2018-2019学年江西省南康中学高二下学期期中考试（第二次大考）数学（文）试题 解析版

2018-2019学年江西省南康中学高二下学期期中考试（第二次大考）数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 江西省南康中学2018-2019学年高二下学期期中考试（第二次大考)数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知复数，则 （ 　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先用复数的除法法则进行运算，然后根据复数模的运算公式，进行求模运算.‎ ‎【详解】‎ ‎，故本题选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复数的除法运算、求模运算.关键是掌握除法的运算法则和求模的公式.‎ ‎2．“”是“”的 （ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】主要考查充要条件的概念及充要条件的判定方法。‎ 解：对于“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立．因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要条件．故选A。‎ 视频 ‎3．某公司为了增加其商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用与销售利润的统计数据如右表，由表中数据，得线性回归方程，则下列结论错误的是（　　 ）‎ A． B． C．直线过点 D．直线过点 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出散点图，根据散点图，可以知道回归直线方程是递增型，也可以观察到在轴的截距是大于零的，再求出，求出样本的中心，进行判断，得出答案.‎ ‎【详解】‎ 散点图如下图：‎ 通过散点图可以知道；回归直线，是递增型，所以，也可以观测到在轴的截距是大于零的，因此，，所以回归直线过（4，8）这一点，综上所述：本题选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了通过画散点图，知道回归直线方程中的意义，以及回归直线过样本的中心这个规律，考查了运算能力.考查了数形结合的能力.‎ ‎4．若命题“”为假命题，则实数的取值范围是（　 ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 命题是假命题，可以考虑它的否定是真命题，这样就能求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 命题“”的否定是对于，‎ 都有为真命题，所以，故本题选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了命题与命题的否定是一真一假的关系，这样通过转化的思想，很容易理解本题的意图.考查了含特殊量词的命题的否定.‎ ‎5．用反证法证明命题“若则”时，第一步应假设（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 反证法的第一步是假设命题的结论不成立，三个数都为零的否定就是至少有一个不为零.‎ ‎【详解】‎ 反证法的第一步是假设命题的结论不成立，即假设不成立，也就是假设三个数都为零不成立，那也就意味着至少有一个数为为零，也就是，故本题选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了反证法证明时第一步要否定结论不成立这一个原则.重点是含“都是”的否定是“不都是”这一规律.‎ ‎6．如果执行下面的程序框图，输入，那么输出的等于 A．720 B．360 C．240 D．120‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：程序在执行过程中， 的值依次为； ‎ ‎； ； ；‎ ‎，此时不满足，输出．‎ 考点：程序框图.‎ 视频 ‎7．据统计，某位同学在大考中语文和数学成绩达到优秀等级（120以上）的概率分别为和，假设两科考试成绩相互独立，则这位同学在期中考试中语文和数学至少有一科优秀的概率是（　 　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可以考虑语文和数学至少有一科优秀这一事件的对立事件，也就是求出一科都不优秀的概率是多少，然后根据公式，求出语文和数学至少有一科优秀的概率.‎ ‎【详解】‎ 这位同学在期中考试中语文和数学至少有一科优秀，记为事件，那么就是语文和数学一科都不是优秀，因为两科考试成绩相互独立，所以有 ‎，因此故本题选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了对立事件概率公式，同时也考查了转化思想.‎ ‎8．已知分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上一点，且（为坐标原点），，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎：取的中点，连接，根据向量的加减法的几何意义和三角形中位线的性质，以及已知，对这个等式，进行化简，得到，再根据椭圆的定义，结合，可以求出离心率.‎ ‎【详解】‎ 如下图所示：取的中点，连接，‎ ‎，， ，‎ ‎，，因为，所以设，，‎ ‎..由椭圆的定义可知：，，‎ ‎，，‎ ‎，，故本题选C.‎ ‎..【点睛】本题考查了借助向量的加减法的几何意义和向量的垂直，考查了椭圆的定义及离心率.本题考查了运算能力.‎ ‎9．某几何体的三视图如图所示，该几何体各个面中，最大面积为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图可以判断出该几何体是三棱锥，可以看成长方体的一角，画出图形，分别求出各面的面积，找到最大面积.‎ ‎【详解】‎ 通过三视图可知该几何体是三棱锥，是长方体的一角，如下图所示：‎ ‎，，，‎ ‎；故最大面积为10，本题选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了通过三视图，识别原几何体的形状，并在这个几何体各个面中，最大面积是多少的问题.重点考查了空间想象能力.‎ ‎10．已知函数是上的可导函数，当时，有，则函数的零点个数是（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：令.，即当时，，为增函数，当时，，为减函数，函数在区间上为增函数，故在区间上有一个交点.即的零点个数是.‎ 考点：1.函数与导数；2.零点.‎ ‎【思路点晴】零点问题一种解法是变为两个函数图象的交点，如本题中的的零点，可以转化为，也就是左右两个函数图象的交点个数，函数在区间上为增函数，通过已知条件分析,即当时，，为增函数，当时，，为减函数，由此判断这两个函数在区间上有一个交点.‎ ‎11．已知抛物线与双曲线有一个相同的焦点，则动点 的轨迹是（ ）‎ A．直线的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过双曲线的方程，可以知道，分别求出抛物线和双曲线的焦点坐标，由题意可知，列出等式，判断动点的轨迹.‎ ‎【详解】‎ 抛物线的焦点坐标为，双曲线，所以有，焦点坐标为、，由题意可知：，，‎ 因为，，所以有，‎ 因此动点 的轨迹是抛物线的一部分，故本题选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线与双曲线的焦点坐标.重点考查了结合已知，得到一个方程，识别曲线类型的能力.本题的关键是挖掘隐含的条件.‎ ‎12．已知定义在上的函数，为其导数，且恒成立，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过，可以联想到导数运算的除法，这样可以构造新函数 ‎，，这样就可以判断出函数在上的单调性，把四个选项变形，利用单调性判断出是否正确.‎ ‎【详解】‎ 通过,这个结构形式，可以构造新函数，‎ ‎，而，所以当时，，所以函数在上是单调递增函数，现对四个选项逐一判断：‎ 选项A. ,可以判断是否正确，‎ 也就是判断是否正确，即判断是否成立，因为，在上是单调递增函数，所以有，故选项A正确；‎ 选项B.，也就是判断是否正确，即判断是否成立，即判断是否成立，因为，在上是单调递增函数，所以有，故选项B不正确；‎ 选项C. ，也就是判断是否正确，即判断 是否成立，即判断是否成立，因为，在上是单调递增函数，所以有，故选项C不正确；‎ 选项D.，也就是判断，是否成立，即判断是否成立，因为，在上是单调递增函数，所以有，因此选项D不正确，故本题选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了根据给定的已知不等式，联想到导数的除法运算法则，构造新函数，利用新函数的单调性，对四个选项中不等式是否成立作出判断.重点考查了构造思想.关键是熟练掌握一些基本的模型结构特征.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．掷一个骰子的试验，事件表示“小于5的偶数点出现”，事件表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件发生概率为__________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先表示出的事件，并求出它发生的概率，再求出事件发生的概率，求出事件发生概率.‎ ‎【详解】‎ ‎,事件表示“小于5的点数出现”,则事件表示“大于等于5的点数出现”，所以，根据和事件的运算公式可知事件发生概率为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了对立事件、和事件概率的求法，关键是要正确求出每个事件概率.‎ ‎14．曲线在处的切线方程为_________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出导函数，把代入，求出在处的切线的斜率，利用点斜式求出切线方程，最后化为一般式方程.‎ ‎【详解】‎ ‎，而，所以切线方程为 ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数求曲线切线方程.重点考查了导数的几何意义.‎ ‎15．设的三边长分别为，的面积为，内切圆半径为，则；类比这个结论可知：四面体的四个面的面积分别为，内切球的半径为，四面体的体积为，则__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平面和空间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形的面积类比立体图形的体积，结合三角形面积的求法求出三棱锥的体积，进而求出内切球的半径为.‎ ‎【详解】‎ 设四面体的内切球的球心为，则球心到四个面的距离都为，所以四棱锥的体积等于以为顶点，四个面为底面的四个小三棱锥的体积之和，‎ 则四面体的体积为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了类比推理.类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知一类的数学对象的性质迁移到另一个数学对象上去.‎ ‎16．已知函数，对不等式恒成立，则实数的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得，，则原问题即不等式恒成立，‎ 即函数的图象恒在过定点的直线非下方，‎ 绘制函数图象如图所示，考查临界条件：‎ 当时，直线恰好为函数的切线，‎ 由函数的解析式可得，则，‎ 结合图象可得实数的取值范围是.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知命题直线与圆有公共点；‎ 命题函数在区间上单调递减；‎ ‎（1）分别求出两个命题中的取值范围，并回答是的什么条件；‎ ‎（2）若真假，求实数的取值区间．‎ ‎【答案】（1）是的必要不充分条件；‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直线与圆与公共点，意味着圆心到直线的距离不大于半径；‎ 函数在区间上单调递减，要注意分类讨论，当时，‎ 函数满足条件；当时，结合二次函数的对称轴，得到的取值范围，综合两种情况，最后得到的取值范围；再判断是的什么条件；‎ ‎（2）求出假时，求出的取值范围,与真时，的取值范围，进行交集运算，最后求出实数的取值区间.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）在命题中，由； ‎ 在命题中，由， ‎ 当时，函数也满足条件 ‎，，所以是的必要不充分条件 ‎（2） 由真假可得： ‎ ‎【点睛】‎ 本题依据几何背景和函数背景考查了充分条件、必要条件的判断，同时考查了同时满足两个命题的真假的前提下，求参数取值范围问题.‎ ‎18．某公司做了用户对其产品满意度的问卷调查，随机抽取了20名用户的评分，得到图3所示茎叶图，对不低于75的评分，认为用户对产品满意，否则，认为不满意，‎ ‎(Ⅰ)根据以上资料完成下面的2×2列联表，若据此数据算得 ‎，则在犯错的概率不超过5%的前提下，你是否认为“满意与否”与“性别”有关？ ‎ ‎ ‎ 附：‎ ‎(Ⅱ) 估计用户对该公司的产品“满意”的概率；‎ ‎(Ⅲ) 该公司为对客户做进一步的调查，从上述对其产品满意的用户中再随机选取2人，求这两人都是男用户或都是女用户的概率.‎ ‎【答案】（1）不能认为（2） ‎ ‎【解析】【试题分析】（1）依据题设条件运用卡方计算公式算出卡方系数，再与参数比对分析推断；（2）借助频率与概率之间的关系求解；（3）运用列举法与古典概型计算公式求解：‎ 解:(Ⅰ)根据茎叶图,填写列联表,如下;‎ 计算, ‎ ‎1,‎ 在犯错的概率不超过5%的前提下,不能认为“满意与否”与“性别”有关; ‎ ‎(Ⅱ)因样本20人中,对该公司产品满意的有6人,‎ 故估计用户对该公司的产品“满意”的概率为,‎ ‎(Ⅲ)由(Ⅰ)知,对该公司产品满意的用户有6人,其中男用户4人,女用户2人,‎ 设男用户分别为a,b,c,d;女用户分别为e,f, ‎ 从中任选两人,记事件A为“选取的两个人都是男用户或都是女用户”,则 总的基本事件为,,,,,‎ ‎,,,,‎ ‎,,,,,共15个, ‎ 而事件A包含的基本事件为,,,‎ ‎,,,共7个,‎ 故 ‎19．已知函数，‎ ‎（1）若函数的图像上有与轴平行的切线，求参数的取值范围；‎ ‎（2）若函数在处取得极值，且时，恒成立，求参数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对函数求导，由题意可知，当导函数等于零时，方程有实数解，求出参数的取值范围；‎ ‎（2）函数在处取得极值，可以求出的值，这样函数的单调性就确定了，可以求出在时的最大值，恒成立，只要满足，即可，这样可以求出参数的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1），依题意知，方程有实根，‎ 所以，得. 即参数的取值范围为．‎ ‎（2）由函数在处取得极值，知是方程的一个根，所以，方程的另一个根为. ‎ 因此，当或时，；‎ 当时，.‎ 所以在]和上为增函数，在上为减函数，‎ ‎∴有极大值.‎ 极小值，又，‎ ‎∴当时，.‎ ‎∵恒成立，∴.‎ ‎∴或.‎ 即参数的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导函数为零有实数解的问题.重点考查了不等式恒成立时，求参数的取值范围问题，解决问题的关键是利用导数，研究函数的单调性.‎ ‎20．如图，在三棱锥中，底面，，且，点是的中点，且交于点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）当时，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）证明线面垂直，一般利用线面垂直判定定理，即从线线垂直出发给予证明，而线线垂直的证明与寻找，往往从两个方面，一是利用线面垂直性质定理转化为线线垂直，另一是结合平几条件，如本题利用等腰三角形底边中线性质得（2）求三棱锥体积，关键在于确定高，即线面垂直.由（1）得平面，因此，这样只需在对应三角形中求出对应边即可.‎ 试题解析：（1）底面,面,又因为 是的中点,面由已知平面.‎ ‎(2)平面,平面,而,又又平面而 .‎ 考点：线面垂直判定与性质定理，三棱锥体积 ‎【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.‎ ‎(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.‎ ‎(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.‎ ‎(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.‎ ‎21．已知椭圆的离心率为，右焦点到直线的距离为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点作直线交椭圆于两点，交轴于点，满足，求直线的方程．‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设出右焦点的坐标，通过点到直线距离公式，可以求出的值，根据已知可知离心率，进而可以求出的值，利用，可以求出，最后求出椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设出直线交椭圆于两点的坐标，利用，可以求出两点纵坐标的关系，直线的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系，可以求出直线的斜率，进而求出直线的方程.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设右焦点为，则，或 （舍去）．‎ 又离心率，即，解得，则，‎ 故椭圆的方程为.‎ ‎（2）设，因， ‎ 所以，　①，‎ 易知当直线的斜率不存在或斜率为0时，①不成立，‎ 于是设的方程为，联立消去得，‎ 因为，所以直线与椭圆相交．‎ 于是　②，　③，‎ 由①②得，，代入③整理得.‎ 所以直线的方程是或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了通过已知的条件求出椭圆的标准方程.重点考查了直线与椭圆的关系，根据向量式，得到纵坐标的关系，根据根与系数的关系求出直线斜率的问题。‎ ‎22．已知函数 ‎⑴若函数在上单调递增，求实数的取值范围；‎ ‎⑵若（为自然对数的底数），证明：当时，‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对函数进行求导，由题意可知在上恒成立，‎ 即恒成立，构造新函数令，求导，研究新函数的单调性，求出新函数的最大值，这样就可以求出实数的取值范围；‎ ‎（2）当时，要证，即证. 又，只需证，即证. ，求导，研究它的单调性，求出它的最小值；设，求导，研究它的单调性，求出它的最大值，这样命题得证.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）【解】，因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，即恒成立. ‎ 令，则， 由，解得，‎ 故函数在上单调递增，在上单调递减，则， 即，所以的取值范围是. ‎ ‎（2）【证明】当时，要证，即证. ‎ 又，只需证，即证. ‎ 设，则，令，解得 故函数在上单调递减，在上单调递增，即，‎ 从而有. ‎ 设，则，令，解得， ‎ 故函数在上单调递增，在上单调递减， 即，‎ 从而有. ‎ 因为和不同时为0，所以，故原不等式成立.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数研究已知函数单调性，求参数问题.重点考查了利用导数研究函数的单调性，证明不等式恒成立问题.解决问题的重点是对已知的式子进行适当的变形、或者通过已知得到新的式子，构造新函数，利用新函数的单调性进行求解和证明.‎