2020届高三数学上学期第二次联考试题 文（含解析） 人教新目标版 新版

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‎2019届高三第二次联考试卷 文科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，‎ ‎∴‎ 故选：C 点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．‎ ‎2. 若复数（，为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（ ）‎ A. -6 B. -2 C. D. 6‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得，‎ ‎∵ 复数是纯虚数，‎ ‎∴，解得．选A．‎ ‎3. 已知向量的夹角为60°，且，则向量在向量方向上的投影为（ ）‎ A. -1 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵向量的夹角为60°，且，‎ ‎∴‎ ‎∴向量在向量方向上的投影为 故选：B - 17 -‎ ‎4. 在一组样本数据（，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）‎ A. -1 B. 0 C. D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由题设知,所有样本点（）都在直线上，则这组样本数据完全正相关,故这组样本数据的样本相关系数为,选D.‎ 考点：相关系数.‎ ‎5. 下列有关命题的说法正确的是（ ）‎ A. 命题“若，则”的否命题为“若，则”‎ B. “”是“”的必要不充分条件 C. 命题“，”的否定是“，”‎ D. 命题“若，则”的逆否命题为真命题 ‎【答案】D ‎【解析】对于选项A，原命题的否命题为“若，则”，故A不正确．‎ ‎..............................‎ 对于选项C，命题的否定是“，”，故C不正确．‎ 对于选项D，原命题为真命题，所以其逆否命题为真命题．故D正确．‎ 选D．‎ ‎6. 在正项等比数列中，若成等差数列，则的值为（ ）‎ A. 3或-1 B. 9或1 C. 3 D. 9‎ ‎【答案】C ‎【解析】设正项等比数列{an}的公比为q＞0，∵成等差数列，‎ ‎∴a3=2a2+3a1，‎ 化为，即q2﹣2q﹣3=0，解得q=3．‎ - 17 -‎ 则==q=3，‎ 故选：C．‎ ‎7. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）‎ A. 14 B. 15 C. 16 D. 17‎ ‎【答案】B ‎【解析】第一次循环： ，不满足；第二次循环： ，不满足；第三次循环： ，不满足；第一次循环： ，不满足； ；第十五次循环： ，满足； 。故选C。‎ ‎8. 函数的一部分图象如下图所示，则（ ）‎ A. 3 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由图形得，解得．‎ - 17 -‎ 又函数的周期，所以．‎ ‎∴．‎ 由题意得，点在函数的图象上，‎ ‎∴，即．‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴．选C．‎ 点睛：已知图象求函数解析式的方法 ‎（1）根据图象得到函数的最大值和最小值，由可求得．‎ ‎（2）根据图象得到函数的周期，再根据求得．‎ ‎（3）可根据代点法求解，代点时一般将最值点的坐标代入解析式；也可用“五点法”求解，用此法时需要先判断出“第一点”的位置，再结合图象中的点求出的值．‎ ‎9. 考虑以下数列，①；②；③.其中，满足性质“对任意的正整数，都成立”的数列的序号有（ ）‎ A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③‎ ‎【答案】C ‎【解析】①中，an+1=n2+3n+3 ,,‎ ‎②中,,an+1=2n+3,‎ ‎③中，,‎ 计算得 故选:C ‎10. 已知是两个数2,8的等比中项，则圆锥曲线的离心率为（ ）‎ - 17 -‎ A. 或 B. 或 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得，解得或．‎ 当时，曲线方程为，故离心率为；‎ 当时，曲线方程为，故离心率为．‎ 所以曲线的离心率为或．选B．‎ ‎11. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后入称之为三角形的欧拉线.已知的顶点，，，则的欧拉线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】线段AB的中点为M（1，2），kAB=﹣2，‎ ‎∴线段AB的垂直平分线为：y﹣2=（x﹣1），即x﹣2y+3=0．‎ ‎∵AC=BC，‎ ‎∴△ABC的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上，‎ 因此△ABC的欧拉线的方程为：x﹣2y+3=0．‎ 故选：D．‎ 点睛：本题考查了欧拉线的方程、等腰三角形的性质、三角形的外心重心垂心性质，考查了推理能力与计算能力，本题解题的关键是利用好欧拉线的几何性质实现几何问题的代数化.‎ ‎12. 设是定义在上的偶函数，，都有，且当时，，若函数（）在区间内恰有三个不同零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由可得函数的图象关于对称，即 - 17 -‎ 又函数是偶函数，则，‎ ‎∴，即函数的周期是4．‎ 当时，，此时，‎ 由得，令．‎ ‎∵函数（）在区间内恰有三个不同零点，‎ ‎∴函数和的图象在区间内有三个不同的公共点．‎ 作出函数的图象如图所示．‎ ‎①当时，函数为增函数，‎ 结合图象可得，要使两函数的图象有三个公共点，则需满足在点A处的函数值小于2，在点B处的函数值大于2，‎ 即，解得；‎ ‎ ②当时，函数为减函数，‎ 结合图象可得，要使两函数的图象有三个公共点，则需满足在点C处的函数值小于，在点B处的函数值大于，‎ 即，解得．‎ 综上可得实数的取值范围是．选A．‎ 点睛：对于已知函数零点个数（或方程根的个数）求参数的取值或范围时，一般转化为两函数的图象的公共点的个数的问题，利用数形结合的方法求解．‎ ‎（1）若分离参数后得到（为参数）的形式，则作出函数的图象后，根据直线和函数的图象的相对位置得到参数的取值范围．‎ ‎（2）若不能分离参数，则可由条件化为的形式，在同一坐标系内画出函数 - 17 -‎ 和函数的图象，根据两图象的相对位置关系得到参数的取值范围．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：,在直角坐标系内作出可行域如下图所示，由图可知，当目标函数经过点可行域内点时有最大值，即，当目标函数经过点可行域内点时有最小值，即，，所以的取值范围为.‎ 考点：1.线性规划；2.向量的坐标运算.‎ ‎【名师点睛】本题考查线性规划与向量的坐标运算，中档题.线性规划与向量是高考的必考内容，将两者融为一体，是本题的亮点；在解题时得用向量运算相关知识得到线性目标函数表达式，再利用线性规划知识求解，是解题的关键，体现了数学中的化归与转化思想，考查了数形结合思想与运算求解能力.‎ ‎14. 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作.其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是“以小斜冥并大斜冥减中斜冥，余半之，自乘于上，以小斜冥乘大斜冥减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写出公式，即若，则，现有周长为的满足，则用以上给出的公式求得 - 17 -‎ 的面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，‎ ‎∴，‎ 又的周长为，‎ ‎∴，‎ ‎∴．即的面积为．‎ 答案： ‎ ‎15. 已知四棱锥的顶点都在半径的球面上，底面是正方形，且底面经过球心，是的中点，底面，则该四棱锥的体积等于__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】画出如下图形，‎ 连接，则，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴． ‎ 答案：‎ - 17 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，‎ ‎∴6=|AF|+|BF|=|AF′|+|AF|=2a，∴a=3．‎ 取M（0，b），∵点到直线的距离不小于，∴，解得b≥1．‎ ‎∴e==≤=．‎ ‎∴椭圆E的离心率的取值范围是．‎ 故答案为：．‎ 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17. 在中，角的对边分别为，已知，.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）求.‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据正弦定理得到，故得到 - 17 -‎ ‎，已知正弦A，可求C的正弦。（2），根据三角形三个角的关系得到，代入已知三角函数值可求得，利用正弦定理得到。‎ 解：（1），，.‎ ‎，，，从而.‎ ‎（2），为锐角，，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎18. 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.‎ ‎（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式.‎ ‎（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：‎ ‎（1）假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；‎ ‎（2）若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率.‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)(1)76.4；(2)0.7.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；（2）①这100天的日利润的平均数，利用100天的销售量除以100即可得到结论；②当天的利润不少于75元，当且仅当日需求量不少于16枝，故可求当天的利润不少于75元的概率 试题解析：（1）当日需求量n≥17时，利润y＝85．‎ 当日需求量n<17时，利润y＝10n－85．‎ 所以y关于n的函数解析式为（n∈N）．‎ - 17 -‎ ‎（2）①这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，‎ ‎16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，‎ 所以这100天的日利润的平均数为×（55×10＋65×20＋75×16＋85×54）＝76．4．‎ ‎②利润不低于75元时日需求量不少于16枝，‎ 故当天的利润不少于75元的概率为p＝0．16＋0．16＋0．15＋0．13＋0．1＝0．7．…12分 考点：概率的应用；函数解析式的求解及常用方法；众数、中位数、平均数 视频 ‎19. 如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，.已知，.‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）若为上一点，记三棱锥的体积和四棱锥的体积分别为和，当时，求的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).‎ ‎【解析】试题分析：（1）连接AC交BD于O点，由BD⊥AC，BD⊥OP得出BD⊥平面PAC，故PC⊥BD；（2）由（1）知平面平面，过点作，交于，则平面，‎ ‎∴，分别是三棱锥和四棱锥的高.从而根据体积比得到长度比的值.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）证明：连接交于点 ‎∵，∴‎ 又∵是菱形，∴‎ 而，∴平面，且平面 ‎∴‎ - 17 -‎ ‎（Ⅱ）由条件可知：，∴‎ ‎∵，∴，∴‎ 由（Ⅰ）知，平面，平面，‎ ‎∴，∴平面，‎ ‎∴平面平面 过点作，交于，则平面，‎ ‎∴，∴分别是三棱锥和四棱锥的高.‎ 又，‎ 由，得，所以 又由 同时，，∴.‎ 点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 ‎(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．‎ ‎(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．‎ ‎(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．‎ ‎20. 设抛物线的准线与轴交于，以为焦点，离心率的椭圆与抛物线的一个交点为；自引直线交抛物线于两个不同的点，设.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程和椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若，求的取值范围.‎ - 17 -‎ ‎【答案】(Ⅰ)椭圆的方程为，抛物线的方程是：.(Ⅱ).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为，根据椭圆上的点及离心率可得关于的方程组，求得可得椭圆的方程；根据椭圆的焦点坐标可得，进而可得抛物线方程．(Ⅱ)设出直线的方程，与椭圆方程联立消元后根据根与系数的关系及弦长公式可得，再根据的范围，利用函数的有关知识求得的范围即可．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，‎ 由题意得，解得，‎ ‎∴椭圆的方程为，‎ ‎∴点的坐标为,‎ ‎∴,‎ ‎∴抛物线的方程是.‎ ‎（Ⅱ）由题意得直线的斜率存在，设其方程为，‎ 由消去x整理得（*）‎ ‎∵直线与抛物线交于两点，‎ ‎∴．‎ 设，，‎ 则①，②．‎ ‎∵，,‎ ‎∴‎ ‎∴．③‎ 由①②③消去得：．‎ - 17 -‎ ‎∴ ‎ ‎，即，‎ 将代入上式得 ‎，‎ ‎∵单调递减，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 即的求值范围为．‎ 点睛：圆锥曲线中的最值与范围问题是高考中的常考题型，常与不等式、函数等知识结合在一起，涉及的知识点较多、难度较大．解题时可先建立关于某个参数的目标函数，再求这个函数的最值，常用的方法有以下几个：‎ ‎①利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；‎ ‎②利用基本不等式求出参数的取值范围；‎ ‎③利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若，对于任意，都有恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ).‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出，分三种情况讨论，分别令求得 的范围，可得函数增区间，求得 的范围，可得函数的减区间；（2）由（1）知， ‎ - 17 -‎ 所以，，恒成立，即恒成立，即恒成立，利用导数研究函数的单调性，求出的最大值，即可得结果.‎ 试题解析：（1）‎ ‎①若，则在，上单调递增，在上单调递减；‎ ‎②，则在上单调递增；‎ ‎③若，则在，上单调递增，在上单调递减；‎ ‎（2）由1知，当时，在上单调递增，在单调递减，‎ 所以，，‎ 故 ，‎ 恒成立，‎ 即恒成立 即恒成立，‎ 令，‎ 易知在其定义域上有最大值，‎ 所以 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22. 已知曲线的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（为参数）.‎ ‎（Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与曲线相交于两点，且，求直线的倾斜角的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)或.‎ ‎【解析】试题分析：‎ 本题（1）可以利用极坐标与直角坐标 - 17 -‎ ‎ 互化的化式，求出曲线C的直角坐标方程；（2）先将直l的参数方程是（是参数）化成普通方程，再求出弦心距，利用勾股定理求出弦长，也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解，求出对应的参数 的关系式，利用，得到的三角方程，解方程得到的值，要注意角范围．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由得．‎ ‎∵，,，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为，‎ ‎ 即；‎ ‎（2）将代入圆的方程得.‎ 化简得．‎ 设两点对应的参数分别为，则 ‎∴ , ‎ ‎ .‎ ‎∴, ‎ ‎∵∴或．‎ ‎23. 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若，解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).‎ ‎【解析】试题分析：（1）通过讨论 的范围，得到关于 的不等式组，解出取并集即可； （2）由题意知这是一个存在性的问题，须求出不等式左边的最大值，可运用绝对值不等式的性质可得最大值；若存在实数，使得不等式成立，则，由此即可解出实数 的取值范围．‎ 试题解析：‎ ‎(1)不等式，化为，‎ 则或或，‎ - 17 -‎ 解得，‎ ‎∴不等式的解集为；‎ ‎(2)不等式等价于，‎ 即，又，‎ 若存在实数，使得不等式成立，‎ 则，解得，‎ ‎∴实数的取值范围是．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ - 17 -‎