数学理卷·2018届河北省秦皇岛市卢龙县高二下学期期末考试（2017-07）

数学理卷·2018届河北省秦皇岛市卢龙县高二下学期期末考试（2017-07）

‎2016—2017学年度第二学期期末质量检测 高 二 数 学（理科）‎ 注意：本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，卷Ⅰ由自己保存，只交卷Ⅱ。‎ 卷Ⅰ ‎ 一、选择题（每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）‎ ‎1、若复数(，为虚数单位)是纯虚数，则实数的值为( )‎ A B C D ‎ ‎2、、均为实数，则是的（ ）条件 A充要 B充分不必要 C必要不充分 D既不充分也不必要 ‎3、已知椭圆的标准方程为，则此椭圆的离心率为（ ）‎ A B C D ‎ ‎4、下列选项叙述错误的是（ ） ‎ A.命题“若，则”的逆否命题是“若，则”‎ B.若命题，则 C.若为真命题，则，均为真命题 D. 若命题为真命题，则的取值范围为 ‎5、某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为（ ）‎ A B C D ‎ ‎6、已知,若三个向量共面，则实数等于 A B C D ‎ ‎7、有人发现，多玩手机使人变冷漠，下表是一个调查机构对此现象的调查结果：‎ 冷漠 不冷漠 总计 多玩手机 ‎68‎ ‎42‎ ‎110‎ 少玩手机 ‎20‎ ‎38‎ ‎58‎ 总计 ‎88‎ ‎80‎ ‎168‎ P(K2＞k)‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.01‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.83‎ 通过计算求得，则认为多玩手机与人变冷漠有关系的把握大约为（ ）‎ A B C D ‎ ‎8、设曲线上任一点处的切线斜率为，则函数的部分图象可以为( )‎ ‎9、抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是(　　) ‎ A B C D ‎ ‎10、用数学归纳法证明时，从到，左边需增添的代数式是(　　)‎ A B C D ‎ ‎11、若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为(　　)‎ A B C D ‎ ‎12、在平面直角坐标系中，记抛物线与轴所围成的平面区域为，该抛物线与直线所围成的平面区域为，向区域内随机抛掷一点，若点落在区域内的概率为，则的值为(　　)‎ A B C D ‎ 总 分 ‎2016—2017学年度第二学期期末质量检测 高 二 数 学（理科）‎ 卷Ⅱ（解答题，共70分）‎ 题号 二 三 Ⅱ卷 总分 ‎13-16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ 得分 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。）‎ ‎13、已知随机变量ξ服从正态分布，且，则等于 .‎ ‎14、的展开式中的系数 .‎ ‎15、函数的单调递减区间是 .‎ ‎16、如图所示,在由二项式系数构成的杨辉三角形中,第( )行中从左至右第14个数与第15个数的比为2:3.‎ ‎ 第0行 1‎ ‎ 第1行 1 1‎ ‎ 第2行 1 2 1‎ ‎ 第3行 1 3 3 1‎ ‎ 第4行 1 4 6 4 1‎ ‎ 第5行 1 5 10 10 5 1‎ 三、解答题（本题有6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）‎ ‎17、（本题满分12分）已知抛物线的方程为，直线过点,斜率为，当为何值时，直线与抛物线：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点。‎ ‎18、（本题满分12分）已知 ‎ ‎(1)求函数的最大值；‎ ‎(2)设，且证明：‎ ‎19、（本题满分12分）在长方体中，，、、分别是棱，，的中点．‎ ‎(1)求证：∥平面；‎ ‎(2)求证：平面⊥平面 ‎20、（本题满分12分）为迎接‎6月6日的“全国爱眼日”，某高中学生会从全体学生中随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)，如图，若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”．‎ ‎(1)写出这组数据的众数和中位数；‎ ‎(2)从这16人中随机选取3人，求至少有2人是“好视力”的概率；‎ ‎(3)以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记X表示抽到“好视力”学生的人数，求X的分布列及数学期望．‎ ‎21、（本题满分12分）已知椭圆的一个焦点为,左右顶点分别为,，经过点的直线与椭圆交于,两点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）记与的面积分别为和，求的最大值.‎ 请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。‎ ‎22、（本题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)．在极坐标系(与直角坐标系取相同的单位长度，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴)中，圆的方程为.‎ ‎(1)求圆的直角坐标方程；‎ ‎(2)设圆与直线交于点，若点P的坐标为，求.‎ ‎23、（本题满分10分）设．‎ ‎（I）若，时，解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若，求的最小值.‎ ‎2017数学理科试题答案 一、选择题CDACB DACDD BA 二、填空题 ‎13、0.3 14、 1120 15、 16、34‎ ‎17、解：由题意，直线的方程为 …………………2分 由方程组 可得① …………………4分 ‎（1）当时，由方程①得，把代入得 这时直线与抛物线只有一个交点 …………………6分 ‎（2）当时，方程①的判别式为 由，即。解得或，方程①只有一个解，直线与抛物线只有一个交点；‎ 由，即解得，方程①只有一个解，直线与抛物线只有一个交点；‎ 由，即解得或，方程①只有一个解，直线与抛物线只有一个交点。‎ ‎ …………………10分 综上，，或时，直线与抛物线只有一个交点；当时，直线与抛物线有两个交点，当或时，直线与抛物线没有交点。 …………………12分 ‎18、 解：(1)f′(x)＝－xex. ……………………1分 当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增； ……………………2分 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减． ……………………3分 所以f(x)的最大值为f(0)＝0. ……………………4分 ‎ (2)证明：由(1)知，当x>0时，f(x)<0，g(x)<0<1. ……………………6分 当－1x. ……………………7分 设h(x)＝f(x)－x，则h′(x)＝－xex－1.‎ 当x∈(－1，0)时，0<－x<1，h(0)＝0，即g(x)<1.‎ 综上，总有g(x)<1成立． …………………12分 ‎ ‎19、如图所示，以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设BC＝1，‎ 则C(0,1,0)，E(1,0,1)，C1(0,1,2)，F(1,1,1)，E1.‎ ‎(1)设平面C1E‎1F的法向量n＝(x，y，z)．‎ ‎∵＝，＝(－1,0,1)，‎ ‎∴即 取n＝(1,2,1)．‎ ‎∵＝(1，－1,1)，n·＝1－2＋1＝0，∴⊥n.‎ 又∵CE⊄平面C1E‎1F，∴CE∥平面C1E‎1F. ……………………6分 ‎ (2)设平面EFC的法向量为m＝(a，b，c)，‎ 由＝(0,1,0)，＝(－1,0，－1)，‎ ‎∴即 取m＝(－1,0,1)．‎ ‎∵m·n＝1×(－1)＋2×0＋1×1＝－1＋1＝0，‎ ‎∴平面C1E‎1F⊥平面CEF. ……………………12分 ‎20、解：(1)由题意知众数为4.6和4.7，中位数为4.75. ……………………2分 ‎ (2)设(i＝0,1,2,3)表示所选3人中有i个人是“好视力”，至少有2人是“好视力”记为事件A，‎ 则 ……………………6分 ‎ (3)X的可能取值为0,1,2,3.‎ 由于该校人数很多，故X近似服从二项分布B(3，)．‎ ‎，，‎ ‎， ……………………10分 X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 故X的数学期望E(X)＝3×＝. ……………………12分 ‎21、解： (1)∵为椭圆的焦点，∴，又∵，∴‎ ‎∴椭圆的方程为……………………4分 ‎（2）设直线方程为 设，，由，得……………………6分 则，‎ ‎ ………………7分 ‎ …………………9分 当时，； …………………10分 当时，上式（时等号成立）‎ 所以的最大值是。 …………………12分 ‎22、解：(1)由ρ＝10cosθ得x2＋y2－10x＝0，即(x－5)2＋y2＝25. ……………………4分 ‎ (2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得(－3－t)2＋(6＋t)2＝25，即t2＋9t＋20＝0.‎ 由于Δ＝(9)2－4×20＝82>0，可设t1，t2是上述方程的两个实根．‎ 所以又直线l过点P(2，6)，‎ 可得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝(－t1)＋(－t2)＝－(t1＋t2)＝9. ……………………10分 ‎23、解：（Ⅰ）若a=1，f（x）=，‎ 由f（x）的单调性及f（﹣3）=f（2）=5，得f（x）≤5 的解集为{x|﹣3≤x≤2}．……………………5分 ‎（Ⅱ）f（x）=，‎ 当x∈（﹣∞，﹣2]时，f（x）单调递减；当x∈[，+∞）时，f（x）单调递增，‎ 又f（x）的图象连续不断，所以f（x）≥2，当且仅当f（﹣2）=‎2a+1≥2，且f（）=+2≥2，‎ 求得a≥，故a的最小值为． ……………………10分 ‎ ‎