ‎ 于是有(a+bi)÷(c+di)= i. ‎ 在进行复数除法运算时,通常先把(a+bi)÷(c+di)写成 的形式,再把分子与分母都乘以分母的共轭复数c-di,化简后,也可以得出上面的结果.‎ ‎20、思路:这一类都是与复数的模有关的知识,可以设复数的一般形式,运用复数的求模公式把复数问题实数化,从而利用实数范围内的有关轨迹知识来解决. ‎ 探究:满足条件|z-(a+bi)|=r(r＞0)的复数z在复平面上对应点的轨迹的求解,可设z=x+yi,则z-(a+bi)=(x-a)+(y-b)i, ‎ ‎∴|z-(a+bi)|= =r(r＞0). ‎ ‎∴(x-a) 2 +(y-b) 2 =r 2 . ‎ 故复数z在复平面上对应点的轨迹为以(a,b)为圆心,以r为半径的圆.‎ ‎21、 解 : 令z= a + b i,则2+z+3i=2+ a +( b +3)i. ‎ ‎∴|z|=2+ a +( b +3)i. ‎ ‎∴ ∴ ‎ ‎∴z= -3i.‎ ‎22、 思路解析 : 先将 为纯虚数的条件化简,再设z=a+bi来求解. ‎ 解 : 由(z+1)( +1)=|z| 2 z+ =-1, ① ‎ 由 为纯虚数， + =0 z -1=0.   ② ‎ 设z=a+bi,代入①②,得a= ，a 2 +b 2 =1. ‎ ‎∴a= ，b= .∴z= .‎