四川省泸县第五中学2019-2020学年高二下学期第四学月考试数学（理）试题

四川省泸县第五中学2019-2020学年高二下学期第四学月考试数学（理）试题

‎2020年春四川省泸县第五中学高二第四学月考试 理科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．命题“”的否定是 A． B．‎ C． D．‎ ‎2．复数满足为虚数单位），则复数 A． B． C． D．‎ ‎3．已知实数满足则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．已知随机变量服从正态分布，则等于 A． B． C． D．‎ ‎5．若双曲线的左、右焦点分别为F‎1‎‎,‎F‎2‎，点P在双曲线E上，且‎|PF‎1‎|=3‎，则‎|PF‎2‎|‎等于 A．11 B．9 C．5 D．3‎ ‎6．已知，若不等式恒成立，则的最大值为 A． B． C． D．‎ ‎7．为考察某动物疫苗预防某种疾病的效果，现对200只动物进行调研，并得到如下数据：‎ 未发病 发病 合计 未注射疫苗 ‎20‎ ‎60‎ ‎80‎ 注射疫苗 ‎80‎ ‎40‎ ‎120‎ 合计 ‎100‎ ‎100‎ ‎200‎ ‎（附：）‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 则下列说法正确的：‎ A．至少有99.9%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”‎ B．至多有99%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”‎ C．至多有99.9%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”‎ D．“发病与没接种疫苗有关”的错误率至少有0.01%‎ ‎8．直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为 ‎ A． B． C．4 D．‎ ‎9．若圆C:关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值是 A．2 B．4 C．3 D．6‎ ‎10．某学生将语文、数学、英语、物理、化学、生物6科的作业安排在周六、周日完成，要求每天至少完成两科，且数学，物理作业不在同一天完成，则完成作业的不同顺序种数为 A．600 B．812 C．1200 D．1632‎ ‎11．已知点A（2，0），O（0，0），若抛物线C：（p＞0）上存在两个不同的点M，使得OM⊥AM，则p的取值范围 A．(0,) B．(0,1) C．(0,2) D．(1,+∞)‎ ‎12．已知，，，则实数m的取值范围是 A． B． C． D．‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．甲、乙两篮球运动员进行定点投篮，每人各投4个球，甲投篮命中的概率为，乙投篮命中的概率为，求甲至多命中2个且乙至少命中2个概率____.‎ ‎14．已知,在处有极值,则 ______ ．‎ ‎15．设抛物线：的焦点为，准线为，，已知以为圆心，为半径的圆交于两点，若，的面积为，则轴被圆所截得的弦长等于_____．‎ ‎16．某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传，在一年内预计销量（万件）与广告费（万元）之间的函数关系为，已知生产此产品的年固定投入为万元，每生产1万件此产品仍需要再投入30万元，且能全部销售完，若每件甲产品销售价格（元）定为：“平均每件甲产品生产成本的150%”与“年平均每件产品所占广告费的50%”之和，则当广告费为1万元时，该企业甲产品的年利润比不投入广告费时的年利润增加了__________万元．‎ 三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17．（12分）若.‎ ‎（I）指出函数的单调递增区间； （II）求在的最大值和最小值.‎ ‎18．（12分）某地种植常规稻A和杂交稻B，常规稻A的亩产稳定为500公斤，今年单价为3.50元／公斤，估计明年单价不变的可能性为10%，变为3.60元／公斤的可能性为60%，变为3.70元／公斤的可能性为30%．统计杂交稻B的亩产数据，得到亩产的频率分布直方图如下；统计近10年来杂交稻B的单价（单位：元/公斤）与种植亩数（单位：万亩）的关系，得到的10组数据记为，并得到散点图如下，参考数据见下．‎ ‎（I）估计明年常规稻A的单价平均值；‎ ‎（II）在频率分布直方图中，各组的取值按中间值来计算，求杂交稻B的亩产平均值；以频率作为概率，预计将来三年中至少有二年，杂交稻B的亩产超过765公斤的概率；‎ ‎（III）判断杂交稻B的单价y（单位：元/公斤）与种植亩数x（单位：万亩）是否线性相关？若相关，试根据以下的参考数据求出y关于x的线性回归方程；调查得知明年此地杂交稻B的种植亩数预计为2万亩．若在常规稻A和杂交稻B中选择，明年种植哪种水稻收入更高？‎ 统计参考数据：，，，，‎ 附：线性回归方程，．‎ ‎19．（12分）如图，在直三棱柱中，，，点是的中点．‎ ‎（I）求异面直线与所成角的余弦值．‎ ‎（II）求二面角的余弦值．‎ ‎20．（12分）已知点为圆上一点，轴于点，轴于点，点满足（为坐标原点），点的轨迹为曲线.‎ ‎（Ⅰ）求的方程；‎ ‎（Ⅱ）斜率为的直线交曲线于不同的两点、，是否存在定点，使得直线、的斜率之和恒为0.若存在，则求出点的坐标；若不存在，则请说明理由.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（I）讨论函数的单调性；‎ ‎（II）若函数图像过点，求证：.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的参数方程为（为参数），，为过点的两条直线，交于，两点，交于，两点，且的倾斜角为，.‎ ‎（I）求和的极坐标方程；‎ ‎（II）当时，求点到，，，四点的距离之和的最大值.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣|x+1|．‎ ‎（I）求不等式f（x）≤﹣1的解集M；‎ ‎（II）结合（1），若m是集合M中最大的元素，且a+b＝m（a＞0，b＞0），求的最大值．‎ ‎2020年春四川省泸县第五中学高二第四学月考试 理科数学参考答案 ‎1．A 2．A 3．C 4．D 5．B 6．B 7．A 8．C 9．B 10．C 11．A 12．B ‎13． 14． 15． 16．‎ ‎17．（1）因为所以，由可得或；‎ 由可得；所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；故函数的单调递增区间为，；‎ ‎（2）因为，所以由（1）可得，在上单调递减，在上单调递增；‎ 因此，又，，所以.‎ ‎18．（1）设明年常规稻A的单价为，则的分布列为 ‎3.50‎ ‎3.60‎ ‎3.70‎ P ‎0.1‎ ‎0.6‎ ‎0.3‎ ‎，‎ 估计明年常规稻A的单价平均值为3.62（元／公斤）； ‎ ‎（2）杂交稻B的亩产平均值为：．‎ 依题意知杂交稻B的亩产超过765公斤的概率为：，‎ 则将来三年中至少有二年，杂交稻B的亩产超过765公斤的概率为：‎ ‎． ‎ ‎（3）因为散点图中各点大致分布在一条直线附近，所以可以判断杂交稻B的单价y与种植亩数x线性相关， ‎ 由题中提供的数据得：，由 ，‎ 所以线性回归方程为， ‎ 估计明年杂交稻B的单价元／公斤；‎ 估计明年杂交稻B的每亩平均收入为元／亩，‎ 估计明年常规稻A的每亩平均收入为元／亩，‎ 因1905>1875，所以明年选择种植杂交稻B收入更高．‎ ‎19．（1）∵在直三棱柱中，，，点是的中点，∴以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，‎ 设，‎ 则，，，，，‎ ‎，，设异面直线与所成角为，‎ 则.∴异面直线与所成角的余弦值为．‎ ‎（2），，，设平面的法向量，‎ 则，取，得，平面的法向量，‎ 设二面角的平面角为，则．∴二面角的余弦值为．‎ ‎20（Ⅰ）设，，则，，‎ 由得，所以，所以，‎ 又在圆上，所以，即.‎ ‎（Ⅱ）假设存在定点满足题意，设，，斜率为的直线的方程为，则，得，，‎ 所以，解得 ‎ 又，，因为，‎ 所以，‎ 则，‎ 则，‎ 则，‎ 则，‎ 则，‎ 所以对任意的恒成立，‎ 所以，解得或，‎ 所以存在定点或，使得、的斜率之和恒为0.‎ ‎21．（1）函数的定义域为 ，.‎ 当时， ，在上单调递增； 当时，由，得 .‎ 若 ，，单调递增；若 ，，单调递减 综合上述： 当时，在上单调递增；‎ 当时，在单调递增，在上单调递减. ‎ ‎（2）函数图象过点，可得，此时 要证，即证. ‎ 令， ，‎ 又令，，‎ 当时，，在上单调递增.由， 即，‎ 故存在 使得，此时，故 ‎ 当时，；当时，.‎ 所以在上递减，在上递增，‎ 当时，有最小值 故成立 ‎22．（1）依题意，直线的极坐标方程为，由，消去，得，将，，代入上式，得，‎ 故的极坐标方程为 ‎（2）依题意可设，，，，且均为正数，‎ 将代入，得，‎ 所以，同理可得， ，‎ 所以点到四点的距离之和为 ，因为，所以当，‎ 即时，取得最大值，‎ 所以点到四点距离之和的最大值为.‎ ‎23．（1）不等式f（x）≤﹣1即|2x﹣1|﹣|x+1|≤﹣1，‎ 可得或或，‎ 解得：无解或x或x≤1，综上可得x≤1，即所求解集为[，1]；‎ ‎（2）由（1）可得a+b＝1（a，b＞0），‎ 由柯西不等式可得（）2≤（32+42）（a+b），‎ 即为（）2≤25，‎ 可得5，当且仅当a，b时取得等号，则的最大值为5．‎