专题37+直线与圆、圆与圆的位置关系（题型专练）-2019年高考数学（理）热点题型和提分秘籍

专题37+直线与圆、圆与圆的位置关系（题型专练）-2019年高考数学（理）热点题型和提分秘籍

‎1．过点P(－，－ 1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎2．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝(　　)‎ A．21 B．19‎ C．9 D．－11‎ ‎【答案】C ‎【解析】圆C1的圆心是原点(0,0)，半径r1＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，圆心C2(3,4)，半径r2＝，由两圆相外切，得|C1C2|＝r1＋r2＝1＋＝5，所以m＝9。‎ ‎3．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是(　　)‎ A．－2 B．－4‎ C．－6 D．－8‎ ‎【答案】B ‎【解析】圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，圆心C(－1,1)，半径r满足r2＝2－a，则圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝。所以r2＝4＋2＝2－a⇒a＝－4。‎ ‎4．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m＞0)。若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为(　　)‎ A．7 B．6‎ C．5 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为圆C的圆心为(3,4)，半径为1，|OC|＝5，所以以原点为圆心、以m为半径与圆C有公共点的最大圆的半径为6，所以m的最大值为6，故选B。‎ ‎5．若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是(　　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．6‎ ‎【答案】C ‎6．设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是(　　)‎ A． [－1,1] B. C．[－，] D. ‎【答案】A ‎【解析】当点M的坐标为(1,1)时，圆上存在点N(1,0)，使得∠OMN＝45°，所以x0＝1符合题意，故排除B，D；当点M的坐标为(，1)时，OM＝，过点M作圆O的一条切线MN′，连接ON′，则在Rt△OMN′中，sin∠OMN′＝＜，则∠OMN′＜45°，故此时在圆O上不存在点N，使得∠OMN＝45°，即x0＝不符合题意，排除C，故选A。 ‎ ‎7．若a，b是正数，直线2ax＋by－2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为2，则t＝a取得最大值时a的值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎【解析】由已知可得圆心(0,0)到直线2ax＋by－2＝0的距离d＝，‎ 则直线被圆截得的弦长为2＝2，‎ 化简得4a2＋b2＝4.‎ ‎∴t＝a＝·(2a)· ‎≤[(2a)2＋()2]‎ ‎＝(8a2＋2b2＋1)＝，‎ 当且仅当时等号成立，即t取最大值，此时a＝(舍负值)．故选D.‎ ‎8．曲线y＝的一条切线l与直线y＝x，y轴围成的三角形记为△OAB，则△OAB外接圆面积的最小值为(　　)‎ A．8π B．8(3－)π C．16(－1)π D．16(2－)π ‎【答案】C ‎【解析】y′＝，设直线l与曲线的切点坐标为(x0，y0)，则直线l的方程为y－＝·(x－x0)，即y＝x＋.不妨设直线l与直线y＝x的交点为A，与y轴的交点为B，可求得A(2x0，2x0)，B.‎ ‎9．已知直线l：(m＋2)x＋(m－1)y＋4－4m＝0上总存在点M，使得过M点作的圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0的两条切线互相垂直，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．m≤1或m≥2 B．2≤m≤8‎ C．－2≤m≤10 D．m≤－2或m≥8‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图，设切点分别为A，B.连接AC，BC，MC，由∠AMB＝∠MAC＝∠MBC＝90°及MA＝MB知，四边形MACB为正方形，故|MC|＝＝2，若直线l上总存在点M使得过点M的两条切线互相垂直，只需圆心(－1,2)到直线l的距离d＝≤2，即m2－8m－20≤0，∴－2≤m≤10，故选C.‎ ‎10．过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为(　　)‎ A．y＝－ B．y＝－ C．y＝－ D．y＝－ ‎【答案】B ‎【解析】圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1,0)，半径为1，以|PC|＝ ‎＝2为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－.‎ ‎11．已知点P(a，b)(ab≠0)是圆x2＋y2＝r2内的一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，直线l的方程为ax＋by＝r2，那么(　　)‎ A．m∥l，且l与圆相交 B．m⊥l，且l与圆相切 C．m∥l，且l与圆相离 D．m⊥l，且l与圆相离 ‎【答案】C ‎12．已知圆C的方程为x2＋y2＝1，直线l的方程为x＋y＝2，过圆C上任意一点P作与l夹角为45°的直线交l于点A，则|PA|的最小值为(　　)‎ A. B．1‎ C.－1 D．2－ ‎【答案】D ‎【解析】方法一　由题意可知，直线PA与坐标轴平行或重合，不妨设直线PA与y轴平行或重合，‎ 设P(cos α，sin α)，则A(cos α，2－cos α)，‎ ‎∴|PA|＝|2－cos α－sin α|＝， ‎ ‎∴|PA|的最小值为2－，故选D.‎ 方法二　由题意可知圆心(0,0)到直线x＋y＝2的距离d＝＝，∴圆C上一点到直线x＋y＝2的距离的最小值为－1.由题意可得|PA|min＝(－1)＝2－，故选D.‎ ‎13．已知动直线l与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，且满足|AB|＝2，点C为直线l上一点，且满足＝，若M是线段AB的中点，则·的值为(　　)‎ A．3 B．2 C．2 D．－3‎ ‎【答案】A ‎【解析】动直线l与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，且满足|AB|＝2，则△OAB为等边三角形，于是可设动直线l的方程为y＝(x＋2)，根据题意可得B(－2,0)，A(－1，)，∵M是线段AB的中点，‎ ‎14．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是________．‎ ‎【答案】3－5‎ ‎【解析】把圆C1、圆C2的方程都化成标准形式，得 ‎(x－4)2＋(y－2)2＝9，(x＋2)2＋(y＋1)2＝4.‎ 圆C1的圆心坐标是(4,2)，半径是3；‎ 圆C2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2.‎ 圆心距d＝＝3.‎ 所以|PQ|的最小值是3－5.‎ ‎15．在平面直角坐标系xOy中，已知(x1－2)2＋y＝5，x2－2y2＋4＝0，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为______．‎ ‎【答案】 ‎【解析】由已知得点(x1，y1)在圆(x－2)2＋y2＝5上，点(x2，y2)在直线x－2y＋4＝0上，故(x1－x2)2＋(y1－y2)2表示(x－2)2＋y2＝5上的点和直线x－2y＋4＝0上点的距离的平方，而距离的最小值为－＝，故(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为.‎ ‎16．圆心在直线x－2y＝0上的圆 C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为__________。‎ ‎【答案】(x－2)2＋(y－1)2＝4‎ ‎【解析】依题意，设圆心的坐标为(2b，b)(其中b＞0)，则圆C的半径为2b，圆心到x轴的距离为b，所以2＝2，b＞0，解得b＝1，故所求圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4。‎ ‎17．已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为__________。‎ ‎【答案】0或6‎ ‎【解析】圆C：x2＋y2＋2x－4y－4＝0的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝9，所以圆心为C(－1,2)，半径为3.因为AC⊥BC，所以圆心C到直线x－y＋a＝0的距离为，即＝，所以a＝0或6。‎ ‎18．已知圆O：x2＋y2＝1和点A(－2,0)，若定点B(b,0)(b≠－2)和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|＝λ|MA|，则 ‎ ‎(1)b＝__________；‎ ‎(2)λ＝__________。‎ ‎【答案】－　 ‎19．已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0。‎ ‎(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；‎ ‎(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2时，求直线l的方程。‎ ‎【解析】将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0化成标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2。‎ ‎20．已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点。‎ ‎(1)若Q(1,0)，求切线QA，QB的方程；‎ ‎(2)求四边形QAMB面积的最小值；‎ ‎(3)若|AB|＝，求直线MQ的方程。‎ ‎【解析】(1)设过点Q的圆M的切线方程为x＝my＋1，‎ 则圆心M到切线的距离为1，‎ ‎∴＝1，∴m＝－或0，‎ ‎∴QA，QB的方程分别为3x＋4y－3＝0和x＝1。‎ ‎(2)∵MA⊥AQ，∴S四边形MAQB＝|MA|·|QA|＝|QA|＝＝≥＝。‎ ‎∴四边形QAMB面积的最小值为。‎ ‎(3)设AB与MQ交于P，‎ 则MP⊥AB，MB⊥BQ，∴|MP|＝＝。‎ 在Rt△MBQ中，|MB|2＝|MP||MQ|，‎ 即1＝|MQ|，‎ ‎∴|MQ|＝3，∴x2＋(y－2)2＝9.设Q(x,0)，‎ 则x2＋22＝9，∴x＝±，∴Q(±，0)，‎ ‎∴MQ的方程为2x＋y－2＝0或 ‎2x－y＋2＝0。‎ ‎21．已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点。 ‎ ‎(1)求M的轨迹方程；‎ ‎(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积。‎ ‎22．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M.‎ ‎(1)若点P运动到(1,3)处，求此时切线l的方程；‎ ‎(2)求满足条件|PM|＝|PO|的点P的轨迹方程．‎ 解　把圆C的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，‎ ‎∴圆心为C(－1,2)，半径r＝2.‎ ‎(1)当l的斜率不存在时，此时l的方程为x＝1，‎ C到l的距离d＝2＝r，满足条件．‎ 当l的斜率存在时，设斜率为k，‎ 得l的方程为y－3＝k(x－1)，‎ 即kx－y＋3－k＝0，‎ 则＝2，解得k＝－.‎ ‎∴l的方程为y－3＝－(x－1)，‎ 即3x＋4y－15＝0.‎ 综上，满足条件的切线l的方程为x＝1或3x＋4y－15＝0.‎ ‎(2)设P(x，y)，则|PM|2＝|PC|2－|MC|2‎ ‎＝(x＋1)2＋(y－2)2－4，‎ ‎|PO|2＝x2＋y2，∵|PM|＝|PO|，‎ ‎∴(x＋1)2＋(y－2)2－4＝x2＋y2，‎ 整理，得2x－4y＋1＝0，‎ ‎∴点P的轨迹方程为2x－4y＋1＝0.‎ ‎23．已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．‎ ‎(1)求圆C的方程；‎ ‎(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．‎