辽宁省六校协作体2018-2019学年高二下学期期初考试数学（理）试题

辽宁省六校协作体2018-2019学年高二下学期期初考试数学（理）试题

‎2018~2019学年度下学期省六校协作体高二期初考试 数学（理）试题 命题学校：凤城一中 命题人：关锋 校对人：张燕 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分 ‎1.设集合，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2．命题“”的否定为 ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎3、已知等差数列的前项和为，若，则=（ ）‎ A．13 B．35 C．49 D．63‎ ‎4.已知为锐角，且，则等于 A． B. C． D．‎ ‎5. 已知向量满足，，，则（ ）‎ A.2 B. C.4 D.‎ ‎6. 函数（且）的图像恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（ ）‎ A.16 B.24 C.50 D.25 ‎ ‎7．已知,是直线，是平面，给出下列命题：‎ ‎①若，，，则或．‎ ‎②若，，，则．‎ ‎③ 若m,n,m∥,n∥,则∥．‎ ‎④若，且，，则．‎ 其中正确的命题是 （ ） ‎ A.①,② B.②,③ C.②,④ D.③,④‎ ‎8.已知函数的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称中心可能为（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎9. 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，则（ ）A. B. C. D. ‎ ‎10. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，若上存在一点满足，且的面积为3，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C.2 D．3‎ ‎11．已知 ，若有四个不同的实根，且，则的取值范围为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知椭圆中心在原点，且一个焦点为，直线与其相交于、两点，中点的横坐标为，则此椭圆的方程是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13.设变量满足约束条件则的最大值为 .‎ ‎14．由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为 .‎ ‎15.三棱锥,,,,（单位：）则三棱锥外接球的体积等于 .‎ ‎16.已知数列中，，，，若对于任意的，‎ ‎，不等式恒成立，则实数的取值范围 . ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17.(本小题满分12分)在中，角的对边分别是 ，，.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若为边上一点，且，的面积为，求的长.‎ ‎18.(本小题满分12分)已知数列的前项和满足且。‎ ‎(1)求数列的通项公式；(2)求 的值。‎ ‎19．(本小题满分12分)某校从高一年级参加期末考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩（满分为100分），将数学成绩进行分组，并根据各组人数制成如下频率分布表：‎ ‎（1）写出的值，并估计本次考试全年级学生的数学平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（2）现从成绩在内的学生中任选出两名同学，从成绩在内的学生中任选一名同学，共三名同学参加学习习惯问卷调查活动.若同学的数学成绩为43分，同学的数学成绩为分，求两同学恰好都被选出的概率.‎ ‎20.(本小题满分12分)已知抛物线的焦点为，为坐标原点，是抛物线上异于的两点．‎ ‎（ I）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线的斜率之积为，求证：直线过定点．‎ ‎21.(本小题满分12分)如图，在直角梯形中，，，.直角梯形通过直角梯形以直线 为轴旋转得到，且使平面平面.为线段的中点，为线段上的动点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）当点是线段中点时，求二面角的余弦值；‎ ‎（3）是否存在点，使得直线平面？请说明理由.‎ ‎22.(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，点在椭圆上.‎ 求椭圆的方程；‎ 已知与为平面内的两个定点，过点的直线与椭圆交于两点，求四边形面积的最大值.‎ ‎ 答案 ‎1—5 D B C B A 6-----10 D C D C B 11—12 A C ‎13—16 4 ‎ ‎17. (1) ………………………5分 ‎ ‎(2) ……………………… 10分 ‎18.（1）当时，，解得或0（舍去）‎ 当时，，，‎ 两式相减得：，即，，‎ 又因为，所以。，即，‎ 数列是公差为1的等差数列， …………………6分 ‎（2）因为，所以，‎ 两式相减得：。‎ 所以 ………………………12分 ‎19. (1) ………………………2分 估计本次考试全年级学生的数学平均分为 ‎.………6分 ‎（2）设数学成绩在内的四名同学分别为，‎ 成绩在内的两名同学为，‎ 则选出的三名同学可以为：‎ ‎、、、、、、、、、、、，共有12种情况.‎ 两名同学恰好都被选出的有、、，共有3种情况，‎ 所以两名同学恰好都被选出的概率为.………………………12分 ‎20.(本小题满分12分)‎ 解：（Ⅰ）因为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0），所以=1，所以p=2．‎ 所以抛物线C的方程为y2=4x． ………………………4分 ‎（Ⅱ）证明：①当直线AB的斜率不存在时，‎ 设 A（，t），B（，﹣t），‎ 因为直线OA，OB的斜率之积为﹣，所以=﹣，化简得t2=32．‎ 所以A（8，t），B（8，﹣t），此时直线AB的方程为x=8．…（7分）‎ ‎②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=kx+b，A（xA，yA），B（xB，yB），‎ 联立得化简得ky2﹣4y+4b=0．…（8分）‎ 根据根与系数的关系得yAyB=，‎ 因为直线OA，OB的斜率之积为﹣，‎ 所以•=﹣，‎ 即xAxB+2yAyB=0．‎ 即+2yAyB=0，‎ 解得yAyB=0（舍去）或yAyB=﹣32．‎ 所以yAyB==﹣32，即b=﹣8k，所以y=kx﹣8k，‎ 即y=k（x﹣8）．‎ 综上所述，直线AB过x轴上一定点（8，0）．…………………………12分 ‎21.解：（1）由已知，平面平面 平面，平面平面所以平面 又平面 所以 …………………4分 ‎（2）由（1）可知，，两两垂直.‎ 分别以，，为轴，轴， 轴建立空间直角坐标系如图所示.‎ 由已知 所以，，，，‎ 因为为线段的中点，为线段的中点.‎ 所以，‎ 易知平面的一个法向量 设平面的一个法向量为 由得 取，得 由图可知，二面角的大小为锐角，‎ 所以 所以二面角的余弦值为 ………………………8分 ‎（3）存在点，使得直线平面 设，且，，则 所以，，.所以 设平面的一个法向量为，‎ 由得 取，得（不符合题意）‎ 又若平面，则 所以，所以 所以存在点，使得直线平面 ………………………12分 ‎22. 解：由可得，，又因为，所以.‎ 所以椭圆方程为，又因为在椭圆上，所以.‎ 所以，所以，故椭圆方程为. ………………4分 方法一：设的方程为，联立，‎ 消去得，设点，‎ 有 所以令，‎ 有，由函数，故函数，在上单调递增，故，故 当且仅当即时等号成立，‎ 四边形面积的最大值为. ………………………12分 方法二：设的方程为，联立，‎ 消去得，设点，‎ 有 ‎ 有，‎ 点到直线的距离为，‎ 点到直线的距离为，‎ 从而四边形的面积 令，‎ 有，‎ 函数，‎ 故函数，在上单调递增，‎ 有，故当且仅当即时等号成立，四边形面积的最大值为. ‎ 方法三：①当的斜率不存在时，‎ 此时，四边形的面积为.‎ ②当的斜率存在时，设为：， 则 ‎ ，‎ ‎，‎ 四边形的面积 令 则 ‎ ‎ ,‎ 综上，四边形面积的最大值为. ‎