高考文科数学复习：阶段检测卷一答案
阶段检测一 集合、常用逻辑用语、函数与导数
一、选择题
1.B 由题意知A={0,1,2,3,4,5,6},B={x|x>3或x<0},所以A∩B={4,5,6}.故选B.
2.C 含有全称量词的命题的否定,需将全称量词改为存在量词,并将结论否定,故¬p为∃a>0,有ea<1成立,故选C.
3.A 由指数函数和对数函数的图象和性质知a>0,b<0,c<0,又对数函数f(x)=log0.2x在(0,+∞)上是单调递减的,所以log0.23>log0.24,所以a>b>c.
4.A 因为函数f(x)是偶函数,所以f(-2)=f(2), f(-3)=f(3),又函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,所以f(2)
0,可得f(x)x'=xf '(x)-f(x)x2<0恒成立,所以y=f(x)x在(0,+∞)上是减函数,所以f(3)3< f(1)1,即3f(1)>f(3).故选B.
11.D 由f(x-4)=f(x),得f(x)的周期为4,又f(x)为偶函数,所以f(x-4)=f(x)=f(4-x),所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称,作出函数y=f(x)与y=logax的图象如图所示,要使方程f(x)=logax有三个不同的根,则a>1,loga6<2,loga10>2,解得61,解得a<12.故实数a的取值范围是-∞,12.
14.答案 ±1
解析 设函数f(x)的定义域为A,当0∈A时, f(0)=k-11+k=0,解得k=1;当0∉A时,可得1+k=0,解得k=-1.经检验,k=±1时均满足题意.
15.答案 e2
解析 f '(x)=1x,所以切线的斜率为k=f '(x0)=1x0,所以切线方程为y-ln x0=1x0(x-x0)=xx0-1,因为切线过点(0,1),所以ln x0=2,解得x0=e2.
16.答案 2+ln 2
解析 显然m>0,由ex=m得x=ln m,由lnx2+12=m得x=2em-12,则|AB|=|2em-12-ln m|.令h(m)=2em- 12-ln m,则h'(m)=2em-12-1m,令h'(m)=2em-12-1m=0,求得m=12.当012时,h'(m)>0,函数h(m)在12,+∞上单调递增.所以h(m)min=h12=2+ln 2,因此|AB|的最小值为2+ln 2.
三、解答题
17.解析 (1)易知f '(x)=3x2+2bx+c,
则由题意得f '(1)=3+2b+c=3.①
又f(1)=1+b+c,点(1, f(1))在直线6x-2y-1=0上,
∴6-2(1+b+c)-1=0.②
由①②解得b=-32,c=3.
(2)∵g(x0)=f '(x0),
∴aex0=3x02-3x0+3,
∴a=3x02-3x0+3ex0.
令h(x)=3x2-3x+3ex,x∈(0,2],
则h'(x)=-3(x2-3x+2)ex,x∈(0,2],
令h'(x)=0,得x=1或x=2.
当x变化时,h(x)与h'(x)在(0,2]上的变化情况如下表:
x
(0,1)
1
(1,2)
2
h'(x)
-
0
+
0
h(x)
↘
3e
↗
9e2
∴h(x)在x∈(0,2]上有极小值h(1)=3e,
又h(2)=9e2,h(0)=3>9e2,
∴h(x)在x∈(0,2]上的值域为3e,3,
∴a的取值范围为3e,3.
18.解析 (1)因为f(x)是二次函数,且f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R},
所以可设f(x)=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a,且a>0.
因为a>0, f(x)=a[(x-1)2-4]≥-4,且f(1)=-4a,
所以f(x)min=-4a=-4,解得a=1.
故函数f(x)的解析式为f(x)=x2-2x-3.
(2)由(1)得g(x)=x2-2x-3x-4ln x=x-3x-4ln x-2,
所以g(x)的定义域为(0,+∞),g'(x)=1+3x2-4x=(x-3)(x-1)x2.
当x变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下表:
x
(0,1)
1
(1,3)
3
(3,+∞)
g'(x)
+
0
-
0
+
g(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
当025-1-22=9>0,
所以函数g(x)只有1个零点,且零点x0∈(3,e5).
19.解析 (1)当m=1时, f(x)=13x3+x2-3x+1,
则f '(x)=x2+2x-3,所以f '(2)=5.
又f(2)=53,所以所求切线方程为y-53=5(x-2),
即15x-3y-25=0.
(2)f '(x)=x2+2mx-3m2,
令f '(x)=0,得x=-3m或x=m.
当m=0时, f '(x)=x2≥0恒成立,不符合题意;
当m>0时, f(x)的单调递减区间是(-3m,m),
若f(x)在区间(-2,3)上是减函数,
则-3m≤-2,m≥3,解得m≥3;
当m<0时, f(x)的单调递减区间是(m,-3m),
若f(x)在区间(-2,3)上是减函数,则m≤-2,-3m≥3,解得m≤-2.
综上所述,实数m的取值范围是(-∞,-2]∪[3,+∞).
20.解析 (1)f '(x)=2x-a-ax,
由题意可得f '(1)=0,解得a=1.
经检验,a=1时f(x)在x=1处取得极值,所以a=1.
(2)证明:由(1)知, f(x)=x2-x-ln x,
令g(x)=f(x)--x33+5x22-4x+116=x33-3x22+3x-ln x-116,
则g'(x)=x2-3x+3-1x=x3-1x-3(x-1)=(x-1)3x(x>0),
令g'(x)=0,得x=1,可知g(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,
所以g(x)≥g(1)=0,所以f(x)≥-x33+5x22-4x+116成立.
(3)由x∈[e,+∞)知,x+ln x>0,
所以f(x)≥0恒成立等价于a≤x2x+lnx在x∈[e,+∞)上恒成立.
令h(x)=x2x+lnx,x∈[e,+∞),
则h'(x)=x(x-1+2lnx)(x+lnx)2,易知h'(x)>0,
所以h(x)在[e,+∞)上是增函数,有h(x)≥h(e)=e2e+1,
所以a≤e2e+1.
故a的取值范围为-∞,e2e+1.
21.解析 (1)f '(x)=(ax2-2ax+1)ex(1+ax2)2.
因为x=12是函数y=f(x)的一个极值点,所以f '12=0,
因此14a-a+1=0,解得a=43.
经检验,当a=43时,x=12是y=f(x)的一个极值点,
故所求a的值为43.
(2)由(1)可知, f '(x)=43x2-83x+1ex1+43x22,
令f '(x)=0,得x1=12,x2=32.
f(x)与f '(x)随x的变化情况如下表:
x
-∞,12
12
12,32
32
32,+∞
f '(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
3e4
↘
ee4
↗
所以, f(x)的单调递增区间是-∞,12,32,+∞,单调递减区间是12,32.
当120,此时f(x)单调递增;
当x>1时, f '(x)<0,此时f(x)单调递减,
所以f(x)的增区间为(0,1),减区间为(1,+∞).
(2)当a=0,b=-1时, f(x)=ln x+x.
因为方程f(x)=mx在区间[1,e2]内有唯一实数解,
所以ln x+x=mx在[1,e2]内有唯一实数解.
m=1+lnxx,令g(x)=1+lnxx(x∈[1,e2]),则g'(x)=1-lnxx2,
令g'(x)>0,得1
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