2019高三数学（人教A版理）一轮课时分层训练12　函数模型及其应用

2019高三数学（人教A版理）一轮课时分层训练12　函数模型及其应用

课时分层训练(十二) 函数模型及其应用 (对应学生用书第 285 页) A 组 基础达标 (建议用时：30 分钟) 一、选择题 1．某家具的标价为 132 元，若降价以九折出售(即优惠 10%)，仍可获利 10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( ) A．118 元 B．105 元 C．106 元 D．108 元 D [设进货价为 a 元，由题意知 132×(1－10%)－a＝10%a，解得 a＝108， 故选 D.] 2．在某个物理试验中，测量得变量 x 和变量 y 的几组数据，如下表： 【导学号：97190068】 x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －0.99 0.01 0.98 2.00 则对 x，y 最适合的拟合函数是( ) A．y＝2x B．y＝x2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2x D [根据 x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除 A；根据 x＝2.01，y＝ 0.98，代入计算，可以排除 B，C；将各数据代入函数 y＝log2x，可知满足题意．] 3．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图 293 甲、乙所示．某天 0 点到 6 点，该水池的蓄水量如图丙所示． 图 293 给出以下 3 个论断：①0 点到 3 点只进水不出水；②3 点到 4 点不进水只出 水；③4 点到 6 点不进水不出水，则一定正确的是( ) A．① B．①② C．①③ D．①②③ A [由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的1 2 ，所以 0 点到 3 点不出水，3 点到 4 点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4 点到 6 点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.] 4．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超 过 10 m3 的，按每立方米 m 元收费；用水超过 10 m3 的，超过部分加倍收费．某 职工某月缴水费 16m 元，则该职工这个月实际用水为( ) A．13 m3 B．14 m3 C．18 m3 D．26 m3 A [设该职工用水 x m3 时，缴纳的水费为 y 元，由题意得 y＝ mx0＜x≤10， 10m＋x－10·2mx＞10， 则 10m＋(x－10)·2m＝16m， 解得 x＝13.] 5．设某公司原有员工 100 人从事产品 A 的生产，平均每人每年创造产值 t 万元(t 为正常数)．公司决定从原有员工中分流 x(0＜x＜100，x∈N*)人去进行新 开发的产品 B 的生产．分流后，继续从事产品 A 生产的员工平均每人每年创造 产值在原有的基础上增长了 1.2x%.若要保证产品 A 的年产值不减少，则最多能 分流的人数是( ) A．15 B．16 C．17 D．18 B [由题意，分流前每年创造的产值为 100t(万元)，分流 x 人后，每年创造 的产值为(100－x)(1＋1.2x%)t(万元)，则由 0＜x＜100， 100－x1＋1.2x%t≥100t， 解得 0 ＜x≤50 3 . 因为 x∈N*，所以 x 的最大值为 16.] 二、填空题 6．西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销．根 据预算得羊皮手套的年利润 L 万元与年广告费 x 万元之间的函数解析式为 L＝51 2 － x 2 ＋8 x (x＞0)．则当年广告费投入________万元时，该公司的年利润最大． 4 [L＝51 2 － x 2 ＋8 x ＝43 2 －1 2 × x－ 4 x 2 (x＞0)．当 x－ 4 x ＝0，即 x＝4 时， L 取得最大值 21.5.故当年广告费投入 4 万元时，该公司的年利润最大．] 7．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过 0.1%，若初时含杂 质 2%，每过滤一次可使杂质含量减少1 3 ，至少应过滤________次才能达到市场要 求．(已知 lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) 【导学号：97190069】 8 [设过滤 n 次才能达到市场要求， 则 2% 1－1 3 n ≤0.1%，即 2 3 n ≤ 1 20 ， 所以 nlg2 3 ≤－1－lg 2，所以 n≥7.39，所以 n＝8.] 8．某食品的保鲜时间 y(单位：小时)与储藏温度 x(单位：℃)满足函数关系 y ＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b 为常数)．若该食品在 0 ℃的保鲜时 间是 192 小时，在 22 ℃的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33 ℃的保鲜时间是 ________小时． 24 [由已知条件，得 192＝eb，∴b＝ln 192.又∵48＝e22k＋b＝e22k＋ln 192＝192e22k ＝192(e11k)2，∴e11k＝ 48 192 1 2＝ 1 4 1 2＝1 2.设该食品在 33 ℃的保鲜时间是 t 小时，则 t＝e33k＋ln 192＝192e33k＝192(e11k)3＝192× 1 2 3 ＝24.] 三、解答题 9．某企业生产 A，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资 成正比，其关系如图 294①；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关 系如图 294②.(注：利润和投资单位：万元) ① ② 图 294 (1)分别将 A，B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)已知该企业已筹集到 18 万元资金，并将全部投入 A，B 两种产品的生产． ①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？ ②问：如果你是厂长，怎样分配这 18 万元投资，才能使该企业获得最大利 润？其最大利润约为多少万元？ [解] (1)f(x)＝0.25x(x≥0)，g(x)＝2 x(x≥0)． (2)①由(1)得 f(9)＝2.25，g(9)＝2 9＝6， 所以总利润 y＝8.25 万元． ②设 B 产品投入 x 万元，A 产品投入(18－x)万元，该企业可获总利润为 y 万元． 则 y＝1 4(18－x)＋2 x，0≤x≤18. 令 x＝t，t∈[0,3 2]， 则 y＝1 4(－t2＋8t＋18)＝－1 4(t－4)2＋17 2 . 所以当 t＝4 时，ymax＝17 2 ＝8.5， 此时 x＝16,18－x＝2. 所以当 A，B 两种产品分别投入 2 万元、16 万元时，可使该企业获得最大利 润，约为 8.5 万元． 10．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在 30 人或 30 人以 下，飞机票每张收费 900 元；若每团人数多于 30 人，则给予优惠：每多 1 人， 机票每张减少 10 元，直到达到规定人数 75 人为止．每团乘飞机，旅行社需付给 航空公司包机费 15 000 元． (1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？ [解] (1)设旅行团人数为 x，由题得 0

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