数学卷·2018届江苏省淮安市淮阴师院附中高二上学期期中数学试卷（文化班） （解析版）

数学卷·2018届江苏省淮安市淮阴师院附中高二上学期期中数学试卷（文化班） （解析版）

‎2016-2017学年江苏省淮安市淮阴师院附中高二（上）期中数学试卷（文化班）‎ ‎　‎ 一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题纸相应位置上.‎ ‎1．过点P（﹣2，m）和Q（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为 　　．‎ ‎2．圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0的圆心坐标为　　．‎ ‎3．过点M（3，2）且倾斜角为135°的直线方程为　　．‎ ‎4．以椭圆=1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为　　．‎ ‎5．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题：‎ ‎①若l∥α，m⊂α，则l∥m； ‎ ‎②若l⊂α，l∥β，α∩β=m，则l∥m；‎ ‎③若l∥m，m⊂α，则l∥α； ‎ ‎④若l⊥α，m∥α，则l⊥m．‎ 其中真命题是　　（写出所有真命题的序号）．‎ ‎6．若三点A（2，2），B（a，0），C（0，b）（ab≠0）共线，则的值等于　　．‎ ‎7．空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，那么这个球面的面积是　　．‎ ‎8．已知直线l1：A1x+B1y=1和l2：A2x+B2y=1相交于点P（2，3），则过点P1（A1，B1）、P2（A2，B2）的直线方程为　　．‎ ‎9．已知直线x﹣2y+2k=0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，则实数k的取值范围是　　．‎ ‎10．过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程为　　．‎ ‎11．若两直线x﹣2y+5=0与2x+my﹣5=0互相平行，则实数m=　　．‎ ‎12．如图，A、B、C分别为椭圆（a＞b＞0）的顶点和焦点，若∠ABC=90°，则该椭圆的离心率为　　．‎ ‎13．已知椭圆C： +=1和直线l：y=mx+1，若对任意的m∈R，直线l与椭圆C恒有公共点，则实数b的取值范围是　　．‎ ‎14．若方程=x+2有两个不同的实数根，则实数a的取值范围为　　．‎ ‎　‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．根据下列条件，求圆的方程：‎ ‎（1）经过A（6，5）、B（0，1）两点，并且圆心C在直线3x+10y+9=0上；‎ ‎（2）经过P（﹣2，4）、Q（3，﹣1）两点，并且在x轴上截得的弦长等于6．‎ ‎16．如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：AC⊥PB；‎ ‎（Ⅱ）求证：PB∥平面AEC．‎ ‎17．设椭圆的左焦点为F，上顶点为A，过点A且与AF垂直的光线经椭圆的右准线反射，反射光线与直线AF平行．‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）设入射光线与右准线的交点为B，过A，B，F三点的圆恰好与直线3x﹣y+3=0相切，求椭圆的方程．‎ ‎18．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0．‎ ‎（1）求证：直线l过定点；‎ ‎（2）判断该定点与圆的位置关系；‎ ‎（3）当m为何值时，直线l被圆C截得的弦最长．‎ ‎19．如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，DM=2．‎ ‎（1）求证：OM∥平面ABD；‎ ‎（2）求证：平面DOM⊥平面ABC；‎ ‎（3）求三棱锥B﹣DOM的体积．‎ ‎20．已知椭圆C：x2+3y2=3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M．‎ ‎（1）求椭圆C的离心率；‎ ‎（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；‎ ‎（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江苏省淮安市淮阴师院附中高二（上）期中数学试卷（文化班）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题纸相应位置上.‎ ‎1．过点P（﹣2，m）和Q（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为 　1　．‎ ‎【考点】斜率的计算公式．‎ ‎【分析】首先分析题意，直线过（﹣2，m）和Q（m，4）两点，故写出过两个点的直线斜率，令其等于1．解出m的值即可．‎ ‎【解答】解：过点P（﹣2，m）和Q（m，4）的直线斜率为1‎ ‎∴‎ 解得：m=1‎ 故答案为：1‎ ‎　‎ ‎2．圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0的圆心坐标为　（2，2）　．‎ ‎【考点】圆的一般方程．‎ ‎【分析】由方程x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0可得（x﹣2）2+（y﹣2）2=18，即可得到圆心的坐标．‎ ‎【解答】解：由方程x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0可得（x﹣2）2+（y﹣2）2=18，‎ ‎∴圆心坐标为（2，2）．‎ 故答案为：（2，2）‎ ‎　‎ ‎3．过点M（3，2）且倾斜角为135°的直线方程为　x+y﹣5=0　．‎ ‎【考点】直线的点斜式方程．‎ ‎【分析】根据倾斜角为135°的直线的斜率为﹣1，用点斜式求直线方程，并化为一般式．‎ ‎【解答】解：倾斜角为135°的直线的斜率为﹣1，‎ 故直线方程为 y﹣2=﹣1（x﹣3），即 x+y﹣5=0，‎ 故答案为 x+y﹣5=0．‎ ‎　‎ ‎4．以椭圆=1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】通过椭圆的焦点、顶点坐标可知双曲线的a=、c=2，进而计算可得结论．‎ ‎【解答】解：∵椭圆方程为： =1，‎ ‎∴其焦点坐标为：（﹣，0）、（，0），‎ 顶点坐标为：（﹣2，0）、（2，0），‎ ‎∴双曲线的焦点坐标为：（﹣2，0）、（2，0），‎ 顶点坐标为：（﹣，0）、（，0），‎ ‎∴双曲线方程：中a=、c=2，‎ ‎∴b2=c2﹣a2=8﹣3=5，‎ ‎∴双曲线方程：，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎5．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题：‎ ‎①若l∥α，m⊂α，则l∥m； ‎ ‎②若l⊂α，l∥β，α∩β=m，则l∥m；‎ ‎③若l∥m，m⊂α，则l∥α； ‎ ‎④若l⊥α，m∥α，则l⊥m．‎ 其中真命题是　②④　（写出所有真命题的序号）．‎ ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．‎ ‎【解答】解：①若l∥α，m⊂α，则l与m平行或异面，故①错误； ‎ ‎②若l⊂α，l∥β，α∩β=m，‎ 则由直线与平面平行的性质得l∥m，故②正确；‎ ‎③若l∥m，m⊂α，则l∥α或l⊂α，故③错误； ‎ ‎④若l⊥α，m∥α，则由直线与平面垂直的性质得l⊥m，故④正确．‎ 故答案为：②④．‎ ‎　‎ ‎6．若三点A（2，2），B（a，0），C（0，b）（ab≠0）共线，则的值等于　　．‎ ‎【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的坐标运算．‎ ‎【分析】三点共线得两向量共线，用两向量共线的坐标公式列方程求解．‎ ‎【解答】解：，，‎ 依题意知，‎ 有（a﹣2）•（b﹣2）﹣4=0‎ 即ab﹣2a﹣2b=0，变形为ab=2（a+b），‎ 所以==‎ 故答案为 ‎　‎ ‎7．空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，那么这个球面的面积是　3πa2　．‎ ‎【考点】球内接多面体．‎ ‎【分析】PA、PB、PC可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱，所以过空间四个点P、A、B、C的球面即为棱长为a的正方体的外接球，球的直径即是正方体的对角线，求出对角线长，即可求出球的表面积．‎ ‎【解答】解：空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，则PA、PB、PC可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱，所以过空间四个点P、A、B、C的球面即为棱长为a的正方体的外接球，球的直径即是正方体的对角线，长为，所以这个球面的面积．‎ 故答案为：3πa2‎ ‎　‎ ‎8．已知直线l1：A1x+B1y=1和l2：A2x+B2y=1相交于点P（2，3），则过点P1（A1，B1）、P2（A2，B2）的直线方程为　2x+3y﹣1=0　．‎ ‎【考点】直线的一般式方程；两条直线的交点坐标．‎ ‎【分析】由两条直线交点坐标分别代入两条直线得到关于A1，B1和A2，B2的关系式，通过观察归纳总结出直线方程即可．‎ ‎【解答】解：∵直线l1和直线l2交于P（2，3），‎ ‎∴把P（2，3）代入两直线得：2A1+3B1=1；2A2+3B2=1；‎ 通过观察得到：过点P1（A1，B1）、P2（A2，B2）的直线方程为2x+3y=1即2x+3y﹣1=0‎ 故答案为2x+3y﹣1=0‎ ‎　‎ ‎9．已知直线x﹣2y+2k=0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，则实数k的取值范围是　﹣1≤k≤1且k≠0．　．‎ ‎【考点】直线的一般式方程．‎ ‎【分析】先求出直线在两坐标轴上的截距，把三角形的面积表示出来，再根据其面积不大于1，建立关于k的不等式求解，注意去掉k=0时的情况．‎ ‎【解答】解：令x=0，得y=k；令y=0，得x=﹣2k．‎ ‎∴三角形面积S=|xy|=k2．‎ 又S≤1，即k2≤1，‎ ‎∴﹣1≤k≤1．‎ 又当k=0时，直线过原点构不成三角形，故应舍去，‎ 故答案为：﹣1≤k≤1且k≠0．‎ ‎　‎ ‎10．过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程为　x+y﹣5=0，或3x﹣2y=0　．‎ ‎【考点】直线的截距式方程．‎ ‎【分析】分直线的截距不为0和为0两种情况，用待定系数法求直线方程即可．‎ ‎【解答】解：若直线的截距不为0，可设为，把P（2，3）代入，得，，a=5，直线方程为x+y﹣5=0‎ 若直线的截距为0，可设为y=kx，把P（2，3）代入，得3=2k，k=，直线方程为3x﹣2y=0‎ ‎∴所求直线方程为x+y﹣5=0，或3x﹣2y=0‎ 故答案为x+y﹣5=0，或3x﹣2y=0‎ ‎　‎ ‎11．若两直线x﹣2y+5=0与2x+my﹣5=0互相平行，则实数m=　﹣4　．‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．‎ ‎【分析】由直线平行的充要条件列出方程，解之可得答案．‎ ‎【解答】解：∵两直线x﹣2y+5=0与2x+my﹣5=0互相平行，‎ ‎∴m+2×2=0，解得m=﹣4，‎ 故答案为：﹣4．‎ ‎　‎ ‎12．如图，A、B、C分别为椭圆（a＞b＞0）的顶点和焦点，若∠ABC=90°，则该椭圆的离心率为　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】根据题意，在Rt△ABC中得BO2=OC•OA，化成关于a、b、c的方程，结合b2=a2﹣c2和离心率公式，转化成关于离心率e的方程，解之即可得到该椭圆的离心率．‎ ‎【解答】解：∵Rt△ABC中，OC=c，OA=a，OB=b，且OB⊥AC ‎∴BO2=OC•OA，即b2=ac 结合b2=a2﹣c2，得a2﹣c2=ac，即c2+ac﹣a2=0‎ 两边都除以a2，得e2+e﹣1=0，解之得e=（舍负）‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎13．已知椭圆C： +=1和直线l：y=mx+1，若对任意的m∈R，直线l与椭圆C恒有公共点，则实数b的取值范围是　[1，4）∪（4，+∞）　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由已知直线过定点（0，1），可得（0，1）在椭圆内部或在椭圆上，然后分类讨论得答案．‎ ‎【解答】解：∵直线l：y=mx+1恒过定点（0，1），‎ ‎∴要使直线l与椭圆C恒有公共点，‎ 则（0，1）在椭圆内部或在椭圆上，‎ 若椭圆C： +=1是焦点在x轴上的椭圆，则1≤b＜4；‎ 若椭圆C： +=1是焦点在y轴上的椭圆，则b＞4．‎ ‎∴实数b的取值范围是：[1，4）∪（4，+∞）．‎ 故答案为：[1，4）∪（4，+∞）．‎ ‎　‎ ‎14．若方程=x+2有两个不同的实数根，则实数a的取值范围为　2﹣＜a≤1　．‎ ‎【考点】函数的零点与方程根的关系．‎ ‎【分析】由题意得，函数y=与函数y=x+2 有两个不同的交点，结合图象得出结果．‎ ‎【解答】解：方程=x+2有两个不同的实数解，即函数y=与函数y=x+2 有两个不同的交点．‎ y=的图象过圆心在（﹣a，0）半径为1的半圆，直线y=x+2 的图象斜率为1的直线，如图所示：‎ 当圆过（﹣2，0）时，，解得a=﹣1（﹣3舍去），‎ 当圆与直线相切时圆心（﹣a，0）到直线的距离为1，即1=，解得a=2﹣，（2+舍去）；‎ 所以2﹣＜a≤1；‎ 故答案为：2﹣＜a≤1．‎ ‎　‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．根据下列条件，求圆的方程：‎ ‎（1）经过A（6，5）、B（0，1）两点，并且圆心C在直线3x+10y+9=0上；‎ ‎（2）经过P（﹣2，4）、Q（3，﹣1）两点，并且在x轴上截得的弦长等于6．‎ ‎【考点】圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）求出AB的中垂线方程，联立方程组，即可求出圆心坐标，利用两点间距离公式求出半径，从而得到所求的圆的方程．‎ ‎（2）求出线段PQ的垂直平分线为y=x+1，设圆心C的坐标为（a，a+1），求出半径r的表达式，利用圆心C到x轴的距离为d=|a+1|，由题意得32+d2=r2，解得a，求出圆的方程即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵AB的中垂线方程为：3x+2y﹣15=0，由，解得，‎ 圆心坐标为C（7，﹣3），BC=‎ 故所求的圆的方程为 （x﹣7）2+（y+3）2=65．‎ ‎（2）因为线段PQ的垂直平分线为y=x+1，‎ 所以设圆心C的坐标为（a，a+1），‎ 半径r=|PC|==，圆心C到x轴的距离为d=|a+1|，‎ 由题意得32+d2=r2，即32+（a+1）2=2a2﹣2a+13，‎ 整理得a2﹣4a+3=0，解得a=1或a=3．‎ 当a=1时，圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=13； ‎ 当a=3时，圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=25．‎ 综上得，所求的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=13或（x﹣3）2+（y﹣4）2=25．‎ ‎　‎ ‎16．如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：AC⊥PB；‎ ‎（Ⅱ）求证：PB∥平面AEC．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由已知得AC⊥AB，AC⊥PA，从而AC⊥平面PAB，由此能证明AC⊥PB．‎ ‎（Ⅱ）连接BD，与AC相交于O，连接EO，由已知得EO∥PB，由此能证明PB∥平面AEC．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：∵在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，‎ AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，‎ ‎∴AC⊥AB，AC⊥PA，‎ 又AB∩PA=A，∴AC⊥平面PAB，‎ ‎∵PB⊂平面PAB，∴AC⊥PB．‎ ‎（Ⅱ）证明：连接BD，与AC相交于O，连接EO，‎ ‎∵ABCD是平行四边形，‎ ‎∴O是BD的中点，又E是PD的中点，‎ ‎∴EO∥PB，‎ 又PB不包含于平面AEC，EO⊂平面AEC，‎ ‎∴PB∥平面AEC．‎ ‎　‎ ‎17．设椭圆的左焦点为F，上顶点为A，过点A且与AF垂直的光线经椭圆的右准线反射，反射光线与直线AF平行．‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）设入射光线与右准线的交点为B，过A，B，F三点的圆恰好与直线3x﹣y+3=0相切，求椭圆的方程．‎ ‎【考点】圆与圆锥曲线的综合；圆的切线方程；椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）因为入射光线与反射光线垂直，所以入射光线与准线所成的角为45°，由此能求出椭圆的离心率．‎ ‎（2）由，得A（0，c），B（2c，﹣c），由AF⊥AB，知过A，B，F三点的圆的圆心坐标为，半径，由此能够求出椭圆的方程．‎ ‎【解答】解：（1）因为入射光线与反射光线垂直，‎ 所以入射光线与准线所成的角为45°，…‎ 即∠FAO=45°，‎ 所以b=c，‎ 所以椭圆的离心率为． …‎ ‎（2）由（1）知，‎ 可得A（0，c），B（2c，﹣c），又AF⊥AB，‎ 所以过A，B，F三点的圆的圆心坐标为，‎ 半径，…‎ 因为过A，B，F三点的圆恰好与直线3x﹣y+3=0相切，…‎ 所以圆心到直线3x﹣y+3=0的距离等于半径r ‎，即，‎ 得c=1，…‎ 所以，‎ 所以椭圆的方程为． …‎ ‎　‎ ‎18．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0．‎ ‎（1）求证：直线l过定点；‎ ‎（2）判断该定点与圆的位置关系；‎ ‎（3）当m为何值时，直线l被圆C截得的弦最长．‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】（1）由题意可知：m（2x+y﹣7）+（x+y﹣4）=0，则，即可求得D点坐标，直线l过定点；‎ ‎（2）由D（3，1）坐标代入圆C的方程，得左边=（3﹣1）2+（1﹣2）2=5＜25=右边，点D（3，1）在圆C内；‎ ‎（3）当直线l经过圆心C（1，2）时，被截得的弦最长，可知直线l的斜率kl=kCD，由kl=﹣，则kCD==﹣，即可求得m的值．‎ ‎【解答】解：（1）证明：将直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，‎ 整理得：m（2x+y﹣7）+（x+y﹣4）=0，‎ 由于m的任意性，则，解得，‎ ‎∴直线l恒过定点D（3，1）；‎ ‎（2）把点D（3，1）坐标代入圆C的方程，得左边=（3﹣1）2+（1﹣2）2=5＜25=右边，‎ ‎∴点D（3，1）在圆C内；‎ ‎（3）当直线l经过圆心C（1，2）时，被截得的弦最长（等于圆的直径长），‎ 此时，直线l的斜率kl=kCD，‎ 由直线l的方程得kl=﹣，‎ 由点C、D的坐标得kCD==﹣，‎ ‎∴﹣=﹣，解得：m=﹣，‎ 所以，当m=﹣，时，直线l被圆C截得的弦最长．‎ ‎　‎ ‎19．如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，DM=2．‎ ‎（1）求证：OM∥平面ABD；‎ ‎（2）求证：平面DOM⊥平面ABC；‎ ‎（3）求三棱锥B﹣DOM的体积．‎ ‎【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）利用三角形中位线定理，证出OM∥AB，结合线面平行判定定理，即可证出OM∥平面ABD．‎ ‎（2）根据题中数据，算出DO=BD=2，OM=AB=2，从而得到OD2+OM2=8=DM2，可得OD⊥OM．结合OD⊥AC利用线面垂直的判定定理，证出OD⊥平面ABC，从而证出平面DOM⊥平面ABC．‎ ‎（3）由（2）得到OD为三棱锥D﹣BOM的高．算出△BOM的面积，利用锥体体积公式算出三棱锥D﹣BOM的体积，即可得到三棱锥B﹣DOM的体积．‎ ‎【解答】解：（1）∵O为AC的中点，M为BC的中点，∴OM∥AB．‎ 又∵OM⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，‎ ‎∴OM∥平面ABD．‎ ‎（2）∵在菱形ABCD中，OD⊥AC，∴在三棱锥B﹣ACD中，OD⊥AC．‎ 在菱形ABCD中，AB=AD=4，∠BAD=60°，可得BD=4．‎ ‎∵O为BD的中点，∴DO=BD=2．‎ ‎∵O为AC的中点，M为BC的中点，∴OM=AB=2．‎ 因此，OD2+OM2=8=DM2，可得OD⊥OM．‎ ‎∵AC、OM是平面ABC内的相交直线，‎ ‎∴OD⊥平面ABC．‎ ‎∵OD⊂平面DOM，‎ ‎∴平面DOM⊥平面ABC．‎ ‎（3）由（2）得，OD⊥平面BOM，所以OD是三棱锥D﹣BOM的高．‎ 由OD=2，S△BOM=×OB×BM×sin60°=，‎ 所以VB﹣DOM=VD﹣BOM=S△BOM=×DO=×=．‎ ‎　‎ ‎20．已知椭圆C：x2+3y2=3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M．‎ ‎（1）求椭圆C的离心率；‎ ‎（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；‎ ‎（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）通过将椭圆C的方程化成标准方程，利用离心率计算公式即得结论；‎ ‎（2）通过令直线AE的方程中x=3，得点M坐标，即得直线BM的斜率；‎ ‎（3）分直线AB的斜率不存在与存在两种情况讨论，利用韦达定理，计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵椭圆C：x2+3y2=3，‎ ‎∴椭圆C的标准方程为： +y2=1，‎ ‎∴a=，b=1，c=，‎ ‎∴椭圆C的离心率e==；‎ ‎（2）∵AB过点D（1，0）且垂直于x轴，‎ ‎∴可设A（1，y1），B（1，﹣y1），‎ ‎∵E（2，1），∴直线AE的方程为：y﹣1=（1﹣y1）（x﹣2），‎ 令x=3，得M（3，2﹣y1），‎ ‎∴直线BM的斜率kBM==1；‎ ‎（3）结论：直线BM与直线DE平行．‎ 证明如下：‎ 当直线AB的斜率不存在时，由（2）知kBM=1，‎ 又∵直线DE的斜率kDE==1，∴BM∥DE；‎ 当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣1）（k≠1），‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则直线AE的方程为y﹣1=（x﹣2），‎ 令x=3，则点M（3，），‎ ‎∴直线BM的斜率kBM=，‎ 联立，得（1+3k2）x2﹣6k2x+3k2﹣3=0，‎ 由韦达定理，得x1+x2=，x1x2=，‎ ‎∵kBM﹣1=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=0，‎ ‎∴kBM=1=kDE，即BM∥DE；‎ 综上所述，直线BM与直线DE平行．‎ ‎　‎