2018-2019学年江西省南康中学高二上学期第二次大考数学（理）试题 Word版

2018-2019学年江西省南康中学高二上学期第二次大考数学（理）试题 Word版

南康中学2018～2019学年度第一学期高二第二次大考 数学（理科）试卷 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 如图，在四面体中，若直线和相交，则它们的交点一定（ ）‎ A. 在直线上 ‎ B. 在直线上 ‎ C. 在直线上 ‎ D. 都不对 ‎2.圆锥的高扩大到原来的倍，底面半径缩短到原来的，则圆锥的体积（ ）‎ A．扩大到原来的倍 B．缩小到原来的一半 C．缩小到原来的 D.不变 ‎ ‎3.等比数列，满足，且，，则（ ）‎ A．31　　　　　　 B．36　　　 　 C．42　 　　　 D．48‎ ‎4．在棱长为1的正方体中，分别是和的 中点，则直线与 所成角的余弦值为(　 　)‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎5. 某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从1～1000进行编号，现已知第6组抽取的号码为143，则第一组抽取的号码为（ ）‎ A. 16 B. 17 C. 18 D. 19‎ ‎6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（　 　）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎7．直线关于直线对称的直线方程是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎8．如图， 到的距离分别是和， 与 所成的角分别是和， 在内的射影长分别是和，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎（第8题） （第9题）‎ ‎9. 如图，在正四棱台中，上底面边长为4，下底面边长为8，高为5，点 分别在上，且.过点的平面与此四棱台的下底面会相交，则平面与四棱台的面的交线所围成图形的面积的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.在正方体中中，，点在棱上，点在棱上，且平面∥平面.若，则三棱锥外接球的表面积为( )‎ A．　　　　　 B．　　 C． D．‎ ‎11. 已知是圆外一点，过点作圆的切线，切点为，记四边形的面积为，当在圆上运动时，的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. 如图所示，正方体的棱长为1，分别是棱的中点，过直线 的平面分别与棱交于，设给出以下四个命题：‎ ‎①直线与所成的角为锐角；‎ ‎②当且仅当时，四边形的面积最小；‎ ‎③四边形周长,则是奇函数；‎ ‎④不论为何值，四棱锥的体积为定值；‎ 其中正确命题的个数为（ ）‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 已知数列满足，则______．‎ ‎14. 已知圆锥的母线长度为2，圆锥的底面圆半径为,一只蚂蚁从圆锥的底面圆上一点出发，绕着圆锥侧面爬行一周，再回到出发点的最短距离为______．‎ ‎15. 过点向圆所引的切线方程为______．‎ ‎16．如图，在正方体中，点为线段的中点，设动点在线段上运动，直线与平面所成的角为，则的最小值为______．‎ 三、解答题（本大题共6小题，17题10分，其余小题各12分，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）‎ ‎17．在中，．‎ ‎（I）求的大小；‎ ‎（II）求的最大值．‎ ‎18.已知圆经过两点，，且圆心在直线上，直线的方程为．‎ ‎（I）求圆的方程；‎ ‎（II）证明：直线与圆恒相交；‎ ‎ ‎ ‎19．如图，在直三棱柱中， ，， 分别为的中点.‎ ‎（I）求异面直；‎ ‎（II）求点 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20. 设数列的前n项和为，且，，数列满足，点在直线x﹣y+2=0上，n∈N*．‎ ‎（I）求数列，的通项公式；‎ ‎（II）设，求数列的前项和．‎ ‎21. 如图，四棱锥P－ABCD，底面ABCD为菱形，且∠DAB＝60°，PAB是边长为a的正三角形，且平面PAB⊥平面ABCD，已知点M是PD的中点．‎ ‎(1)证明：PB∥平面AMC；‎ ‎(2)求直线BD与平面AMC所成角的正弦值．‎ ‎22. 如图，菱形中，，与相交于点，，‎ ‎.‎ ‎（I）求证：平面；‎ ‎（II）当直线与平面所成角的大小为时 ‎(i)求三棱锥的体积.‎ ‎(ii)求二面角的余弦值.‎ ‎ ‎ 南康中学2018～2019学年度第一学期高二第二次大考 数学（理科）参考答案 一．选择题：‎ ‎1-5：C B A B C; 6-10：A D D B B; 11-12:C B;‎ ‎12.【解析】②因为，四边形的对角线是固定的，所以要使面积最小，则只需的长度最小即可，此时当为棱的中点时，即时，此时长度最小，对应四边形的面积最小．所以②正确．‎ ‎④连结，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以为底，以分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形的面积是个常数．到平面的距离是个常数，所以四棱锥的体积为定值，所以④正确．‎ 二、填空题：‎ ‎13.63; 14.2； 15.； 16.；‎ ‎16.解析：连结A1O，OP和PA1，不难知∠POA1就是直线OP与平面A1BD所成的角或其补角设正方体棱长为2，则AO＝，A1O＝，(1)当P点与C点重合时，PO＝，A1P＝2，且cosα＝，此时α＝∠A1OP为钝角，sinα＝‎ ‎(2)当P点与C1点重合时，PO＝A1O＝，A1P＝2，且cosα＝，‎ 此时α＝∠A1OP为锐角，sinα＝‎ ‎(3)在从钝角逐渐变化到锐角的过程中，CC1上一定存在一点P，‎ 使得α＝∠A1OP＝90°，sinα＝1由于＜，sinα的取值范围是[，1]. ‎ 因此sinα最小值为 三、解答题：‎ ‎17.【解析】： （1），又∵，∴......................(4)分 ‎（2）由（1）知 , ‎ ‎.........................................(8)分 因为，所以当时，取得最大值.................................(10)分 ‎18.【解析】（1）设圆C的方程为, 圆心坐标..............(1)分 由条件，得,解得........................................(5)分 ‎∴圆的方程为即..............................(6)分 ‎ ‎（2）由，得，‎ 令，得，直线l过定点M（3，-1），由，‎ 知点M（3，-1）在圆内∴直线l与圆C恒相交．.................................................（12分）‎ ‎20 .【解析】：（1）由an+1=2Sn+1可得an=2Sn﹣1+1（n≥2），两式相减得an+1﹣an=2an 即an+1=3an（n≥2）．又a2=2S1+1=3，所以a2=3a1．故{an}是首项为1，公比为3的等比数列．‎ 所以an=3n﹣1． .........................................................................（3分）‎ 由点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2=0上，所以bn+1﹣bn=2．‎ 则数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．‎ 则bn=1+（n﹣1）•2=2n-1 ...................................................................（6分）‎ ‎（2）因为，所以．‎ 则，‎ 两式相减得：．................................................（9分）‎ 所以=．...........................................................(12分）‎ ‎21. 解析：(1)证明：连接BD交AC于点O，连接OM，因为四边形ABCD为菱形，OB＝OD，‎ 又M为PD的中点，所以OM∥PB.由PB⊄平面AMC，OM⊂平面AMC，所以PB∥平面ACM..................................(4分）‎ 则，，，，‎ ‎，，‎ 则，‎ 设平面AMC的法向量为n＝(x，y，z)，则 ‎ ‎ 令，则，，即............(8分）‎ 又，设，‎ 则，‎ 故直线BD与平面AMC所成角的正弦值为.......（12分）‎ ‎22. ‎ ‎...........................................................................................（4分）.‎ ‎（II）(i)以为原点，以所在直线分别为轴，轴，‎ 以过点且平行于的直线为轴建立空间直角坐标系.则，..........................................（5分）‎ 设，则，，‎ 设平面的法向量为，则即，‎ 令，得， ‎ ‎，‎ 与平面所成角的大小为，‎ ‎， 解得或（舍），‎ 故平面的一个法向量为，.................................（7分）‎ ‎，...................（9分）‎ ‎（II）(ii)又，，‎ 所以平面的一个法向量为，则 故二面角的余弦值为．..........................（12分）‎